Note del corso di Fisica Matematica A

136 6 Cenni di meccanica dei continui deformabili
F(s)∆s−τ(s)+τ(s+∆s) = 0
dove τ(s) é la tensione dovuta al tratto di filo P(s)B e dove ∆s é un incremento della ascissa
curvilinea. Dividendo ambo i membri per ∆s e passando al limite si ottiene la equazione indefinita
dell’equilibrio dei fili.
Dimostriamo che la tensione τ(s) è tangente al filo. A tal fine consideriamo la equazione dei
momenti per il tratto di filo AP(s) che prende la forma
s
FA ×(O−A)+τ(s)×(O−P(s))+
0
derivando questa rispetto ad s si ottiene
che si riduce alla
τ(s)
ds
×(O−P(s))−τ(s)× dP(s)
ds
τ(s)× dP(s)
ds
F(ξ)×(O−P(ξ))dξ = 0;
+F(s)×(O−P(s)) = 0
in virtù della (6.3). Quindi, essendo dP
ds =ˆt segue che τ(s) = τ(s)ˆt(s).
L’equazionevettoriale(6.3)puòesserescissanellecomponentiscalari;lecomponentidellatensione,
in virtù della osservazione precedente, valgono τ dx dy dz , τ e τ . Quindi, con ovvio significato delle
ds ds ds
notazioni, si ha che
⎧
d
⎪⎨
τ ds
⎪⎩
dx
+Fx = 0
ds
d τ ds
dy
+Fy = 0
(6.4)
ds
+Fz = 0
d
ds
τ dz
ds
Poiché s non è un parametro arbitrario, bensì la lunghezza dell’arco della funicolare, deve essere
anche soddisfatta la ulteriore relazione
2 2 2 dx dy dz
+ + = 1. (6.5)
ds ds ds
Le (6.4) e (6.5) sono 4 equazioni differenziali (ordinarie) nelle 4 incognite x(s), y(s), z(s) e
τ(s) e dipendenti da sei costanti arbitrarie. Queste saranno determinate, ad esempio, a partire
dalle componenti delle forze applicate negli estremi o, più generalmente, essendo questi incogniti,
imponendo che per s = 0 l’estremo della corda sia in A e che per s = ℓ l’altro estremo sia in B.
Un altro modo di proiettare l’equazione vettoriale
dτ
ds
= 0
+F = 0 (6.6)
consiste ponendo τ = τˆt e ricordando che 1
ρc ˆn = dˆ t
ds , dove ρc denota il raggio di curvatura. Segue
che la (6.6) assume la forma
dτ
ˆt+
τ
ˆn+F = 0.
ds ρc