Note del corso di Fisica Matematica A

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6.1 Un caso particolare: statica dei fili 135
Fi −τi−1 +τi = 0, i = 1,2,...,n−1, (6.1)
FA +τ0 = 0 FB −τn−1 = 0.
Queste rappresentano quindi le condizioni necessarie e sufficienti per l’equilibrio di un tratto
di filo flessibile ed inestendibile sollecitato in un numero finito di punti.
Consideriamo ora il caso in cui il filo sia soggetto ad una sollecitazione distribuita su tutto il filo.
A tal fine introduciamo una funzione F(s), che prende il nome di forza unitaria e dove s è la ascissa
curvilinea sul filo, tale che Fds rappresentante il vettore (infinitesimo) della forza applicata al tratto
di filo di lunghezza ds. La equazione cardinale della statica implica la condizione necessaria per
l’equilibrio del filo:
FA +FB +
ℓ
0
F(s)ds = 0
dove ℓ è la lunghezza del filo. In analogia al caso precedente andiamo ad introdurre la tensione τ(s)
del filo dovuta al tratto di filo che, idealmente, andiamo ad eliminare nel punto P = P(s), s ∈ [0,ℓ],
denota l’ascissa curvilinea. Consideriamo il tratto di filo AP(s) che, essendo in equilibrio, dovrà
soddisfare alla analoga equazione
FA +τ(s)+
s
0
F(ξ)dξ = 0; (6.2)
la stessa equazione dovrà essere soddisfatta anche per il tratto di filo AP(s + ∆s) e, sottraendo
membro a membro le due equazioni, si ottiene che deve essere
τ(s+∆s)−τ(s)+
s+∆s
s
F(ξ)dξ = 0.
Dividendo per ∆s e passando al limite ∆s → 0 si ottiene la equazione indefinita dell’equilibrio
dei fili
F(s)+ dτ(s)
ds
= 0 (6.3)
che deve essere soddisfatta in ogni punto P = P(S) interno all’arco AB. Negli estremi dovrà
essere
FA +τ(0) = 0, FB −τ(ℓ) = 0.
Queste due equazioni danno, nel loro complesso, le condizioni necessarie e sufficienti per
l’equilibrio dei fili (a rigore, in questo modo ne viene provata la sola condizione necessaria, per
provare la condizione sufficiente con analogo ragionamento occorre invocare il postulato per la statica
dei mezzi continui).
Osserviamo che noi abbiamo dedotto la equazione indefinita dei fili tramite le condizioni (necessarie)
per l’equilibrio dei sistemi. Un altro modo per ottenerle (dimostrando anche la condizione
sufficiente) consiste nell’approssimare la curva attraverso una poligonale e ottenere la (6.3) attraverso
un passaggio al limite delle (6.1); in questo modo segue che le (6.3) sono sufficienti per l’equilibrio
e non solo necessarie. Piú precisamente la (6.1) prende la forma