Note del corso di Fisica Matematica A

8 1 Calcolo Vettoriale
è invertibile e, attraverso la sua funzione inversa, t = t(s) è possibile definire la rappresentazione
parametrica normale
tale che
γ = {(x(s) = x[t(s)],y(s) = y[t(s)],z(s) = z[t(s)]), s ∈ [s1 = s(t1),s2 = s(t2)]}
2 dx
+
ds
2 dy
+
ds
2 dz
= 1.
ds
Denotando con P(s) il punto di coordinate (x(s),y(s),z(s)) e con P(s)−O = x(s)î+y(s)ˆj+z(s) ˆ k
si può dimostrare che la derivata
ˆt(s) = dP(s)
ds
dx dy dz
= î+ ˆj+
ds ds ds ˆ k
è un versore, detto versore tangente, tangente alla curva e diretto secondo il verso assegnato. La
derivata del versore tangente, in virtù di quanto dimostrato nella (1.1), è un vettore ortogonale al
vettore ˆt e si scrive come
dˆt
ds
1
= ˆn (1.2)
dove ρc è un numero reale positivo, detto raggio di curvatura, e dove ˆn è un versore, detto versore
normale. Dalla (1.2) segue che è possibile determinare ρc e ˆn attraverso le formule
1.1.8 Esercizi
Esercizio 1.1: Siano dati i vettori
si domanda:
dˆt
ρc =
ds
−1
ρc
dˆt
e ˆn = ρc
ds .
a = î+2ˆj+ ˆ k, b = −î+ ˆ k, c = 3î+ˆj− ˆ k,
i. calcolare il prodotto scalare a·b;
ii. calcolare il prodotto vettoriale d = a×b;
iii.calcolare il modulo dei vettori a e b e, essendo questi ortogonali, calcolare il modulo del loro
prodotto vettoriale per mezzo della formula
|a×b| = absinα,
verificare poi tale risultato calcolando il modulo del vettore d;
iv.calcolare i prodotti misti a·b×c e a×b·c e verificare che sono uguali;
v. verificare la proprietà distributiva per i vettori a, b, c:
a×(b+c) = a×b+a×c;