Note del corso di Fisica Matematica A

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132 5 Dinamica: equazioni differenziali del moto 5.3.8 Funzione Lagrangiana Supponiamo che le forze attive Fs derivino da un potenziale Us; quindi N U = U(qh;t) = Us(Ps) s=1 e ammettiamo che i vincoli dipendano dal tempo t. Avremo ancora, in coordinate lagrangiane, Qh = ∂U ∂qh . Da ciò, e dalla indipendenza di U da ˙qh, le equazioni di Lagrange assumono la forma dove si è posto d ∂L dt∂˙qh − ∂L ∂qh = 0, h = 1,2,...,n, (5.71) L(˙qh,qh;t) = L = T +U. (5.72) Alla funzione L si dà il nome di funzione Lagrangiana. In generale, possiamo considerare sistemi più generali, detti sistemi Lagrangiani, caratterizzati dalle equazioni (5.71) dove L = L(˙qh,qh,t) è una funzione con determinante della matrice simmetrica ∂ 2 L ∂ ˙qh∂ ˙qk mai nullo.
6 Cenni di meccanica dei continui deformabili Esamineremo ora alcune nozioni generali, nello schema classico, della meccanica dei continui; ossia di quei sistemi fisici costituiti da una infinità continua di punti materiali privi del vincolo di rigidità, e perciò detti corpi deformabili, occupanti una certa posizione dello spazio euclideo tridimensionale che può essere, a seconda dei casi, un volume V, una superficie σ o un arco di curva γ. Rientrano in questo schema i fili, le membrane, i fluidi e, in particolare, i liquidi, i corpi elastici, plastici, etc.. Per mezzo continuo si intende un qualsiasi corpo considerato come una estensione continua di materia prescindendo dalla struttura atomica o molecolare. Comeprimocasostudiamouncasoparticolare:ifili. Nelseguitostudiamoilproblemaingenerale. 6.1 Un caso particolare: statica dei fili 6.1.1 Fili flessibili ed inestendibili. Definizione e postulato caratteristico Definizione. Diremo filo flessibile ed inestendibile ogni sistema materiale ad una dimensione tale che: a) sia possibile, esercitando convenienti forze, disporre il filo secondo una linea geometrica qualsiasi; b) presi comunque sul filo due punti, l’arco fra essi compreso conserva, in ogni possibile configurazione, la medesima lunghezza. Assumeremo, per la statica dei fili, valido il seguente postulato di immediata evidenza sperimentale: Postulato caratteristico dei fili: Condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio di un tratto AB di filo flessibile e inestendibile, sollecitato esclusivamente da due forze di vettore FA e FB applicate agli estremi, è che il tratto di filo sia rettilineo e le due forze siano direttamente opposte e dirette verso l’esterno di AB. Dal postulato segue subito che: fissato un punto P qualsiasi sul filo tra A e B e pensando, idealmente, di eliminare il tratto PB considerando il solo tratto AP allora questo tratto AP rimarrà ancora in equilibrio e sarà soggetto, oltre che alla forza in A, ad una forza incognita τ in P dovuta al tratto di filo che abbiamo idealmente eliminato. Applicando il postulato al tratto di filo AP segue che FA e τ sono direttamente opposte, cioé τ è uguale a FB. Segue che la forza di vettore τ è sempre diretta verso l’esterno del tratto di filo AP che viene idealmente isolato ed è la stessa per tutti i punti del filo. Questa forza prende il nome di tensione, ha natura di forza
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Fisica Matematica A 1 Marzo, 2013
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