Note del corso di Fisica Matematica A

5.3 Equazioni cardinali della Dinamica e equazioni di Lagrange 131
La dimostrazione è immediata e segue ricordando che T = 1 Ns=1msvs ·vs e notando che dalla
2
(5.64) risulta
∂vs
=
∂˙qh
∂Ps d ∂Ps
e =
∂qh dt ∂qh
∂ dPs ∂vs
= ,
∂qh dt ∂qh
allora
∂T
N
= msvs ·
∂qh s=1
∂vs
∂qh
e
∂T
N
= msvs ·
∂˙qh s=1
∂vs
N
= msvs ·
∂˙qh s=1
∂Ps
.
∂qh
Derivando quest’ultima rispetto al tempo si ottiene che
d ∂T
N
= msas ·
dt ∂˙qh s=1
∂Ps
N
+ msvs ·
∂qh s=1
∂vs
= Qh +
∂qh
∂T
.
∂qh
Notiamo che, nelle (5.70), tutto ciò che dipende dalla sollecitazione attiva è riassunto nelle sue
componentilagrangianeQh,tuttoquellocheattieneallastrutturamaterialedelsistemaèsintetizzato
nell’unico elemento globale T, cioé nella forza viva.
Si verifica facilmente che quando i vincoli sono indipendenti dal tempo, le (5.70) implica il
teorema delle forze vive che, come già sappiamo, sussiste per ogni sistema con tali vincoli. Infatti,
dalle equazioni di Lagrange (5.70) segue immediatamente che deve essere
n
d ∂T
−
h=1 dt∂˙qh
∂T
n
dqh = Qhdqh = dL.
∂qh h=1
Dal Teorema di Eulero segue che
n ∂T
2T = ˙qh
h=1 ∂˙qh
che derivata rispetto al tempo dà
2 dT
dt =
n
d ∂T
n ∂T
˙qh + ¨qh .
h=1 dt ∂˙qh h=1 ∂˙qh
D’altra parte T dipende esplicitamente della q e ˙q e quindi si ha che
dT
dt =
n ∂T
n ∂T
˙qh + ¨qh
h=1 ∂qh h=1 ∂˙qh
che sottratta a quella precedentemente ottenuta dà
dT
dt =
n
d ∂T
−
h=1 dt ∂˙qh
∂T
˙qh
∂˙qh
ovvero
n
d ∂T
dT = −
dt ∂˙qh
∂T
dqh
∂˙qh
h=1
che, unita a quella precedentemente ottenuta, dà dT = dL.