Note del corso di Fisica Matematica A
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130 5 Dinamica: equazioni <strong>di</strong>fferenziali <strong>del</strong> moto<br />
Teorema 5.16. Nel caso <strong>di</strong> un corpo rigido con vincoli bilateri allora le equazioni car<strong>di</strong>nali <strong>del</strong>la<br />
Dinamica (5.51) e (5.52) (o 5.53) sono sufficienti a caratterizzare il moto.<br />
Dimostrazione. Infatti, basta provare che dalle equazioni car<strong>di</strong>nali <strong>del</strong>la Dinamica segue che il Teorema<br />
dei lavori virtuali è verificato, cioé N s=1(Fs−msas)·δPs = 0, e da qui segue che sono verificate<br />
le equazioni <strong>di</strong> Lagrange. A tal fine ricor<strong>di</strong>amo che δPs = δO +δθâ×(Ps −O) dove O è un punto<br />
qualunque <strong>del</strong> corpo rigido, ad esempio pren<strong>di</strong>amo O ≡ G. Un calcolo imme<strong>di</strong>ato dà:<br />
N<br />
(Fs −msas)·δPs =<br />
s=1<br />
N N<br />
N dvs<br />
= Fs ·δO+ Fs ·δθâ×(Ps −O)− ms ·δO +<br />
s=1 s=1<br />
s=1 dt<br />
N dvs<br />
− ms<br />
s=1 dt ·δθâ×(Ps −O)<br />
= Re ·δO+Ωe(O)·δθâ− dQ dK(O)<br />
·δO − ·δθâ<br />
dt dt<br />
dQ<br />
= −<br />
dt −Re<br />
<br />
dK(O)<br />
·δO−<br />
dt −Ωe(O)<br />
<br />
·δθâ.<br />
D’altra parte le reazioni vincolari, in virtù <strong>del</strong> principio dei lavori virtuali, sod<strong>di</strong>sfano alla relazione<br />
N N<br />
0 = φs ·δPs = φs ·[δO +δθâ(Ps −O)]<br />
s=1 s=1<br />
= Φe ·δO+Ψe(O)·δθâ.<br />
Sottraendola alla precedente allora si ottiene<br />
N<br />
<br />
dQ<br />
(Fs −msas)·δPs = −<br />
s=1<br />
dt −Re<br />
<br />
−Φe<br />
<br />
dK(O)<br />
−<br />
dt −Ωe(O)−Ψe(O)<br />
<br />
·δθâ = 0<br />
·δO+<br />
che risulta essere identicamente nulla se le equazioni car<strong>di</strong>nali <strong>del</strong>la Dinamica (5.51) e (5.53) risultano<br />
verificate. Quin<strong>di</strong>laequazionesimbolica<strong>del</strong>la<strong>di</strong>namicarisultaessereverificataedaquileconseguenti<br />
equazioni <strong>di</strong> Lagrange.<br />
5.3.7 Equazioni <strong>del</strong> Lagrange: seconda forma<br />
Ripren<strong>di</strong>amo le (5.69), si verifica imme<strong>di</strong>atamente che vale la seguente, detta seconda forma <strong>del</strong>le<br />
equazioni <strong>del</strong> Lagrange:<br />
d ∂T<br />
−<br />
dt∂˙qh<br />
∂T<br />
= Qh, h = 1,2,...,n. (5.70)<br />
∂qh<br />
Esse danno la completa impostazione <strong>del</strong> problema <strong>del</strong> moto <strong>di</strong> un sistema olonomo; e, sotto<br />
l’aspetto analitico, costituiscono un sistema <strong>di</strong>fferenziabile <strong>del</strong> II◦ or<strong>di</strong>ne nelle n funzioni incognite<br />
qh(t), riducibile a forma normale.