Note del corso di Fisica Matematica A

130 5 Dinamica: equazioni differenziali del moto
Teorema 5.16. Nel caso di un corpo rigido con vincoli bilateri allora le equazioni cardinali della
Dinamica (5.51) e (5.52) (o 5.53) sono sufficienti a caratterizzare il moto.
Dimostrazione. Infatti, basta provare che dalle equazioni cardinali della Dinamica segue che il Teorema
dei lavori virtuali è verificato, cioé N s=1(Fs−msas)·δPs = 0, e da qui segue che sono verificate
le equazioni di Lagrange. A tal fine ricordiamo che δPs = δO +δθâ×(Ps −O) dove O è un punto
qualunque del corpo rigido, ad esempio prendiamo O ≡ G. Un calcolo immediato dà:
N
(Fs −msas)·δPs =
s=1
N N
N dvs
= Fs ·δO+ Fs ·δθâ×(Ps −O)− ms ·δO +
s=1 s=1
s=1 dt
N dvs
− ms
s=1 dt ·δθâ×(Ps −O)
= Re ·δO+Ωe(O)·δθâ− dQ dK(O)
·δO − ·δθâ
dt dt
dQ
= −
dt −Re
dK(O)
·δO−
dt −Ωe(O)
·δθâ.
D’altra parte le reazioni vincolari, in virtù del principio dei lavori virtuali, soddisfano alla relazione
N N
0 = φs ·δPs = φs ·[δO +δθâ(Ps −O)]
s=1 s=1
= Φe ·δO+Ψe(O)·δθâ.
Sottraendola alla precedente allora si ottiene
N
dQ
(Fs −msas)·δPs = −
s=1
dt −Re
−Φe
dK(O)
−
dt −Ωe(O)−Ψe(O)
·δθâ = 0
·δO+
che risulta essere identicamente nulla se le equazioni cardinali della Dinamica (5.51) e (5.53) risultano
verificate. Quindilaequazionesimbolicadelladinamicarisultaessereverificataedaquileconseguenti
equazioni di Lagrange.
5.3.7 Equazioni del Lagrange: seconda forma
Riprendiamo le (5.69), si verifica immediatamente che vale la seguente, detta seconda forma delle
equazioni del Lagrange:
d ∂T
−
dt∂˙qh
∂T
= Qh, h = 1,2,...,n. (5.70)
∂qh
Esse danno la completa impostazione del problema del moto di un sistema olonomo; e, sotto
l’aspetto analitico, costituiscono un sistema differenziabile del II◦ ordine nelle n funzioni incognite
qh(t), riducibile a forma normale.