Note del corso di Fisica Matematica A

5.3 Equazioni cardinali della Dinamica e equazioni di Lagrange 129
In base alla arbitrarietà dei termini δqh e alle due identità (5.67) e (5.68) l’equazione simbolica della
Dinamica equivale alle n equazioni:
τh = Qh, h = 1,2,...,n. (5.69)
Si conclude così che per il sistema olonomo, e a vincoli lisci e bilateri, considerato le n
equazioni (5.69) equivalgono alla equazione simbolica della Dinamica e sono perciò atte
a caratterizzare il moto.
Più precisamente abbiamo dimostrato che:
Teorema 5.14. Supponendo il sistema olonomo, e a vincoli lisci e bilateri, allora, in virtù del postulato
dei lavori virtuali, discende che, durante il moto, le (5.69) sono necessariamente verificate.
Si verifica che esse costituiscono precisamente un sistema di n equazioni differenziali (indipendenti)
del II ◦ ordine nelle n funzioni incognite qh della variabile t, riducibile a
forma normale, cioé risolubile rispetto alle derivate seconde. Infatti i termini dipendenti
dalle ¨qh compaiono solamente nella τh, tramite le as, come (ottenuta derivando la (5.64) rispetto al
tempo):
n ∂Ps
as = ¨qh +rs(˙qh,qh;t).
h=1 ∂qh
Si riconosce quindi che nella generica equazione (5.69) (di indice h) il coefficiente delle ¨qk è uguale a
ah,k =
N
s=1
∂Ps
ms ·
∂qh
∂Ps
∂qk
coincidente con il coefficiente ah,k di ˙qh˙qk nella espressione, in coordinate lagrangiane, della energia
cinetica T o della sua parte quadratica T2, secondo che i vincoli siano indipendenti o no dal tempo;
e dove si è dimostrato che il determinante ah,k non è mai nullo. Con le (5.69) si è raggiunto lo
scopo indicato: si è cioé ridotto il problema della determinazione del moto di un sistema
olonomo alla integrazione di un sistema differenziale (del II ◦ ordine) nel minimo numero
possibile di funzione incognite (numero dei gradi di libertà).
Notiivaloriq 0 h e ˙q 0 h diqh e ˙qh inundeterminatoistante,cioéassegnatelaconfigurazioneinizialedel
sistema e le velocità iniziali dei singoli punti, allora avremo, per i noti teoremi di esistenza ed unicità
delle equazioni differenziali, una unica soluzione qh = qh(t) delle (5.69) che darà, necessariamente, il
moto del sistema. Cioé:
Teorema 5.15. Suppondendo il sistema olonomo e a vincoli lisci e bilateri e assumendo condizioni
sufficienti di regolarità, siano qh(t) soluzioni del sistema (5.69) soddisfacenti alle condizioni iniziali
assegnate q 0 h e ˙q 0 h. Allora qh(t) determina la legge oraria del moto (almeno in un intorno dell’istante
iniziale).
5.3.6 Dimostrazione della ”sufficienza” delle equazioni cardinali della Dinamica
Consideriamo il caso di un corpo rigido soggetto a vincoli bilateri e lisci. Siamo in grado di provare
che le equazioni cardinali della Dinamica sono sufficienti a determinare il moto. Cioé: