Note del corso di Fisica Matematica A

128 5 Dinamica: equazioni differenziali del moto
Commento al Principio di D’Alembert
Alcuni autori (ad esempio Gallavotti e Dell’Antonio) preferiscono introdurre il principio dei lavori
virtuali (Il lavoro virtuale delle reazioni vincolari è nullo) e poi specificare che i vincoli per i quali
questo principio è soddisfatto si chiamano vincoli perfetti o vincoli ideali. Si verifica sperimentalmente
che, nel caso di sistemi meccanici, quanto più le superfici di vincolo sono ”levigate” o ”lisce”
allora tanto migliore è la descrizione del moto mediante il principio di D’Alambert.
Osserviamo anche che questo principio è giustificato esclusivamente dalla verifica sperimentale e
non è conseguenza delle tre leggi di Newton. La sua importanza risiede nel fatto che questo principio
permette di caratterizzare quei sistemi meccanici per i quali la equazione di Newton rappresenta un
problemabenposto(cioésihalaesistenzaedunicitàdellasoluzioneperognidatoinizialecompatibile
con il vincolo e la continuità rispetto ai dati iniziali).
Osserviamo infine che altri autori postulano la validità della equazione (o relazione) simbolica
della Dinamica e da questa fanno discendere il principio dei lavori virtuali; questo approccio, seppur
legittimo, priva il principio dei lavori virtuali della evidenza sperimentale e lo fa discendere da un
postulato più astratto.
5.3.5 Equazioni differenziali del moto di un sistema olonomo in coordinate lagrangiane
Riferiamo il nostro sistema olonomo S, ad una n−upla qualsiasi di coordinate lagrangiane indipendenti
qh dove n denota il grado di libertà del sistema. Sia Ps = Ps(qh;t) che, derivate rispetto al
tempo, danno le velocità
e gli spostamenti virtuali
vs =
n ∂Ps
h=1
∂qh
˙qh + ∂Ps
∂t
, s = 1,...,N, (5.64)
n ∂Ps
δPs = δqh, s = 1,...,N, (5.65)
h=1 ∂qh
dove le n componenti δqh sono arbitrarie e indipendenti. Riprendendo la equazione simbolica
della Dinamica, considerata valida per tutti gli spostamenti virtuali, si ha:
N N
msas ·δPs = Fs ·δPs. (5.66)
s=1 s=1
Per il secondo membro, lavoro virtuale δL delle forze attive complessivo, si ha identicamente:
N n
N
Fs ·δPs = Qhδqh dove Qh = Fs ·
s=1 h=1
s=1
∂Ps
∂qh
(5.67)
è la componente della sollecitazione attiva secondo la coordinata lagrangiana qh. Quanto
al primo membro della (5.66) esso si può scrivere, dalla (5.65), come
N n
N
msas ·δPs = τhδqh, dove τh = msas ·
s=1 h=1
s=1
∂Ps
. (5.68)
∂qh