Note del corso di Fisica Matematica A

5.3.4 Principio di d’Alembert e relazione simbolica della Dinamica
5.3 Equazioni cardinali della Dinamica e equazioni di Lagrange 127
Distinguendo tra forze attive e vincolari durante il moto varranno le equazioni fondamentali
che si possono scrivere
msas = Fs +φs
(5.59)
Fs −msas +φs = 0. (5.60)
Se durante il moto si interpreta ciascuno dei vettori −msas come una forza, che diremo forza
d’inerzia concernente il punto Ps, si rileva dalle (5.60), in quanto si riferiscono ad N punti da
considerarsi come liberi, che: durante il moto di un sistema materiale, comunque vincolato
e sollecitato, si fanno, istante per istante, equilibrio le forze attive, le forze di inerzia e
le reazioni. In particolare, dando il nome di forze perdute ai termini Fs −msas, avremo che
Principio di d’Alembert: Durante il moto di un sistema materiale, comunque vincolato e sollecitato,
si fanno istante per istante equilibrio, in virtù dei vincoli, le forze perdute e le reazioni
vincolari.
Il principio di d’Alembert ha un notevole interesse in quanto riduce l’impostazione di una
qualsiasi questione Dinamica ad una questione di Statica.
Il principio del d’Alembert, unitamente al principio dei lavori virtuali (che vuole il lavoro virtuale
dellereazionivincolarinullonell’ipotesidivincolilisci),conduceacaratterizzareilmotodiunsistema
a vincoli privi di attrito mediante la relazione
N
(Fs −msas)·δPs ≤ 0 (5.61)
s=1
da considerarsi valida per tutti e soli gli spostamenti virtuali δPs, a partire dalla configurazione
assunta dal sistema, durante il suo moto, nel generico istante che si considera. La (5.61) prende
il nome di relazione simbolica della Dinamica; nel caso di vincoli bilaterali va sostituita alla
corrispondente equazione
N
(Fs −msas)·δPs = 0 (5.62)
s=1
detta equazione simbolica della Dinamica.
La relazione simbolica della Dinamica è stata determinata nel caso in cui i vincoli siano privi di
attrito. Qualora vi siano vincoli scabri noi possiamo ripetere il procedimento che ci ha portato a
tale relazione con la sola variante che si consideri direttamente applicata a ciascun punto Ps, accanto
alla risultante Fs delle forze attive (interne ed esterne), anche la risultante φs delle reazioni vincolari
(interne ed esterne) dovute ai vincoli scabri. Si perviene in tale modo alla relazione simbolica
N
(Fs +φs −msas)·δPs = 0. (5.63)
s=1
Questa relazione è, in generale, di utilità puramente teorica. Acquista un reale interesse nel caso
di vincolo di puro rotolamento. Infatti, in questo caso particolare, il punto in cui si esercita la
reazione dovuto al vincolo scabro è istantaneamente fermo e quindi φs·δPs = 0 e la (5.63) si riduce
alla (5.62).