Note del corso di Fisica Matematica A

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126 5 Dinamica: equazioni differenziali del moto 3 incognite (ad esempio gli angoli di Eulero) non contenente le reazioni vincolari. Tale sistema è riducibile in forma normale e quindi, in virtù del Teorema di Cauchy, questo caratterizza tutte e sole le soluzioni del moto. L’equazionecardinaledeimomentirisulta,talvolta,piùsignificativaseriferitaadunaternasolidale (O ′ ;x ′ ,y ′ ,z ′ ) avente origine in O ′ ≡ O: ′ dK(O ) dt O ′ +ω ×K(O ′ ) = Ωe(O ′ ), (5.54) dove ω designa la velocità angolare della terna solidale, cioé del corpo stesso, rispetto agli assi (O;x,y,z)e dK(O ′ ) dt O ′ laderivatadiK(O′ )rispettoateffettuatarispettoall’osservatore(O ′ ;x ′ ,y ′ ,z ′ ). La (5.54) diventa particolarmente significativa quando si assume come terna (O ′ ;x ′ ,y ′ ,z ′ ) quella dei tre assi principali di inerzia del solido nel suo punto O ′ , in questo caso K(O ′ ) ha componenti Kx ′ = Ap, Ky ′ = Bq, Kz ′ = Cr. (5.55) Denotando con Ωx ′, Ωy ′ e Ωz ′ le componenti secondo gli assi solidali del momento risultante Ωe(O ′ ), rispetto ad O ′ , delle forze attive esterne la (5.54) conduce alle equazioni scalari ⎧ ⎪⎨ A˙p−(B −C)qr = Ωx ⎪⎩ ′, B˙q −(C −A)rp = Ωy ′, C˙r −(A−B)pq = Ωz ′. (5.56) Le (5.56) si dicono equazioni di Eulero del moto di un solido intorno ad un suo punto fisso. Si notichelecomponentidiΩe(O ′ )vannoconsiderate,nelcasopiùgenerale,comenoteinfunzione,oltre che del tempo, delle velocità dei singoli punti del solido e, in più, delle loro posizioni nello spazio o, che è lo stesso data l’ipotesi di rigidità, della orientazione del solido intorno ad O ′ . Tramite la formula fondamentale della cinematica rigida abbiamo che le velocità dei punti dipendono dai parametri di orientazione e dalle p, q, r; inoltre le p, q, r stesse sono legate a questi parametri di orientazione da relazioni di tipo differenziale. Scegliendo, ad esempio, come parametri lagrangiani gli angoli di Eulero θ, ϕ, ψ della terna solidale rispetto alla fissa allora aggiungeremo alle (5.56) le note equazioni, puramente cinematiche ⎧ ⎪⎨ p= ⎪⎩ ˙ θcosϕ+ ˙ ψsinϕsinθ q = −˙ θsinϕ+ ˙ ψcosϕsinθ r = ˙ (5.57) ψcosθ+ ˙ϕ si ottiene un sistema di equazioni differenziali del primo ordine nelle 6 incognite θ, ϕ, ψ, p, q e r. Corpo rigido con asse fisso In questo caso abbiamo un sistema meccanico con 1 grado di libertà e la seconda equazione cardinale della Dinamica, in cui prendiamo come polo un punto fisso O sull’asse fisso, proiettata sull’asse stesso (coincidente con l’asse z) dà luogo all’equazione differenziale Iz ¨ θ = Ωe,z (5.58) dove θ indica l’angolo di rotazione attorno all’asse fisso, Iz il momento di inerzia del corpo rigido rispetto a quest’asse. Infatti le reazioni vincolari sono tutte applicate a punti dell’asse (da cui deriva Ψe,z = 0). Tale equazione è in forma normale e quindi, in virtù del Teorema di Cauchy, questo caratterizza tutte e sole le soluzioni del moto.
5.3.4 Principio di d’Alembert e relazione simbolica della Dinamica 5.3 Equazioni cardinali della Dinamica e equazioni di Lagrange 127 Distinguendo tra forze attive e vincolari durante il moto varranno le equazioni fondamentali che si possono scrivere msas = Fs +φs (5.59) Fs −msas +φs = 0. (5.60) Se durante il moto si interpreta ciascuno dei vettori −msas come una forza, che diremo forza d’inerzia concernente il punto Ps, si rileva dalle (5.60), in quanto si riferiscono ad N punti da considerarsi come liberi, che: durante il moto di un sistema materiale, comunque vincolato e sollecitato, si fanno, istante per istante, equilibrio le forze attive, le forze di inerzia e le reazioni. In particolare, dando il nome di forze perdute ai termini Fs −msas, avremo che Principio di d’Alembert: Durante il moto di un sistema materiale, comunque vincolato e sollecitato, si fanno istante per istante equilibrio, in virtù dei vincoli, le forze perdute e le reazioni vincolari. Il principio di d’Alembert ha un notevole interesse in quanto riduce l’impostazione di una qualsiasi questione Dinamica ad una questione di Statica. Il principio del d’Alembert, unitamente al principio dei lavori virtuali (che vuole il lavoro virtuale dellereazionivincolarinullonell’ipotesidivincolilisci),conduceacaratterizzareilmotodiunsistema a vincoli privi di attrito mediante la relazione N (Fs −msas)·δPs ≤ 0 (5.61) s=1 da considerarsi valida per tutti e soli gli spostamenti virtuali δPs, a partire dalla configurazione assunta dal sistema, durante il suo moto, nel generico istante che si considera. La (5.61) prende il nome di relazione simbolica della Dinamica; nel caso di vincoli bilaterali va sostituita alla corrispondente equazione N (Fs −msas)·δPs = 0 (5.62) s=1 detta equazione simbolica della Dinamica. La relazione simbolica della Dinamica è stata determinata nel caso in cui i vincoli siano privi di attrito. Qualora vi siano vincoli scabri noi possiamo ripetere il procedimento che ci ha portato a tale relazione con la sola variante che si consideri direttamente applicata a ciascun punto Ps, accanto alla risultante Fs delle forze attive (interne ed esterne), anche la risultante φs delle reazioni vincolari (interne ed esterne) dovute ai vincoli scabri. Si perviene in tale modo alla relazione simbolica N (Fs +φs −msas)·δPs = 0. (5.63) s=1 Questa relazione è, in generale, di utilità puramente teorica. Acquista un reale interesse nel caso di vincolo di puro rotolamento. Infatti, in questo caso particolare, il punto in cui si esercita la reazione dovuto al vincolo scabro è istantaneamente fermo e quindi φs·δPs = 0 e la (5.63) si riduce alla (5.62).
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Fisica Matematica A 1 Marzo, 2013
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