Note del corso di Fisica Matematica A

5.3.3 Equazioni cardinali del moto di un sistema qualsiasi
Le due equazioni vettoriali
o, più particolarmente, la (5.51) e la
5.3 Equazioni cardinali della Dinamica e equazioni di Lagrange 125
dQ
dt = Re +Φe
(5.51)
dK(O)
dt = Ωe(O)+Ψe(O)−v(O)×Q, (5.52)
dK(O)
dt = Ωe(O)+Ψe(O), (5.53)
si dicono le equazioni cardinali della Dinamica.
Così come nel caso statico (in cui Q ≡ 0 e K(O) ≡ 0) queste valgono necessariamente per ogni
sistemamaterialemobileenonsarannoingeneralesufficientiacaratterizzarneilmoto. Seperòsarà
possibile ridurre da esse un numero di equazioni differenziali indipendenti, non contenenti le reazioni
vincolari, ma solamente i parametri lagrangiani del sistema allora esse possono essere ”sufficienti”
a caratterizzare il moto. Cioé la soluzione di tali equazioni soddisfacenti alle condizioni iniziali dà,
per il teorema di unicità delle equazioni differenziali, il moto del sistema. Più precisamente si può
pensare che, in accordo con il caso statico, per i sistemi rigidi esse bastano in ogni caso a definirne
il moto completamente e perciò costituiscono la base di tutta la Dinamica dei solidi.
Mostriamo che questa proposizione è verificata per alcuni casi notevoli.
Corpo rigido libero
In questo caso abbiamo un sistema meccanico con 6 gradi di libertà e le equazioni cardinali della
Dinamica sono
m d2G dt2 = Re e dK(O)
dt
= Ωe(O)
dove O è un punto fisso o coincidente con il baricentro e dove Re e Ωe(O) dipendono, in generale, dai
parametrilagrangiani,dalleloroderivateedaltempo. Abbiamocosìottenutounsistemadiequazioni
differenziali costituito da 6 equazioni in 6 incognite. Con una scelta opportuna dei parametri lagrangiani
(ad es. le tre coordinate del baricentro e i 3 angoli di Eulero) si prova che tale sistema è
riducibile in forma normale e quindi, in virtù del Teorema di Cauchy, questo caratterizza tutte e sole
le soluzioni del moto.
Corpo rigido con punto fisso
In questo caso abbiamo un sistema meccanico con 3 gradi di libertà e le equazioni cardinali della
Dinamica, in cui prendiamo come polo il punto fisso O, sono
m d2G dt2 = Re +Φe e dK(O)
dt
= Ωe(O)
poiché Ψe(O) = 0 in quanto tutte le reazioni vincolari esterne sono applicate in O. Quindi la seconda
equazione cardinale rappresenta un sistema di equazioni differenziali costituito da 3 equazioni nelle