Note del corso di Fisica Matematica A
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5.3.3 Equazioni car<strong>di</strong>nali <strong>del</strong> moto <strong>di</strong> un sistema qualsiasi<br />
Le due equazioni vettoriali<br />
o, più particolarmente, la (5.51) e la<br />
5.3 Equazioni car<strong>di</strong>nali <strong>del</strong>la Dinamica e equazioni <strong>di</strong> Lagrange 125<br />
dQ<br />
dt = Re +Φe<br />
(5.51)<br />
dK(O)<br />
dt = Ωe(O)+Ψe(O)−v(O)×Q, (5.52)<br />
dK(O)<br />
dt = Ωe(O)+Ψe(O), (5.53)<br />
si <strong>di</strong>cono le equazioni car<strong>di</strong>nali <strong>del</strong>la Dinamica.<br />
Così come nel caso statico (in cui Q ≡ 0 e K(O) ≡ 0) queste valgono necessariamente per ogni<br />
sistemamaterialemobileenonsarannoingeneralesufficientiacaratterizzarneilmoto. Seperòsarà<br />
possibile ridurre da esse un numero <strong>di</strong> equazioni <strong>di</strong>fferenziali in<strong>di</strong>pendenti, non contenenti le reazioni<br />
vincolari, ma solamente i parametri lagrangiani <strong>del</strong> sistema allora esse possono essere ”sufficienti”<br />
a caratterizzare il moto. Cioé la soluzione <strong>di</strong> tali equazioni sod<strong>di</strong>sfacenti alle con<strong>di</strong>zioni iniziali dà,<br />
per il teorema <strong>di</strong> unicità <strong>del</strong>le equazioni <strong>di</strong>fferenziali, il moto <strong>del</strong> sistema. Più precisamente si può<br />
pensare che, in accordo con il caso statico, per i sistemi rigi<strong>di</strong> esse bastano in ogni caso a definirne<br />
il moto completamente e perciò costituiscono la base <strong>di</strong> tutta la Dinamica dei soli<strong>di</strong>.<br />
Mostriamo che questa proposizione è verificata per alcuni casi notevoli.<br />
Corpo rigido libero<br />
In questo caso abbiamo un sistema meccanico con 6 gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà e le equazioni car<strong>di</strong>nali <strong>del</strong>la<br />
Dinamica sono<br />
m d2G dt2 = Re e dK(O)<br />
dt<br />
= Ωe(O)<br />
dove O è un punto fisso o coincidente con il baricentro e dove Re e Ωe(O) <strong>di</strong>pendono, in generale, dai<br />
parametrilagrangiani,dalleloroderivateedaltempo. Abbiamocosìottenutounsistema<strong>di</strong>equazioni<br />
<strong>di</strong>fferenziali costituito da 6 equazioni in 6 incognite. Con una scelta opportuna dei parametri lagrangiani<br />
(ad es. le tre coor<strong>di</strong>nate <strong>del</strong> baricentro e i 3 angoli <strong>di</strong> Eulero) si prova che tale sistema è<br />
riducibile in forma normale e quin<strong>di</strong>, in virtù <strong>del</strong> Teorema <strong>di</strong> Cauchy, questo caratterizza tutte e sole<br />
le soluzioni <strong>del</strong> moto.<br />
Corpo rigido con punto fisso<br />
In questo caso abbiamo un sistema meccanico con 3 gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà e le equazioni car<strong>di</strong>nali <strong>del</strong>la<br />
Dinamica, in cui pren<strong>di</strong>amo come polo il punto fisso O, sono<br />
m d2G dt2 = Re +Φe e dK(O)<br />
dt<br />
= Ωe(O)<br />
poiché Ψe(O) = 0 in quanto tutte le reazioni vincolari esterne sono applicate in O. Quin<strong>di</strong> la seconda<br />
equazione car<strong>di</strong>nale rappresenta un sistema <strong>di</strong> equazioni <strong>di</strong>fferenziali costituito da 3 equazioni nelle