Note del corso di Fisica Matematica A

124 5 Dinamica: equazioni differenziali del moto
Teorema del momento delle quantità di moto
Riprendiamo le equazioni (5.46) e consideriamo, come elemento ausiliare di riduzione, un punto O
qualsiasi. Se, dopo avere moltiplicato vettorialmente ambo i membri per (Ps − O), sommiamo
rispetto all’indice s si ha, ricordando che il momento risultante delle forze interne rispetto ad O è
costantemente nullo:
Che si può scrivere come:
N
N
msas ×(O−Ps) = (Ps −O)×msas
s=1
s=1
= dK(O)
dt +v(O)×Q.
dK(O)
dt +v(O)×Q = Ωe(O)+Ψe(O). (5.49)
Se, in particolare, il centro di riduzione O è fisso o coincide con il baricentro o ha velocità
parallela a quella del baricentro, allora la (5.49) assume la forma più semplice
Vale quindi il seguente:
dK(O)
dt = Ωe(O)+Ψe(O). (5.50)
Teorema 5.13 (Teorema del momento della quantità di moto). Comunque si muova un sistema
materiale, la derivata in rapporto al tempo del momento delle quantità di moto rispetto ad un
punto fisso o coincidente con il baricentro o avente velocità parallela a quella del baricentro è, istante
per istante, uguale al momento risultante di tutte e sole le forze (attive e vincolari) esterne rispetto
al medesimo centro di riduzione.
Il Teorema è qui dimostrato nella solita ipotesi implicita che il moto del sistema sia riferito al
riferimento rispetto al quale sono misurate le forze. Ma sappiamo che, assumendo come centro di
riduzione il baricentro, il momento della quantità di moto (assoluto) del sistema coincide
con quello della quantità di moto relativa al baricentro (cioé relativa al riferimento baricentrico
e traslante); perciò la (5.50) sussiste anche quando per K(G) si prenda quest’ultimo
momento K ′ (G), purché, beninteso, i momenti Ωe(G) e Ψe(G) delle forze esterne si calcolino
rispetto all’osservatore iniziale.
Se la sollecitazione del sistema è tale che il momento risultante Ωe(O)+Ψe(O) delle forze esterne
si mantenga costantemente nullo allora, durante tutto il moto, il vettore K(O) si conserva
costante (in grandezza e direzione) e l’equazione K(O) = cost. si chiama integrale del momento
(vettoriale) delle quantità di moto. Ad esempio, nel caso di un solido soggetto a forze esterne in
cui sia nullo il momento risultante rispetto al baricentro (è il caso di un sistema pesante), se questo si
muove a partire dalla quiete, il suo moto è necessariamente traslatorio. In generale le componenti
del vettore K(G) (date da Ap, Bq, Cr) si mantengono costanti (e per sistemi inizialmente in quiete
dovrà aversi p = q = r = 0 per tutto il moto).