Note del corso di Fisica Matematica A
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124 5 Dinamica: equazioni <strong>di</strong>fferenziali <strong>del</strong> moto<br />
Teorema <strong>del</strong> momento <strong>del</strong>le quantità <strong>di</strong> moto<br />
Ripren<strong>di</strong>amo le equazioni (5.46) e consideriamo, come elemento ausiliare <strong>di</strong> riduzione, un punto O<br />
qualsiasi. Se, dopo avere moltiplicato vettorialmente ambo i membri per (Ps − O), sommiamo<br />
rispetto all’in<strong>di</strong>ce s si ha, ricordando che il momento risultante <strong>del</strong>le forze interne rispetto ad O è<br />
costantemente nullo:<br />
Che si può scrivere come:<br />
N<br />
N<br />
msas ×(O−Ps) = (Ps −O)×msas<br />
s=1<br />
s=1<br />
= dK(O)<br />
dt +v(O)×Q.<br />
dK(O)<br />
dt +v(O)×Q = Ωe(O)+Ψe(O). (5.49)<br />
Se, in particolare, il centro <strong>di</strong> riduzione O è fisso o coincide con il baricentro o ha velocità<br />
parallela a quella <strong>del</strong> baricentro, allora la (5.49) assume la forma più semplice<br />
Vale quin<strong>di</strong> il seguente:<br />
dK(O)<br />
dt = Ωe(O)+Ψe(O). (5.50)<br />
Teorema 5.13 (Teorema <strong>del</strong> momento <strong>del</strong>la quantità <strong>di</strong> moto). Comunque si muova un sistema<br />
materiale, la derivata in rapporto al tempo <strong>del</strong> momento <strong>del</strong>le quantità <strong>di</strong> moto rispetto ad un<br />
punto fisso o coincidente con il baricentro o avente velocità parallela a quella <strong>del</strong> baricentro è, istante<br />
per istante, uguale al momento risultante <strong>di</strong> tutte e sole le forze (attive e vincolari) esterne rispetto<br />
al medesimo centro <strong>di</strong> riduzione.<br />
Il Teorema è qui <strong>di</strong>mostrato nella solita ipotesi implicita che il moto <strong>del</strong> sistema sia riferito al<br />
riferimento rispetto al quale sono misurate le forze. Ma sappiamo che, assumendo come centro <strong>di</strong><br />
riduzione il baricentro, il momento <strong>del</strong>la quantità <strong>di</strong> moto (assoluto) <strong>del</strong> sistema coincide<br />
con quello <strong>del</strong>la quantità <strong>di</strong> moto relativa al baricentro (cioé relativa al riferimento baricentrico<br />
e traslante); perciò la (5.50) sussiste anche quando per K(G) si prenda quest’ultimo<br />
momento K ′ (G), purché, beninteso, i momenti Ωe(G) e Ψe(G) <strong>del</strong>le forze esterne si calcolino<br />
rispetto all’osservatore iniziale.<br />
Se la sollecitazione <strong>del</strong> sistema è tale che il momento risultante Ωe(O)+Ψe(O) <strong>del</strong>le forze esterne<br />
si mantenga costantemente nullo allora, durante tutto il moto, il vettore K(O) si conserva<br />
costante (in grandezza e <strong>di</strong>rezione) e l’equazione K(O) = cost. si chiama integrale <strong>del</strong> momento<br />
(vettoriale) <strong>del</strong>le quantità <strong>di</strong> moto. Ad esempio, nel caso <strong>di</strong> un solido soggetto a forze esterne in<br />
cui sia nullo il momento risultante rispetto al baricentro (è il caso <strong>di</strong> un sistema pesante), se questo si<br />
muove a partire dalla quiete, il suo moto è necessariamente traslatorio. In generale le componenti<br />
<strong>del</strong> vettore K(G) (date da Ap, Bq, Cr) si mantengono costanti (e per sistemi inizialmente in quiete<br />
dovrà aversi p = q = r = 0 per tutto il moto).