Note del corso di Fisica Matematica A

n
.
.
t
1.1 Operazioni sui vettori 7
Fig. 1.6. Sulla traiettoria γ é possibile introdurre un’origine O ′ e un verso di percorrenza positivo; l’ascissa curvilinea s definisce
in modo univoco la posizione di un punto P su γ. IL versore tangente ˆt ha direzione tangente alla curva e verso concorde con
il verso positivo della curva; il versore normale ˆn giace nel piano osculatore ed é diretto verso la parte interna della curva. Il
disco osculatore giace nel piano osculatore, il suo centro appartiene alla retta normale e il suo raggio coincide con il raggio
di curvatura ρc; tra tutti i dischi tangenti alla curva in P il disco osculatore é quello che meglio approssima, localmente, la
traiettoria γ.
2 dx
+
dt
2 dy
+
dt
2 dz
= 0.
dt
Un caso particolare è il caso, ben noto, di una curva definita nel piano attraverso la rappresentazione
cartesiana
x → y = f(x), x ∈ [x1,x2]
dove f(x) è una funzione assegnata e dove [x1,x2] è un intervallo assegnato. In questo caso la curva
γ consiste in
γ =
(x,y) ∈ R 2 : x ∈ [x1,x2],y = f(x)
Questo caso, infatti, può essere visto come un caso particolare del precedente in cui x = t, y = f(t)
e z = 0.
Sulla curva γ si può introdurre un’origine O1 ed un verso di percorrenza positivo, si può inoltre
calcolare la lunghezza s detta ascissa curvilinea, con segno, dell’arco di curva congiungente O1 con
un generico punto P(t) di coordinate (x(t),y(t),z(t)) attraverso l’integrale
s = s(t) = ±
t
t0
dx(t ′ )
dt
2
+
dy(t ′ )
dt
2
+
dz(t ′ )
dove t0 è il valore del parametro corrisponde a O1 e dove prenderemo il segno +, rispettivamente −,
se P segue, rispettivamente precede, O1 secondo il verso assegnato sulla curva. La funzione t → s(t)
dt
2
dt ′