Note del corso di Fisica Matematica A

5.3 Equazioni cardinali della Dinamica e equazioni di Lagrange 123
Per una più precisa caratterizzazione seguiteremo il percorso già tracciato nella Statica dove, distinguendo
le forze in interne ed esterne, siamo pervenuti alle equazioni cardinali della Statica;
mentre poi, nella Statica generale, partendo dalla distinzione delle forze in attive e vincolari e aggiungendo
opportune ipotesi alla natura dei vincoli (assenza di attrito), siamo riusciti ad eliminare,
grazie al principio dei lavori virtuali, dalle condizioni di equilibrio le incognite reazioni.
5.3.2 Teoremi della quantità di moto e del momento delle quantità di moto. Equazioni cardinali della
Dinamica
Teorema della quantità di moto
Dato un sistema materiale S di N punti Ps comunque vincolato e sollecitato, distinguiamo l’insieme
di tutte le forze attive e vincolari agenti sul sistema in esterne ed interne (attive e vincolari) avente
vettori denotati, rispettivamente, Fs,i e φs,i e Fs,e e φs,e. Le equazioni del moto si potranno scrivere:
msas = Fs,i +φs,i +Fs,e +φs,e, s = 1, ..., N. (5.46)
Le forze interne (Ps,Fs,i) e (Ps,φs,i), per la loro stessa natura, costituiscono un sistema vettorialmente
equivalente a zero (cioé avente nulli il risultante e il momento risultante); quindi,
sommando ambo i membri della (5.46), si ottiene:
dQ
dt =
N dvs
ms
dt =
N N N
msas = Fs,e + φs,e
s=1
s=1
e denotando con Re il vettore risultante di tutte le forze attive esterne e denotando con Φe il vettore
risultante di tutte le reazioni vincolari esterne, si ottiene la relazione
Abbiamo dunque il seguente risultato:
s=1
s=1
dQ
dt = Re +Φe. (5.47)
Teorema 5.11 (Teorema della quantità di moto). La derivata della quantità di moto di un
qualsiasi sistema materiale è, istante per istante, uguale al vettore risultante delle forze esterne
(attive e vincolari).
Ricordando che Q = mvG, dove m è la massa del sistema e vG la velocità del baricentro, la (5.47)
si può scrivere
Cioé:
maG = Re +Φe. (5.48)
Teorema 5.12 (Teorema del baricentro). Qualunque sia il sistema materiale che si considera e
qualunque sia la sollecitazione cui esso è sottoposto, il baricentro si muove come se fosse un punto
materiale dotato della massa totale del sistema e come se tutte le forze esterne (attive e vincolari)
agenti sul sistema fossero applicate in esso.
Il teorema precedente ci assicura che nessuna azione di congegni interni verrà a modificare la
traiettoria del baricentro. In particolare se Re +Φe è identicamente nullo dalla (5.48) segue aG =
0; cioé il baricentro si muove di moto rettilineo uniforme. Se poi, più generalmente, è
costantemente nulla la componente di Re +Φe secondo una qualche direzione fissa a si ottiene che
rimane costante, durante il moto del sistema, la componente della velocità del baricentro
secondo la direzione a.