Note del corso di Fisica Matematica A

122 5 Dinamica: equazioni differenziali del moto
Esercizio 5.7: Calcolare l’energia cinetica di un disco omogeneo di massa m, raggio R, mobile
nel piano e che ruota senza strisciare su un asse.
Esercizio 5.8: Sia dato il sistema materiale (detto bilanciere) costituito da:
- due sfere omogenee di massa M e raggio R ciascuna,
- un’asta rigida, omogenea, lunga 2ℓ e massa 2m;
l’asta è rigidamente collegata alle due sfere come in figura. Calcolare l’energia cinetica del sistema
sapendo che l’asta ruota attorno ad un asse fisso passante per il centro dell’asta e normale all’asta
stessa.
Esercizio 5.9: Calcolare il momento della quantità di moto di un’asta AB omogenea, lunga ℓ e
massa m che ruota attorno ad un asse normale all’asta stessa e passante per l’estremo A.
Esercizio 5.10: Calcolare il momento della quantità di moto di un’asta OA omogenea, lunga ℓ e
massa m avente l’estremo O fisso.
Esercizio 5.11: Calcolare il momento della quantità di moto di un’asta AB omogenea, lunga ℓ e
massa m che si muove liberamente nel piano (O;x,y).
5.3 Equazioni cardinali della Dinamica e equazioni di Lagrange
5.3.1 Generalità
Se ci riferiamo ad un sistema S di N punti materiali Ps ogni sollecitazione sarà costituita da forze
applicate agli N punti del sistema che, in base al postulato di indipendenza degli effetti delle forze,
si potranno ridurre ad N forze applicate rispettivamente agli N punti Ps, sostituendo, per
ciascuno di questi, alle varie forze agenti su di esso la rispettiva risultante.
Se gli N punti Ps sono liberi ed è data la sollecitazione risultante Fs cui essi sono sottoposti, il
problema del moto si pone immediatamente nelle equazione vettoriali (e quindi 3N equazioni scalari)
del II ◦ ordine nelle N incognite vettoriali Ps = Ps(t) dell’unica variabile indipendente t:
msas = Fs
dove as è l’accelerazione del punto Ps, di massa ms, valutata con riferimento alla terna rispetto alla
quale sono misurate le forze agenti sui punti del sistema.
In generale avremo, oltre alle forze attive, anche dei vincoli (sistemi materiali vincolati); per
quanto è noto dal postulato delle reazioni vincolari possiamo ritenere che su ciascun punto
del sistema l’azione esercitata dai vincoli, nelle date condizioni di sollecitazione, sia
sostituibile con una forza (incognita) che chiameremo reazione o forza vincolare. Se ne
consegue che, anche nel caso più generale di sistemi vincolati, varranno le equazioni fondamentali
msas = Fs +φs
(5.45)
purché vi si interpreti ciascuna delle Fs come risultante complessiva delle forze attive e φs
delle reazioni, cui è soggetto il corrispondente punto Ps. Sinotiche,ingenerale,siconoscono,
oltre alle forze attive, le modalità di realizzazione dei vincoli, ma non le corrispondenti reazioni,
le quali hanno perciò il carattere di incognite ausiliarie; di qui appare che le equazioni (5.45)
costituiscono, per il problema del moto di un sistema vincolato, una interpretazione provvisoria.