Note del corso di Fisica Matematica A
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122 5 Dinamica: equazioni <strong>di</strong>fferenziali <strong>del</strong> moto<br />
Esercizio 5.7: Calcolare l’energia cinetica <strong>di</strong> un <strong>di</strong>sco omogeneo <strong>di</strong> massa m, raggio R, mobile<br />
nel piano e che ruota senza strisciare su un asse.<br />
Esercizio 5.8: Sia dato il sistema materiale (detto bilanciere) costituito da:<br />
- due sfere omogenee <strong>di</strong> massa M e raggio R ciascuna,<br />
- un’asta rigida, omogenea, lunga 2ℓ e massa 2m;<br />
l’asta è rigidamente collegata alle due sfere come in figura. Calcolare l’energia cinetica <strong>del</strong> sistema<br />
sapendo che l’asta ruota attorno ad un asse fisso passante per il centro <strong>del</strong>l’asta e normale all’asta<br />
stessa.<br />
Esercizio 5.9: Calcolare il momento <strong>del</strong>la quantità <strong>di</strong> moto <strong>di</strong> un’asta AB omogenea, lunga ℓ e<br />
massa m che ruota attorno ad un asse normale all’asta stessa e passante per l’estremo A.<br />
Esercizio 5.10: Calcolare il momento <strong>del</strong>la quantità <strong>di</strong> moto <strong>di</strong> un’asta OA omogenea, lunga ℓ e<br />
massa m avente l’estremo O fisso.<br />
Esercizio 5.11: Calcolare il momento <strong>del</strong>la quantità <strong>di</strong> moto <strong>di</strong> un’asta AB omogenea, lunga ℓ e<br />
massa m che si muove liberamente nel piano (O;x,y).<br />
5.3 Equazioni car<strong>di</strong>nali <strong>del</strong>la Dinamica e equazioni <strong>di</strong> Lagrange<br />
5.3.1 Generalità<br />
Se ci riferiamo ad un sistema S <strong>di</strong> N punti materiali Ps ogni sollecitazione sarà costituita da forze<br />
applicate agli N punti <strong>del</strong> sistema che, in base al postulato <strong>di</strong> in<strong>di</strong>pendenza degli effetti <strong>del</strong>le forze,<br />
si potranno ridurre ad N forze applicate rispettivamente agli N punti Ps, sostituendo, per<br />
ciascuno <strong>di</strong> questi, alle varie forze agenti su <strong>di</strong> esso la rispettiva risultante.<br />
Se gli N punti Ps sono liberi ed è data la sollecitazione risultante Fs cui essi sono sottoposti, il<br />
problema <strong>del</strong> moto si pone imme<strong>di</strong>atamente nelle equazione vettoriali (e quin<strong>di</strong> 3N equazioni scalari)<br />
<strong>del</strong> II ◦ or<strong>di</strong>ne nelle N incognite vettoriali Ps = Ps(t) <strong>del</strong>l’unica variabile in<strong>di</strong>pendente t:<br />
msas = Fs<br />
dove as è l’accelerazione <strong>del</strong> punto Ps, <strong>di</strong> massa ms, valutata con riferimento alla terna rispetto alla<br />
quale sono misurate le forze agenti sui punti <strong>del</strong> sistema.<br />
In generale avremo, oltre alle forze attive, anche dei vincoli (sistemi materiali vincolati); per<br />
quanto è noto dal postulato <strong>del</strong>le reazioni vincolari possiamo ritenere che su ciascun punto<br />
<strong>del</strong> sistema l’azione esercitata dai vincoli, nelle date con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> sollecitazione, sia<br />
sostituibile con una forza (incognita) che chiameremo reazione o forza vincolare. Se ne<br />
consegue che, anche nel caso più generale <strong>di</strong> sistemi vincolati, varranno le equazioni fondamentali<br />
msas = Fs +φs<br />
(5.45)<br />
purché vi si interpreti ciascuna <strong>del</strong>le Fs come risultante complessiva <strong>del</strong>le forze attive e φs<br />
<strong>del</strong>le reazioni, cui è soggetto il corrispondente punto Ps. Sinotiche,ingenerale,siconoscono,<br />
oltre alle forze attive, le modalità <strong>di</strong> realizzazione dei vincoli, ma non le corrispondenti reazioni,<br />
le quali hanno perciò il carattere <strong>di</strong> incognite ausiliarie; <strong>di</strong> qui appare che le equazioni (5.45)<br />
costituiscono, per il problema <strong>del</strong> moto <strong>di</strong> un sistema vincolato, una interpretazione provvisoria.