Note del corso di Fisica Matematica A
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5.2 Caratteristiche <strong>di</strong>namiche dei sistemi 121<br />
Dimostrazione. Il Teorema si <strong>di</strong>mostra applicando il Teorema <strong>di</strong> Eulero all’energia cinetica T<br />
2T = ∂T ∂T ∂T ∂T ∂T ∂T<br />
u+ v + w + p+ q +<br />
∂u ∂v ∂w ∂p ∂q ∂r r,<br />
considerata come forma quadratica <strong>del</strong>le 6 caratteristiche (ve<strong>di</strong> la nota a seguito <strong>del</strong>la formula (5.29))<br />
e tenendo conto <strong>del</strong>le (5.41), (5.42).<br />
Se il polo O ′ dei momenti si fa coincidere con il baricentro (Q = mvG), allora si può scrivere (è<br />
il Teorema <strong>di</strong> König) T = 1<br />
2mv2 G + 1<br />
2ω ·KG. Inoltre, nel caso in cui O ′ sia fisso allora abbiamo che<br />
T = 1<br />
2ω ·K(O′ ).<br />
Corpo rigido ad asse fisso<br />
Se un corpo rigido S ruota intorno ad una retta fissa a con velocità angolare ω allora, scegliendo<br />
l’asse a coincidente con uno degli assi <strong>di</strong> riferimento (ad es. l’asse x ′ ) per cui p = ±ω e q = r = 0, le<br />
(5.41) e (5.42) assumono la forma:<br />
Qx ′ = 0, Qy ′ = −mz0p, Qz ′ = my0p;<br />
Kx ′ = Ap, Ky ′ = −C′ p, Kz ′ = −B′ p.<br />
Si prova così che il momento <strong>del</strong>le quantità <strong>di</strong> moto rispetto all’asse <strong>di</strong> rotazione è dato<br />
dal prodotto <strong>di</strong> ±ω per A (momento <strong>di</strong> inerzia <strong>del</strong> corpo rispetto allo stesso asse).<br />
5.2.8 Esercizi<br />
Esercizio 5.1: Sia data un’asta rigida OA omogenea, lunga ℓ e <strong>di</strong> massa m vincolata a ruotare<br />
attorno all’asse (O;z) rimanendo inclinata rispetto all’asse stesso (sia α ∈ (0,π/2) l’angolo che l’asta<br />
forma con la verticale). Essendo ω = ˙ θ ˆ k la velocità angolare <strong>del</strong>l’asta (dove θ è l’angolo <strong>di</strong> rotazione),<br />
calcolare l’energia cinetica <strong>del</strong>l’asta, in particolare calcolare l’energia cinetica quando α = 0.<br />
Esercizio 5.2: sia data un’asta rigida OA omogenea, lunga ℓ e <strong>di</strong> massa m avente l’estremo O<br />
fisso. Calcolare l’energia cinetica <strong>del</strong>l’asta.<br />
Esercizio 5.3: Sia data un’asta rigida AB omogenea, lunga ℓ e <strong>di</strong> massa m vincolata a muoversi<br />
nel piano (O;x,y) e avente l’estremo A vincolato ad una circonferenza <strong>di</strong> centro O e raggio R.<br />
Calcolare l’energia cinetica <strong>del</strong>l’asta.<br />
Esercizio 5.4: Calcolare l’energia cinetica <strong>del</strong> sistema materiale, mobile nel piano (O;x,y), formato<br />
da:<br />
- un’asta rigida OC omogenea, lunga ℓ, <strong>di</strong> massa m e con asse fisso normale al piano (O;x,y) e<br />
passante per O;<br />
- un<strong>di</strong>scorigidoomogeneo,<strong>di</strong>raggioRemassaM ilcuicentroèincernieratoall’estremoC <strong>del</strong>l’asta.<br />
Esercizio 5.5: Calcolare l’energia cinetica <strong>del</strong>l’asta AB omogenea, mobile nel piano (O;x,y),<br />
lunga ℓ e <strong>di</strong> massa m avente un estremo A vincolato a scorrere lungo l’asse x.<br />
Esercizio 5.6: Calcolare l’energia cinetica <strong>del</strong>l’asta AB omogenea, mobile nel piano (O;x,y),<br />
lunga ℓ e <strong>di</strong> massa m avente l’estremo A vincolato a scorrere lungo l’asse x e l’altro estremo B<br />
vincolato a scorrere lungo l’asse y.