Note del corso di Fisica Matematica A

5.2 Caratteristiche dinamiche dei sistemi 121
Dimostrazione. Il Teorema si dimostra applicando il Teorema di Eulero all’energia cinetica T
2T = ∂T ∂T ∂T ∂T ∂T ∂T
u+ v + w + p+ q +
∂u ∂v ∂w ∂p ∂q ∂r r,
considerata come forma quadratica delle 6 caratteristiche (vedi la nota a seguito della formula (5.29))
e tenendo conto delle (5.41), (5.42).
Se il polo O ′ dei momenti si fa coincidere con il baricentro (Q = mvG), allora si può scrivere (è
il Teorema di König) T = 1
2mv2 G + 1
2ω ·KG. Inoltre, nel caso in cui O ′ sia fisso allora abbiamo che
T = 1
2ω ·K(O′ ).
Corpo rigido ad asse fisso
Se un corpo rigido S ruota intorno ad una retta fissa a con velocità angolare ω allora, scegliendo
l’asse a coincidente con uno degli assi di riferimento (ad es. l’asse x ′ ) per cui p = ±ω e q = r = 0, le
(5.41) e (5.42) assumono la forma:
Qx ′ = 0, Qy ′ = −mz0p, Qz ′ = my0p;
Kx ′ = Ap, Ky ′ = −C′ p, Kz ′ = −B′ p.
Si prova così che il momento delle quantità di moto rispetto all’asse di rotazione è dato
dal prodotto di ±ω per A (momento di inerzia del corpo rispetto allo stesso asse).
5.2.8 Esercizi
Esercizio 5.1: Sia data un’asta rigida OA omogenea, lunga ℓ e di massa m vincolata a ruotare
attorno all’asse (O;z) rimanendo inclinata rispetto all’asse stesso (sia α ∈ (0,π/2) l’angolo che l’asta
forma con la verticale). Essendo ω = ˙ θ ˆ k la velocità angolare dell’asta (dove θ è l’angolo di rotazione),
calcolare l’energia cinetica dell’asta, in particolare calcolare l’energia cinetica quando α = 0.
Esercizio 5.2: sia data un’asta rigida OA omogenea, lunga ℓ e di massa m avente l’estremo O
fisso. Calcolare l’energia cinetica dell’asta.
Esercizio 5.3: Sia data un’asta rigida AB omogenea, lunga ℓ e di massa m vincolata a muoversi
nel piano (O;x,y) e avente l’estremo A vincolato ad una circonferenza di centro O e raggio R.
Calcolare l’energia cinetica dell’asta.
Esercizio 5.4: Calcolare l’energia cinetica del sistema materiale, mobile nel piano (O;x,y), formato
da:
- un’asta rigida OC omogenea, lunga ℓ, di massa m e con asse fisso normale al piano (O;x,y) e
passante per O;
- undiscorigidoomogeneo,diraggioRemassaM ilcuicentroèincernieratoall’estremoC dell’asta.
Esercizio 5.5: Calcolare l’energia cinetica dell’asta AB omogenea, mobile nel piano (O;x,y),
lunga ℓ e di massa m avente un estremo A vincolato a scorrere lungo l’asse x.
Esercizio 5.6: Calcolare l’energia cinetica dell’asta AB omogenea, mobile nel piano (O;x,y),
lunga ℓ e di massa m avente l’estremo A vincolato a scorrere lungo l’asse x e l’altro estremo B
vincolato a scorrere lungo l’asse y.