Note del corso di Fisica Matematica A

120 5 Dinamica: equazioni differenziali del moto
vs,x ′ = u+ ˜vs,x ′(p,q,r).
L’energiacineticaT saràfunzionediu,v,w,p,q,r e,derivandolarispettoadusiottienechesolamente
= 1; quindi:
vs,x ′ dipende da u e che ∂v s,x ′
∂u
∂T
∂u =
N
s=1
msvs,x ′, (5.40)
il cui secondo membro non è altro che la componente Qx ′ di Q secondo l’asse delle x′ . Analogamente
per y ′ e z ′ ottenendo:
Derivando ora la T rispetto a p si perviene all’identità
Analogamente
completando così la dimostrazione.
∂T ∂T ∂T
Qx ′ = , Qy ′ = , Qz ′ = . (5.41)
∂u ∂v ∂w
∂T
∂p =
N ∂vs
ms
s=1 ∂p ·vs
N
∂ω
= ms
s=1 ∂p ×(Ps
−O) ·vs
N
= msî
s=1
′ N
×(Ps −O)·vs = msî
s=1
′ ·(Ps −O)×vs = Kx ′.
∂T ∂T
Ky ′ = , Kz ′ =
∂q ∂r
(5.42)
In particolare dalle (5.26) e (5.27)–(5.28)–(5.29) si ottengono le espressioni delle componenti di Q
e K(O ′ ). In particolare, quando il centro di riduzione O ′ coincide con il baricentro o quando O ′ sia
fissato nello spazio (da ciò T ′′′ = 0), allora le (5.42) assumono la forma
⎧
⎪⎨ Kx
⎪⎩
′ = Ap−B′ r−C ′ q
Ky ′ = −C′ p+Bq −A ′ r
Kz ′ = −B′ p−A ′ (5.43)
q +Cr
e basta prendere come assi solidali i tre assi principali d’inerzia in O ′ (baricentro o punto solidale
fisso) per ridurle ulteriormente alla forma canonica
dove A, B, C denotano i momenti principali di inerzia.
Vale il seguente teorema:
Teorema 5.10. L’energia cinetica di un corpo rigido vale
Kx ′ = Ap, Ky ′ = Bq, Kz ′ = Cr (5.44)
T = 1
2 v(O′ )·Q+ 1
2 ω ·K(O′ ).