Note del corso di Fisica Matematica A

5.2 Caratteristiche dinamiche dei sistemi 119
Teorema 5.8. Comunque si muova un sistema materiale, il momento delle quantità di moto (assoluto)
rispetto al baricentro coincide con l’analogo momento delle quantità di moto relativo al baricentro
stesso (cioé rispetto all’osservatore baricentrico e traslante):
K(G) = K ′ (G).
Derivata del momento della quantità di un sistema
Derivando la relazione (5.37) si ottiene
dK(O)
dt =
N
(Ps −O)×msas −v0 ×Q, v0 = (O). (5.38)
s=1
Se il centro di riduzione O è fisso (v0 = 0), la (5.38) si semplifica nella forma
dK(O)
dt =
N
(Ps −O)×msas. (5.39)
s=1
Si noti che tale semplificazione rimane valida anche quando il centro di riduzione O (pur non essendo,
in generale, fisso) coincida, istante per istante, con il baricentro del sistema, infatti in tal
caso il termine vG × Q è identicamente nullo dalla (5.36), o oppure abbia velocità parallela a
quella del baricentro, infatti v0 ×Q = v0 ×(mvG) = 0.
5.2.7 Quantità di moto e momento delle quantità di moto di un corpo rigido
Quando il sistema S in moto è un corpo rigido, e si assume a centro di riduzione O ′ un punto solidale
con il sistema, i due vettori Q e K(O ′ ) si esprimono in modo notevolmente semplice per mezzo delle
caratteristiche u,v,w e p,q,r del moto di S rispetto ad una qualsiasi terna solidale (O ′ ;x ′ ,y ′ ,z ′ )
dove
Più precisamente si ha che:
v0 = uî ′ +vˆj ′ +w ˆ k ′
, ω = pî ′ +qˆj ′ +r ˆ k ′
.
Teorema 5.9. Le componenti di Q e K si identificano con le derivate parziali dell’energia cinetica
T del corpo rigido rapporto alle 6 caratteristiche:
e
Q = ∇(u,v,w)T = ∂T
∂u î′ + ∂T
∂v ˆj′ + ∂T
∂w ˆ k ′
K(O ′ ) = ∇(p,q,r)T = ∂T
∂p î′ + ∂T
∂q ˆj′ + ∂T
∂r ˆ k ′
.
Dimostrazione. Infatti, partendo dalla definizione T = 1 Ns=1msv 2
2 s, dove
vs = v0 +ω ×(Ps −O ′ ) = vs,x ′î′ +vs,y ′ˆj′ +vs,z ′ˆ k ′
, v0 = v(O),
viene proiettata sulla terna solidale e dove