Note del corso di Fisica Matematica A

118 5 Dinamica: equazioni differenziali del moto
N
Q = msvs, vs = (Ps). (5.35)
s=1
Derivando l’equazione vettoriale m(G−O) = N s=1ms(Ps−O), dove G è il baricentro e vG la sua
velocità, abbiamo
Abbiamo dunque che:
mvG =
N
msvs = Q. (5.36)
s=1
Teorema 5.6. La quantità di moto di un sistema qualsiasi è ad ogni istante eguale alla quantità
di moto che, in quell’istante, spetterebbe al baricentro, qualora fosse un punto materiale, in cui si
trovasse concentrata la massa totale del sistema.
Definizione 5.7. Dato un sistema materiale S si dice momento delle quantità di moto rispetto
ad un qualsiasi punto O il momento risultante rispetto ad O delle quantità di moto dei singoli punti
Ps del sistema, cioé la grandezza vettoriale
N
N
K(O) = (Ps −O)×msvs = msvs ×(O−Ps). (5.37)
s=1
s=1
Il momento della quantità di moto è legato alla scelta del punto O secondo la seguente relazione:
K(O ′ ) = K(O)+(O −O ′ )×Q
dove Q è la quantità di moto del sistema. Infatti
K(O ′ N
) = msvs ×(O
s=1
′ N
−Ps) = msvs ×[(O−Ps)+(O
s=1
′ −O)]
N
N
= msvs ×(O−Ps)+ msvs ×(O
s=1
s=1
′ −O)
= K(O)+(O−O ′ )×Q.
Scegliendo come centro di riduzione dei momenti il baricentro G del sistema ed essendo v ′ s le
velocitàdeipuntiPs delsistemanelloromotorelativoaG(cioérispettoadunosservatorebaricentrico
traslante): vs = vG +v ′ s si ha che:
Pertanto si conclude che:
K(G) =
=
=
=
N
msvs ×(G−Ps)
s=1
N
msv
s=1
′ N
s ×(G−Ps)+ msvG ×(G−Ps)
s=1
N
msv
s=1
′ N
s ×(G−Ps)+vG × ms(G−Ps)
s=1
N
msv
s=1
′ s ×(G−Ps) = K ′ (G).