Note del corso di Fisica Matematica A

5.2 Caratteristiche dinamiche dei sistemi 117
che implica ˙qh = 0 poiché la matrice Jacobiana delle xs, ys, zs rispetto alle qh, in virtù della
ipotesi della indipendenza delle coordinate lagrangiane, è, per valori generici di esse, di caratteristica
n. Supponiamo ora i vincoli dipendenti dal tempo; T sarà ancora definita positiva ma ora T =
T2 +T1 +T0. Mostriamo per prima cosa che T2 ≥ 0. Supponiamo per assurdo che esistano ˙¯qh non
tutte nulle tali che ¯ T2 < 0, quindi sarà T2 = α2¯ T2 < 0 anche per α ˙¯qh per qualunque α ∈ R\{0} e
inoltre sarà
T = α 21
2
n
h,k=1
ah,k ˙¯qh ˙¯qk +α
n
Ah ˙¯qh +T0 = α 2¯ T2 +α ¯ T1 + ¯ T0.
h=1
Poiché abbiamo supposto per assurdo ¯ T2 < 0 allora, per α sufficientemente grande, sarà T < 0
cadendo in assurdo. Mostriamo ora che T2 = 0 implica ˙qh = 0. Supponiamo, per assurdo, che
esistano ˙¯qh non tutte nulle tali che ¯ T2 = 0, quindi sarà T2 = α 2¯ T2 = 0 anche per α ˙¯qh per qualunque
α ∈ R\{0}. Quindi
T = α
n
Ah ˙¯qh +T0 = α¯ T1 + ¯ T0.
h=1
Se ¯ T1 = 0 allora basta prendere α di segno opposto a ¯ T1 e sufficientemente grande per avere T < 0
cadendo in assurdo; quindi deve essere anche ¯ T1 = 0, ottenendo
T = ¯ N
2 ∂Ps
T0 = ms .
s=1 ∂t
Osserviamo che ¯ T0 è indipendente da ˙¯qh e quindi da α mentre T dipende da α attraverso ¯vs e la
(5.31), poiché ˙¯qh = 0 per un qualche h, cadendo ancora in assurdo. Quindi abbiamo provato che
T2 ≥ 0 e che se T2 = 0 allora deve necessariamente essere ˙qh = 0 per ogni h.
Notiamo, infine, che nell’uno e nell’altro caso il determinante ah,k degli n 2 coefficienti ah,k,
appunto come discriminante di una forma definita (positiva), non può annullarsi. Per dimostrare
questorisultatoindipendentementedalTeoremaprecedentesipuòprocederecomesegue:supponiamo
i vincoli indipendenti dal tempo (per semplicità) e sia, per assurdo, questo determinante nullo, per
una qualche scelta dei parametri lagrangiani qh e t. Allora esistono ˙¯qh non tutte nulle soddisfacenti
al sistema di n equazioni lineari
∂T
∂˙qh
=
n
ah,k ˙¯qk = 0, h = 1,2,...,n.
k=1
Moltiplicando i membri di questa equazione per ˙¯qh si ottiene che deve essere
0 =
per il teorema di Eulero, cadendo in assurdo.
n ∂T
˙¯qh = 2T
∂˙qh
h=1
5.2.6 Quantità di moto e momento della quantità di moto
Definizione 5.5. Definiamo quantità di moto di un sistema di punti Ps di massa ms la somma
vettoriale