Note del corso di Fisica Matematica A
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5.2 Caratteristiche <strong>di</strong>namiche dei sistemi 117<br />
che implica ˙qh = 0 poiché la matrice Jacobiana <strong>del</strong>le xs, ys, zs rispetto alle qh, in virtù <strong>del</strong>la<br />
ipotesi <strong>del</strong>la in<strong>di</strong>pendenza <strong>del</strong>le coor<strong>di</strong>nate lagrangiane, è, per valori generici <strong>di</strong> esse, <strong>di</strong> caratteristica<br />
n. Supponiamo ora i vincoli <strong>di</strong>pendenti dal tempo; T sarà ancora definita positiva ma ora T =<br />
T2 +T1 +T0. Mostriamo per prima cosa che T2 ≥ 0. Supponiamo per assurdo che esistano ˙¯qh non<br />
tutte nulle tali che ¯ T2 < 0, quin<strong>di</strong> sarà T2 = α2¯ T2 < 0 anche per α ˙¯qh per qualunque α ∈ R\{0} e<br />
inoltre sarà<br />
T = α 21<br />
2<br />
n<br />
h,k=1<br />
ah,k ˙¯qh ˙¯qk +α<br />
n<br />
Ah ˙¯qh +T0 = α 2¯ T2 +α ¯ T1 + ¯ T0.<br />
h=1<br />
Poiché abbiamo supposto per assurdo ¯ T2 < 0 allora, per α sufficientemente grande, sarà T < 0<br />
cadendo in assurdo. Mostriamo ora che T2 = 0 implica ˙qh = 0. Supponiamo, per assurdo, che<br />
esistano ˙¯qh non tutte nulle tali che ¯ T2 = 0, quin<strong>di</strong> sarà T2 = α 2¯ T2 = 0 anche per α ˙¯qh per qualunque<br />
α ∈ R\{0}. Quin<strong>di</strong><br />
T = α<br />
n<br />
Ah ˙¯qh +T0 = α¯ T1 + ¯ T0.<br />
h=1<br />
Se ¯ T1 = 0 allora basta prendere α <strong>di</strong> segno opposto a ¯ T1 e sufficientemente grande per avere T < 0<br />
cadendo in assurdo; quin<strong>di</strong> deve essere anche ¯ T1 = 0, ottenendo<br />
T = ¯ N<br />
2 ∂Ps<br />
T0 = ms .<br />
s=1 ∂t<br />
Osserviamo che ¯ T0 è in<strong>di</strong>pendente da ˙¯qh e quin<strong>di</strong> da α mentre T <strong>di</strong>pende da α attraverso ¯vs e la<br />
(5.31), poiché ˙¯qh = 0 per un qualche h, cadendo ancora in assurdo. Quin<strong>di</strong> abbiamo provato che<br />
T2 ≥ 0 e che se T2 = 0 allora deve necessariamente essere ˙qh = 0 per ogni h.<br />
Notiamo, infine, che nell’uno e nell’altro caso il determinante ah,k degli n 2 coefficienti ah,k,<br />
appunto come <strong>di</strong>scriminante <strong>di</strong> una forma definita (positiva), non può annullarsi. Per <strong>di</strong>mostrare<br />
questorisultatoin<strong>di</strong>pendentementedalTeoremaprecedentesipuòprocederecomesegue:supponiamo<br />
i vincoli in<strong>di</strong>pendenti dal tempo (per semplicità) e sia, per assurdo, questo determinante nullo, per<br />
una qualche scelta dei parametri lagrangiani qh e t. Allora esistono ˙¯qh non tutte nulle sod<strong>di</strong>sfacenti<br />
al sistema <strong>di</strong> n equazioni lineari<br />
∂T<br />
∂˙qh<br />
=<br />
n<br />
ah,k ˙¯qk = 0, h = 1,2,...,n.<br />
k=1<br />
Moltiplicando i membri <strong>di</strong> questa equazione per ˙¯qh si ottiene che deve essere<br />
0 =<br />
per il teorema <strong>di</strong> Eulero, cadendo in assurdo.<br />
n ∂T<br />
˙¯qh = 2T<br />
∂˙qh<br />
h=1<br />
5.2.6 Quantità <strong>di</strong> moto e momento <strong>del</strong>la quantità <strong>di</strong> moto<br />
Definizione 5.5. Definiamo quantità <strong>di</strong> moto <strong>di</strong> un sistema <strong>di</strong> punti Ps <strong>di</strong> massa ms la somma<br />
vettoriale