Note del corso di Fisica Matematica A

116 5 Dinamica: equazioni differenziali del moto
Sostituendole nelle (5.23) si può scrivere
T = T2 +T1 +T0, (5.32)
designando, rispettivamente, con T2, T1, T0 l’insieme dei termini di II ◦ grado nelle ˙q, dei termini di
I ◦ grado e, infine, dei termini indipendenti dalle ˙q. Più precisamente si ottiene
T2 = 1
n
N
ah,k˙qh˙qk, ah,k = ah,k(q;t) =
2 h,k=1
s=1
n
N ∂Ps
T1 = Ak˙qk, Ak = Ak(q;t) = ms ·
k=1
s=1 ∂qk
∂Ps
∂t
T0 = 1
N
2 ∂Ps
ms
2 ∂t
s=1
∂Ps
ms
∂qh
· ∂Ps
,
∂qk
dove i coefficienti ah,k, Ak e T0 dipendono dai parametri lagrangiani e dal tempo. In particolare è
immediato osservare che ah,k = ak,h.
Se i vincoli sono indipendenti dal tempo, le espressioni (5.31) delle velocità si riducono alla
loro parte lineare nelle velocità lagrangiane ˙q:
In particolare T1 = T0 = 0 e l’energia cinetica assume la forma
T = 1
2
n ∂Ps
vs = ˙qh. (5.33)
h=1 ∂qh
N
N
ah,k˙qh˙qk, ah,k =
h,k=1
s=1
∂Ps
ms ·
∂qh
∂Ps
∂qk
(5.34)
dove i coefficienti ah,k dipendono dalle sole qh. È questa dunque l’espressione generale della energia
cinetica di un sistema olonomo a vincoli indipendenti dal tempo e ad n gradi di libertà
(di fatto l’ipotesi di olonomia non è necessaria a questo stadio).
Vale il seguente risultato:
Teorema 5.4. T2 è una forma quadratica nelle ˙qh definita positiva; cioé T2 ≥ 0 per ogni scelta
delle velocità lagrangiane ˙q1,..., ˙qn e T2 = 0 se, e solo se, ˙q1 = ... = ˙qn = 0.
Dimostrazione. Supponiamo, per un momento, i vincoli indipendenti dal tempo e dimostriamo prima
il teorema sotto questa ipotesi. Osserviamo che T è per sua natura stessa definita positiva e quindi,
essendo T = T2 sarà necessariamente T2 ≥ 0. Se poi T2 = 0 allora T = 0 e quindi deve essere vs = 0;
resta quindi da fare vedere che
˙qh = 0, h = 1,2,...,n ⇔ vs = 0, s = 1,2,...,N
ovvero le ˙qh sono tutte nulle sempre e solo quando tali sono tutte le vs. Dalla (5.31), in cui ∂Ps = 0, ∂t
è immediato che vs = 0 quando ˙qh = 0. Per dimostrare il viceversa osserviamo che se tutte le vs
sono nulle allora abbiamo che deve essere
n n n
∂xs ∂ys ∂zs
˙qh = 0, ˙qh = 0, ˙qh = 0
h=1 ∂qh h=1 ∂qh h=1 ∂qh