Note del corso di Fisica Matematica A
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116 5 Dinamica: equazioni <strong>di</strong>fferenziali <strong>del</strong> moto<br />
Sostituendole nelle (5.23) si può scrivere<br />
T = T2 +T1 +T0, (5.32)<br />
designando, rispettivamente, con T2, T1, T0 l’insieme dei termini <strong>di</strong> II ◦ grado nelle ˙q, dei termini <strong>di</strong><br />
I ◦ grado e, infine, dei termini in<strong>di</strong>pendenti dalle ˙q. Più precisamente si ottiene<br />
T2 = 1<br />
n<br />
N<br />
ah,k˙qh˙qk, ah,k = ah,k(q;t) =<br />
2 h,k=1<br />
s=1<br />
n<br />
N ∂Ps<br />
T1 = Ak˙qk, Ak = Ak(q;t) = ms ·<br />
k=1<br />
s=1 ∂qk<br />
∂Ps<br />
∂t<br />
T0 = 1<br />
N<br />
2 ∂Ps<br />
ms<br />
2 ∂t<br />
s=1<br />
∂Ps<br />
ms<br />
∂qh<br />
· ∂Ps<br />
,<br />
∂qk<br />
dove i coefficienti ah,k, Ak e T0 <strong>di</strong>pendono dai parametri lagrangiani e dal tempo. In particolare è<br />
imme<strong>di</strong>ato osservare che ah,k = ak,h.<br />
Se i vincoli sono in<strong>di</strong>pendenti dal tempo, le espressioni (5.31) <strong>del</strong>le velocità si riducono alla<br />
loro parte lineare nelle velocità lagrangiane ˙q:<br />
In particolare T1 = T0 = 0 e l’energia cinetica assume la forma<br />
T = 1<br />
2<br />
n ∂Ps<br />
vs = ˙qh. (5.33)<br />
h=1 ∂qh<br />
N<br />
N<br />
ah,k˙qh˙qk, ah,k =<br />
h,k=1<br />
s=1<br />
∂Ps<br />
ms ·<br />
∂qh<br />
∂Ps<br />
∂qk<br />
(5.34)<br />
dove i coefficienti ah,k <strong>di</strong>pendono dalle sole qh. È questa dunque l’espressione generale <strong>del</strong>la energia<br />
cinetica <strong>di</strong> un sistema olonomo a vincoli in<strong>di</strong>pendenti dal tempo e ad n gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà<br />
(<strong>di</strong> fatto l’ipotesi <strong>di</strong> olonomia non è necessaria a questo sta<strong>di</strong>o).<br />
Vale il seguente risultato:<br />
Teorema 5.4. T2 è una forma quadratica nelle ˙qh definita positiva; cioé T2 ≥ 0 per ogni scelta<br />
<strong>del</strong>le velocità lagrangiane ˙q1,..., ˙qn e T2 = 0 se, e solo se, ˙q1 = ... = ˙qn = 0.<br />
Dimostrazione. Supponiamo, per un momento, i vincoli in<strong>di</strong>pendenti dal tempo e <strong>di</strong>mostriamo prima<br />
il teorema sotto questa ipotesi. Osserviamo che T è per sua natura stessa definita positiva e quin<strong>di</strong>,<br />
essendo T = T2 sarà necessariamente T2 ≥ 0. Se poi T2 = 0 allora T = 0 e quin<strong>di</strong> deve essere vs = 0;<br />
resta quin<strong>di</strong> da fare vedere che<br />
˙qh = 0, h = 1,2,...,n ⇔ vs = 0, s = 1,2,...,N<br />
ovvero le ˙qh sono tutte nulle sempre e solo quando tali sono tutte le vs. Dalla (5.31), in cui ∂Ps = 0, ∂t<br />
è imme<strong>di</strong>ato che vs = 0 quando ˙qh = 0. Per <strong>di</strong>mostrare il viceversa osserviamo che se tutte le vs<br />
sono nulle allora abbiamo che deve essere<br />
n n n<br />
∂xs ∂ys ∂zs<br />
˙qh = 0, ˙qh = 0, ˙qh = 0<br />
h=1 ∂qh h=1 ∂qh h=1 ∂qh