Note del corso di Fisica Matematica A

5.2 Caratteristiche dinamiche dei sistemi 115
Il terzo addendo, infine, T ′′′ si può scrivere, per una nota proprietà del prodotto misto:
T ′′′ N
= ms(Ps −O
s=1
′ )·(v0 ×ω)
= m(G−O ′ )·(v0 ×ω). (5.29)
Dalla (5.26) e dalle formule (5.27), (5.28) e (5.29) risulta che in ogni caso la energia cinetica
di un corpo rigido è una forma quadratica nelle 6 caratteristiche dell’atto di moto
(u,v,w,p,q,r).
Osserviamo che: se il centro di riduzione O ′ (che è al tempo stesso origine delle coordinate) si
sceglie nel baricentro si annulla (G−O ′ ) = 0 e quindi T ′′′ ; se poi si scelgono come assi coordinati i
rispettivi assi principali di inerzia allora si annullano i tre prodotti di inerzia A ′ = B ′ = C ′ = 0,
mentre A, B, C diventano i tre momenti principali di inerzia baricentrali. Per la energia cinetica si
ottiene l’espressione notevolmente semplice in accordo con il Teorema di König:
Corpo rigido con un punto fisso o un asse fisso
T = 1
2 mu
2 +v 2 +w 2
+ 1
Ap
2
2 +Bq 2 +Cr 2
(5.30)
Quando il corpo rigido S sia fissato in un suo punto, basta scegliere questo punto O ′ come centro di
riduzione del moto rigido (e come origine della terna solidale); allora l’energia cinetica, per un corpo
rigido rotante intorno ad un asse fissato con velocità angolare ω, è data da
T = T ′′ = 1
2 Iω2 ,
dove si è scelto il centro di riduzione O ′ (origine anche della terna solidale) sull’asse e dove I denota
il momento di inerzia del corpo rigido rispetto al suo asse di rotazione. Operando come prima si ha
la seguente espressione equivalente (con ovvio significato dei termini):
T = T ′′ = 1
Ap
2
2 +Bq 2 +Cr 2 −2A ′ pq −2B ′ pr −2C ′ qr
.
Quando, in particolare, il corpo S ha un asse fisso allora in questo caso si ottiene
T = 1
2 Iω2
dove I é il momento d’inerzia del corpo rigido rispetto all’asse fisoo.
Energia cinetica di un sistema olonomo in coordinate lagrangiane
Dato un sistema olonomo S costituito da N punti Ps, dotato di n gradi di libertà, dove i vincoli
sono rappresentati dalle equazioni parametriche (5.19); per cui le velocità (possibili) vs = v(Ps) dei
singoli punti Ps, in funzione delle coordinate qs e delle velocità lagrangiane ˙qs e del tempo, sono date
da
vs =
n ∂Ps
h=1
∂qh
˙qh + ∂Ps
, s = 1, ... , N. (5.31)
∂t