Note del corso di Fisica Matematica A
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5.2 Caratteristiche <strong>di</strong>namiche dei sistemi 115<br />
Il terzo addendo, infine, T ′′′ si può scrivere, per una nota proprietà <strong>del</strong> prodotto misto:<br />
T ′′′ N<br />
= ms(Ps −O<br />
s=1<br />
′ )·(v0 ×ω)<br />
= m(G−O ′ )·(v0 ×ω). (5.29)<br />
Dalla (5.26) e dalle formule (5.27), (5.28) e (5.29) risulta che in ogni caso la energia cinetica<br />
<strong>di</strong> un corpo rigido è una forma quadratica nelle 6 caratteristiche <strong>del</strong>l’atto <strong>di</strong> moto<br />
(u,v,w,p,q,r).<br />
Osserviamo che: se il centro <strong>di</strong> riduzione O ′ (che è al tempo stesso origine <strong>del</strong>le coor<strong>di</strong>nate) si<br />
sceglie nel baricentro si annulla (G−O ′ ) = 0 e quin<strong>di</strong> T ′′′ ; se poi si scelgono come assi coor<strong>di</strong>nati i<br />
rispettivi assi principali <strong>di</strong> inerzia allora si annullano i tre prodotti <strong>di</strong> inerzia A ′ = B ′ = C ′ = 0,<br />
mentre A, B, C <strong>di</strong>ventano i tre momenti principali <strong>di</strong> inerzia baricentrali. Per la energia cinetica si<br />
ottiene l’espressione notevolmente semplice in accordo con il Teorema <strong>di</strong> König:<br />
Corpo rigido con un punto fisso o un asse fisso<br />
T = 1<br />
2 mu<br />
2 +v 2 +w 2<br />
+ 1 <br />
Ap<br />
2<br />
2 +Bq 2 +Cr 2<br />
(5.30)<br />
Quando il corpo rigido S sia fissato in un suo punto, basta scegliere questo punto O ′ come centro <strong>di</strong><br />
riduzione <strong>del</strong> moto rigido (e come origine <strong>del</strong>la terna solidale); allora l’energia cinetica, per un corpo<br />
rigido rotante intorno ad un asse fissato con velocità angolare ω, è data da<br />
T = T ′′ = 1<br />
2 Iω2 ,<br />
dove si è scelto il centro <strong>di</strong> riduzione O ′ (origine anche <strong>del</strong>la terna solidale) sull’asse e dove I denota<br />
il momento <strong>di</strong> inerzia <strong>del</strong> corpo rigido rispetto al suo asse <strong>di</strong> rotazione. Operando come prima si ha<br />
la seguente espressione equivalente (con ovvio significato dei termini):<br />
T = T ′′ = 1 <br />
Ap<br />
2<br />
2 +Bq 2 +Cr 2 −2A ′ pq −2B ′ pr −2C ′ qr <br />
.<br />
Quando, in particolare, il corpo S ha un asse fisso allora in questo caso si ottiene<br />
T = 1<br />
2 Iω2<br />
dove I é il momento d’inerzia <strong>del</strong> corpo rigido rispetto all’asse fisoo.<br />
Energia cinetica <strong>di</strong> un sistema olonomo in coor<strong>di</strong>nate lagrangiane<br />
Dato un sistema olonomo S costituito da N punti Ps, dotato <strong>di</strong> n gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà, dove i vincoli<br />
sono rappresentati dalle equazioni parametriche (5.19); per cui le velocità (possibili) vs = v(Ps) dei<br />
singoli punti Ps, in funzione <strong>del</strong>le coor<strong>di</strong>nate qs e <strong>del</strong>le velocità lagrangiane ˙qs e <strong>del</strong> tempo, sono date<br />
da<br />
vs =<br />
n ∂Ps<br />
h=1<br />
∂qh<br />
˙qh + ∂Ps<br />
, s = 1, ... , N. (5.31)<br />
∂t