Note del corso di Fisica Matematica A

114 5 Dinamica: equazioni differenziali del moto
allora la (5.24) diventa:
T ′ = 1
2 mv2 0,
T ′′ = 1
N
ms{ω ×(Ps −O
2 s=1
′ )} 2 ,
T ′′′ N
= v0 · msω ×(Ps −O
s=1
′ )
T = T ′ +T ′′ +T ′′′ . (5.26)
Qui dobbiamo esprimere T ′ , T ′′ , T ′′′ in termini delle sei caratteristiche date da v0 = uî+vˆj+w ˆ k e
ω = pî ′ +qˆj ′ +rˆ k ′
(dove è più conveniente, ma non necessario, proiettare ω su una terna solidale di
versori î ′ ,ˆj ′ e ˆ k ′
)).
Il primo addendo T ′ , che fornirebbe l’intera energia cinetica
del corpo rigido qualora il moto fosse puramente
traslatorio, è dato da
T ′ = 1
2 mv2 0 = 1
2 mu
2 +v 2 +w 2
(5.27)
dove si è denotata con m la massa totale del corpo rigido.
Pertrovarel’espressioneesplicitadiT ′′ ,che darebbe la
intera energia cinetica se il punto solidale O ′ fosse
fisso, consideriamo la distanza ds del generico punto Ps
del corpo rigido dall’asse istantaneo di rotazione (O ′ ,ω).
Poiché {ω ×(Ps −O ′ )} 2 = ω 2 d 2 s allora, raccogliendo ω a
fattore comune, si trova che:
T ′′ = 1
2 Iω2 , dove I =
N
msd
s=1
2 s
rappresenta il momento di inerzia del corpo rigido rispetto
Fig. 5.3. Sistemi di riferimento mobile
(O1;x1,y1,z1) solidale con il corpo rigido;
(O;x,y,z) denota il sistema di riferimento
rispetto al quale si calcola l’energia cinetica del
corpo rigido.
all’asse istantaneo di rotazione passante per O ′ . In particolare, essendo A, B, C e A ′ , B ′ , C ′ i
momenti e i prodotti d’inerzia del corpo rigido rispetto alla terna solidale al corpo rigido, si ha:
T ′′ = 1
2 Iω2
= 1
2
Ap 2 +Bq 2 +Cr 2 −2A ′ pq −2B ′ pr−2C ′ qr
(5.28)
dove i momenti A, B, C e A ′ , B ′ , C ′ calcolati rispetto al riferimento solidale sono costanti durante
il moto del corpo rigido. Infatti, il momento di inerzia I rispetto all’asse di istantanea rotazione
passante per O di equazioni (αx,βx,γx), x ∈ R e dove α = p/ω, β = q/ω e γ = r/ω sono i coseni
direttori della retta, è dato da
I = Aα 2 +Bβ 2 +Cγ 2 −2A ′ αβ −2B ′ αγ −2Cβγ
= 1
ω 2
Ap 2 +Bq 2 +Cr 2 −2A ′ pq −2B ′ pr −2Cqr
.