Note del corso di Fisica Matematica A

6 1 Calcolo Vettoriale
P(t)−O = x(t)î+y(t)ˆj+z(t) ˆ k.
Si definisce derivata del vettore u(t) il vettore
u(t+h)−u(t)
lim
h→0 h
assumendo che tale limite esista finito. In virtù della linearità del limite segue che tale derivata esiste
se, e solo se, le tre funzioni ux(t), uy(t) e uz(t) sono derivabili e inoltre vale la seguente relazione:
du(t)
dt
= dux(t)
dt
In modo elementare seguono le seguenti proprietà:
duy(t) duz(t)
î+ ˆj+
dt dt ˆ k.
- Regola di Leibniz: dati due funzioni a valori vettoriali u(t) e v(t) e data una funzione f(t) a valori
reali (supponendole tutte derivabili) segue che
d[f(t)u(t)]
dt
d[u(t)·v(t)]
dt
d[u(t)×v(t)]
dt
= df(t)
dt u(t)+f(t)du(t)
dt
= du(t)
dt
= du(t)
dt
·v(t)+u(t)· dv(t)
dt
×v(t)+u(t)× dv(t)
dt
- La derivata di un vettore u(t) di modulo costante (ad esempio un versore) è normale al versore
stesso:
se |u(t)| = costante ⇒ du(t)
dt
⊥ u(t). (1.1)
La dimostrazione di questa proprietà è immediata, infatti ricordando che |u| = √ u·u allora
derivando ambo i membri della uguaglianza
segue che
e da qui la tesi.
0 = du(t)
dt
costante = u·u
·u(t)+u(t)· du(t)
dt
1.1.7 Appendice: curve nello spazio e terna intrinseca, richiami
= 2u(t)· du(t)
dt
Una curva γ nello spazio R 3 può essere definita mediante la sua rappresentazione parametrica
γ = {(x(t),y(t),z(t)), t ∈ [t1,t2]}
dovex(t),y(t)ez(t)sonotrefunzioniassegnatechesupporremosufficientementeregolari,tipicamente
assumiamo che esse siano di classe C 2 e che inoltre sia