Note del corso di Fisica Matematica A

5.2 Caratteristiche dinamiche dei sistemi 113
Fig. 5.2. Sistemi di riferimento mobile (O1;x1,y1,z1) traslante rispetto al sistema di riferimento fisso (O;x,y,z).
Teorema di König
Denotando con (O1;x1,y1,z1) un sistema di riferimento mobile e con (O;x,y,z) il sistema di riferimento
fisso, la velocità di un punto Ps rispetto al sistema fisso è data da vs = vτ,s +v1,s; dove vτ,s
è la velocità di trascinamento di Ps e v1,s è la velocità relativa di Ps. Nel caso particolare in cui il
sistema mobile si muova di moto traslatorio allora vτ,s = v(O ′ ) = v0 e l’energia cinetica T
assume la forma
T = 1
2 mv0 2 + 1
2
N
msv1,s
s=1
2
N
+v0 · msv1,s , (5.24)
s=1
dove m denota la massa totale del sistema. La (5.24) presenta l’energia cinetica del sistema, nel suo
moto rispetto a (O;x,y,z), come somma di tre termini, cioé l’energia cinetica che competerebbe al
punto O ′ qualora fosse un punto materiale di massa m, l’energia cinetica del sistema nel suo moto
relativo ad O ′ , ed, infine, una quantità che dipende sia dal moto di O ′ che dal moto relativo. La
formula (5.24) si semplifica quando si assume come riferimento mobile O ′ il baricentro G del sistema.
In tal caso, essendo N s=1ms(Ps −G) = 0, si ha che N s=1msv1,s = 0.
Pertanto abbiamo il seguente risultato:
Teorema 5.3 (Teorema del König). L’energia cinetica di un qualsiasi sistema materiale in moto
è, istante per istante, eguale alla somma dell’energia cinetica che competerebbe in quell’istante al
baricentro, qualora fosse un punto materiale in cui si trovasse concentrata tutta la massa del sistema,
più l’energia cinetica nel moto del sistema relativo al baricentro (ovvero all’osservatore centrato nel
baricentro e traslante):
Energia cinetica di un corpo rigido
T = 1
2 mv2 G +TG, TG = 1
2
N
msv1,s
s=1
2 N
, m = ms. (5.25)
s=1
Nel caso di un corpo rigido abbiamo vs = v0 + v ′ s, dove v0 = v(O ′ ), e v ′ s = ω × (Ps − O ′ ) con
ovvio significato di tali grandezze vettoriali. In particolare, ponendo m = N s=1ms e: