Note del corso di Fisica Matematica A
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112 5 Dinamica: equazioni <strong>di</strong>fferenziali <strong>del</strong> moto<br />
Qh =<br />
N<br />
s=1<br />
Fs · ∂Ps<br />
∂qh<br />
la forza generalizzata <strong>di</strong> Lagrange o componente <strong>del</strong> sistema <strong>di</strong> forze Fs secondo la coor<strong>di</strong>nata<br />
lagrangiana qh. A secondo membro <strong>del</strong>la (5.20) il secondo termine si annulla identicamente<br />
quando i vincoli sono in<strong>di</strong>pendenti dal tempo (∂Ps/∂t) = 0.<br />
5.2.4 Lavoro virtuale e identità notevoli<br />
Nel caso <strong>di</strong> spostamenti virtuali δPs si perviene per il lavoro virtuale<br />
N<br />
n<br />
δL = Fs ·δPs, e quin<strong>di</strong> δL = Qhδqh. (5.21)<br />
s=1<br />
h=1<br />
Se le forze (Ps,Fs) derivano da un potenziale U, espresso in coor<strong>di</strong>nate lagrangiane per mezzo <strong>del</strong>le<br />
equazioni parametriche (5.19), funzione <strong>del</strong>le q e anche <strong>del</strong> tempo t, se i vincoli sono <strong>di</strong>pendenti da<br />
esso. In ogni caso sappiamo già che si ha δL = δU, dove δU denota il <strong>di</strong>fferenziale totale <strong>del</strong>la<br />
U in quanto <strong>di</strong>pendente dalle sole q, cioé δU = n h=1 ∂U<br />
∂qh δqh; quin<strong>di</strong>, identificando con la (5.21) e<br />
tenendo conto <strong>del</strong>la arbitrarietà dei δqh nell’ipotesi <strong>di</strong> vincoli olonomi (in modo che gli spostamenti<br />
infinitesimi δqh sono arbitrari e in<strong>di</strong>pendenti tra loro), si ottengono per le componenti lagrangiane<br />
<strong>del</strong>la sollecitazione, nel caso conservativo, le espressioni Qh = ∂U<br />
∂qh .<br />
Nel caso <strong>di</strong> un corpo rigido libero i vincoli sono in<strong>di</strong>pendenti dal tempo. Quin<strong>di</strong>, come nel caso<br />
appena visto, il generico spostamento virtuale è definito da<br />
δPs = δO+ω ′ ×(Ps −O),<br />
dove δO denota lo spostamento virtuale <strong>del</strong> polo O e ω ′ la corrispondente rotazione virtuale, e si<br />
trova<br />
δL = R·δO+Ω(O)·ω ′ , (5.22)<br />
dove, naturalmente, R e Ω(O) denotano ancora il vettore risultante e il momento risultante, rispetto<br />
ad O, <strong>del</strong>le forze (Ps,Fs).<br />
5.2.5 Energia cinetica o forza viva<br />
Definizione 5.2. Diremo energia cinetica o forza viva <strong>di</strong> un sistema materiale S <strong>di</strong> N punti Ps<br />
<strong>di</strong> massa ms la somma<br />
T = 1<br />
2<br />
N<br />
s=1<br />
msv 2 s = 1<br />
2<br />
N<br />
msvs ·vs. (5.23)<br />
Si tratta <strong>di</strong> una grandezza scalare, sempre positiva, salvo che negli istanti <strong>di</strong> arresto <strong>di</strong> tutti i<br />
punti <strong>del</strong> sistema, nei quali l’energia cinetica si riduce a zero; è manifesto che essa è <strong>di</strong> natura relativa<br />
alriferimentoadottato(inDinamicaquandosiparla<strong>di</strong>energiacinetica,senzaulteriorespecificazione,<br />
si sottintende che il moto sia riferito ad una terna fissa o, più generalmente, galileiana).<br />
s=1