Note del corso di Fisica Matematica A

More documents

Recommendations

Info

112 5 Dinamica: equazioni differenziali del moto Qh = N s=1 Fs · ∂Ps ∂qh la forza generalizzata di Lagrange o componente del sistema di forze Fs secondo la coordinata lagrangiana qh. A secondo membro della (5.20) il secondo termine si annulla identicamente quando i vincoli sono indipendenti dal tempo (∂Ps/∂t) = 0. 5.2.4 Lavoro virtuale e identità notevoli Nel caso di spostamenti virtuali δPs si perviene per il lavoro virtuale N n δL = Fs ·δPs, e quindi δL = Qhδqh. (5.21) s=1 h=1 Se le forze (Ps,Fs) derivano da un potenziale U, espresso in coordinate lagrangiane per mezzo delle equazioni parametriche (5.19), funzione delle q e anche del tempo t, se i vincoli sono dipendenti da esso. In ogni caso sappiamo già che si ha δL = δU, dove δU denota il differenziale totale della U in quanto dipendente dalle sole q, cioé δU = n h=1 ∂U ∂qh δqh; quindi, identificando con la (5.21) e tenendo conto della arbitrarietà dei δqh nell’ipotesi di vincoli olonomi (in modo che gli spostamenti infinitesimi δqh sono arbitrari e indipendenti tra loro), si ottengono per le componenti lagrangiane della sollecitazione, nel caso conservativo, le espressioni Qh = ∂U ∂qh . Nel caso di un corpo rigido libero i vincoli sono indipendenti dal tempo. Quindi, come nel caso appena visto, il generico spostamento virtuale è definito da δPs = δO+ω ′ ×(Ps −O), dove δO denota lo spostamento virtuale del polo O e ω ′ la corrispondente rotazione virtuale, e si trova δL = R·δO+Ω(O)·ω ′ , (5.22) dove, naturalmente, R e Ω(O) denotano ancora il vettore risultante e il momento risultante, rispetto ad O, delle forze (Ps,Fs). 5.2.5 Energia cinetica o forza viva Definizione 5.2. Diremo energia cinetica o forza viva di un sistema materiale S di N punti Ps di massa ms la somma T = 1 2 N s=1 msv 2 s = 1 2 N msvs ·vs. (5.23) Si tratta di una grandezza scalare, sempre positiva, salvo che negli istanti di arresto di tutti i punti del sistema, nei quali l’energia cinetica si riduce a zero; è manifesto che essa è di natura relativa alriferimentoadottato(inDinamicaquandosiparladienergiacinetica,senzaulteriorespecificazione, si sottintende che il moto sia riferito ad una terna fissa o, più generalmente, galileiana). s=1
5.2 Caratteristiche dinamiche dei sistemi 113 Fig. 5.2. Sistemi di riferimento mobile (O1;x1,y1,z1) traslante rispetto al sistema di riferimento fisso (O;x,y,z). Teorema di König Denotando con (O1;x1,y1,z1) un sistema di riferimento mobile e con (O;x,y,z) il sistema di riferimento fisso, la velocità di un punto Ps rispetto al sistema fisso è data da vs = vτ,s +v1,s; dove vτ,s è la velocità di trascinamento di Ps e v1,s è la velocità relativa di Ps. Nel caso particolare in cui il sistema mobile si muova di moto traslatorio allora vτ,s = v(O ′ ) = v0 e l’energia cinetica T assume la forma T = 1 2 mv0 2 + 1 2 N msv1,s s=1 2 N +v0 · msv1,s , (5.24) s=1 dove m denota la massa totale del sistema. La (5.24) presenta l’energia cinetica del sistema, nel suo moto rispetto a (O;x,y,z), come somma di tre termini, cioé l’energia cinetica che competerebbe al punto O ′ qualora fosse un punto materiale di massa m, l’energia cinetica del sistema nel suo moto relativo ad O ′ , ed, infine, una quantità che dipende sia dal moto di O ′ che dal moto relativo. La formula (5.24) si semplifica quando si assume come riferimento mobile O ′ il baricentro G del sistema. In tal caso, essendo N s=1ms(Ps −G) = 0, si ha che N s=1msv1,s = 0. Pertanto abbiamo il seguente risultato: Teorema 5.3 (Teorema del König). L’energia cinetica di un qualsiasi sistema materiale in moto è, istante per istante, eguale alla somma dell’energia cinetica che competerebbe in quell’istante al baricentro, qualora fosse un punto materiale in cui si trovasse concentrata tutta la massa del sistema, più l’energia cinetica nel moto del sistema relativo al baricentro (ovvero all’osservatore centrato nel baricentro e traslante): Energia cinetica di un corpo rigido T = 1 2 mv2 G +TG, TG = 1 2 N msv1,s s=1 2 N , m = ms. (5.25) s=1 Nel caso di un corpo rigido abbiamo vs = v0 + v ′ s, dove v0 = v(O ′ ), e v ′ s = ω × (Ps − O ′ ) con ovvio significato di tali grandezze vettoriali. In particolare, ponendo m = N s=1ms e:
Page 1:
Fisica Matematica A 1 Marzo, 2013
Page 4 and 5:
VI Sommario 2.3.4 Esercizi.........
Page 6 and 7:
VIII Sommario 6 Cenni di meccanica
Page 8 and 9:
2 1 Calcolo Vettoriale Definizione
Page 10 and 11:
4 1 Calcolo Vettoriale — anti-com
Page 12 and 13:
6 1 Calcolo Vettoriale P(t)−O = x
Page 14 and 15:
8 1 Calcolo Vettoriale è invertibi
Page 17 and 18:
2 Cinematica Si dice Cinematica que
Page 19 and 20:
. . Fig. 2.1. La velocitá v é se
Page 21 and 22:
n . . t 2.1 Cinematica del pun
Page 23 and 24:
2.1 Cinematica del punto 17 Dimostr
Page 25 and 26:
2.1 Cinematica del punto 19 e la su
Page 27 and 28:
θ Fig. 2.4. Sistema biella-manove
Page 29 and 30:
2.2 Cinematica dei sistemi rigidi 2
Page 31 and 32:
2.2.3 Moti rotatori 2.2 Cinematica
Page 33 and 34:
2.2.5 Moti rigidi generali ed atti
Page 35 and 36:
Page 37 and 38:
Page 39 and 40:
Page 41 and 42:
Il moto assoluto di P è dato dalla
Page 43 and 44:
2.4 Cinematica dei sistemi 37 Duran
Page 45 and 46:
2.4 Cinematica dei sistemi 39 iv.Pe
Page 47 and 48:
2.4 Cinematica dei sistemi 41 Defin
Page 49 and 50:
γ δ . δ σ π 2.4 Cinematica d
Page 51:
2.4 Cinematica dei sistemi 45 Da ci
Page 54 and 55:
48 3 Generalità sui sistemi e gran
Page 56 and 57:
Page 58 and 59:
Page 60 and 61:
Page 62 and 63:
Page 64 and 65:
Page 66 and 67:
Page 68 and 69: 62 3 Generalità sui sistemi e gran
Page 79 and 80: 4 Statica 4.1 Statica del punto e a
Page 81 and 82: φ . φ σ 4.1 Statica del punt
Page 83 and 84: 4.2 Equazioni cardinali della stati
Page 85 and 86: Teorema 4.8. Quando R = 0 e l’inv
Page 95 and 96: 4.3 Principio dei lavori virtuali e
Page 97 and 98: δρ = φ1 ·δP1 +φ2 ·δP2 = φ1
Page 99 and 100: 4.3 Principio dei lavori virtuali e
Page 101 and 102: Quindi, si conclude o equivalenteme
Page 103 and 104: 4.3.5 Esempi Punto P vincolato a mu
Page 105 and 106: 4.4 Nozione di stabilità dell’eq
Page 107 and 108: 4.5 Statica relativa 101 In virtù
Page 109: 4.5 Statica relativa 103 dovuto all
Page 112 and 113: 106 5 Dinamica: equazioni differenz
Page 140 and 141: 134 6 Cenni di meccanica dei contin
Page 163 and 164: 7 Esercizi tratti da prove d’esam
Page 169 and 170:
7 Esercizi tratti da prove d’esam
Page 171 and 172:
Page 173 and 174:
Page 175 and 176:
A Appendice A.1 Cenni sull’attraz
Page 177:
A.1.3 Attrazione di una corona sfer
show all

Note del corso di Fisica Matematica A

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?