Note del corso di Fisica Matematica A
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o, equivalentemente,<br />
dPs = dO+ω ′ ×(Ps −O)<br />
5.2 Caratteristiche <strong>di</strong>namiche dei sistemi 111<br />
dove abbiamo posto ω ′ = ωdt = dθâ essendo (O;â) l’asse istantaneo <strong>di</strong> rotazione. Sostituendo nella<br />
(5.15) e tenendo conto <strong>del</strong>la regola <strong>del</strong> prodotto misto si ottiene<br />
<br />
N<br />
<br />
dL = dO· Fs +ω<br />
s=1<br />
′ N<br />
· (Ps −O)×Fs<br />
s=1<br />
= R·dO+Ω(O)·ω ′<br />
(5.16)<br />
In particolare per un moto (o atto <strong>di</strong> moto) puramente traslatorio (ω = 0), l’espressione <strong>del</strong> lavoro<br />
elementare è quella stessa che competerebbe ad una unica forza applicata il O <strong>di</strong> vettore R.<br />
Dalla (5.16) si nota che il lavoro <strong>di</strong> tutte le forze interne è nullo, essendo Ri = 0 e Ωi(O) = 0,<br />
quin<strong>di</strong>: durante il moto <strong>di</strong> un corpo rigido, comunque vincolato e sollecitato, le forze<br />
interne eseguono un lavoro elementare identicamente nullo.<br />
Dalla (5.16) appare anche che due sistemi <strong>di</strong> forze equivalenti compiono lo stesso lavoro<br />
elementare o, in altri termini, lo stesso lavoro virtuale.<br />
Se il corpo rigido è fissato in un punto e questo si sceglie come centro <strong>di</strong> riduzione, si ha v0 = 0 e<br />
la (5.16) si riduce a<br />
dL = Ω(O)·ω ′ . (5.17)<br />
Se poi il corpo rigido ruota intorno ad un asse fisso <strong>di</strong> <strong>di</strong>rezione â, basta scegliere il polo O in un punto<br />
qualsiasi <strong>di</strong> quest’asse perché continui a sussistere la (5.17); in particolare il vettore ω, pur variando,<br />
in generale, <strong>di</strong> intensità col tempo, ha sempre l’asse fisso e ω = ˙ θâ. Essendo Ωa la proiezione sull’asse<br />
a <strong>del</strong> momento Ω(O) (momento risultante <strong>del</strong>le forze rispetto all’asse a) si ha:<br />
5.2.3 Lavoro elementare in coor<strong>di</strong>nate lagrangiane<br />
dL = Ωadθ. (5.18)<br />
Se il sistema S ha n gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà e, rispetto alla generica n−upla <strong>di</strong> coor<strong>di</strong>nate lagrangiane<br />
(in<strong>di</strong>pendenti) qh (h = 1, 2, ..., n), è definito dalle equazioni parametriche<br />
Ps = Ps(q1, q2, ..., qn;t), s = 1,...,N, (5.19)<br />
il generico spostamento infinitesimo <strong>del</strong> sistema è dato da<br />
dPs =<br />
n ∂Ps<br />
dqh +<br />
∂qh<br />
∂Ps<br />
dt, s = 1,...,N.<br />
∂t<br />
h=1<br />
Il lavoro elementare <strong>del</strong> sistema <strong>di</strong>venta quin<strong>di</strong><br />
denotando con<br />
n<br />
<br />
N<br />
dL = Qhdqh + Fs ·<br />
h=1 s=1<br />
∂Ps<br />
<br />
dt (5.20)<br />
∂t