Note del corso di Fisica Matematica A

o, equivalentemente,
dPs = dO+ω ′ ×(Ps −O)
5.2 Caratteristiche dinamiche dei sistemi 111
dove abbiamo posto ω ′ = ωdt = dθâ essendo (O;â) l’asse istantaneo di rotazione. Sostituendo nella
(5.15) e tenendo conto della regola del prodotto misto si ottiene
N
dL = dO· Fs +ω
s=1
′ N
· (Ps −O)×Fs
s=1
= R·dO+Ω(O)·ω ′
(5.16)
In particolare per un moto (o atto di moto) puramente traslatorio (ω = 0), l’espressione del lavoro
elementare è quella stessa che competerebbe ad una unica forza applicata il O di vettore R.
Dalla (5.16) si nota che il lavoro di tutte le forze interne è nullo, essendo Ri = 0 e Ωi(O) = 0,
quindi: durante il moto di un corpo rigido, comunque vincolato e sollecitato, le forze
interne eseguono un lavoro elementare identicamente nullo.
Dalla (5.16) appare anche che due sistemi di forze equivalenti compiono lo stesso lavoro
elementare o, in altri termini, lo stesso lavoro virtuale.
Se il corpo rigido è fissato in un punto e questo si sceglie come centro di riduzione, si ha v0 = 0 e
la (5.16) si riduce a
dL = Ω(O)·ω ′ . (5.17)
Se poi il corpo rigido ruota intorno ad un asse fisso di direzione â, basta scegliere il polo O in un punto
qualsiasi di quest’asse perché continui a sussistere la (5.17); in particolare il vettore ω, pur variando,
in generale, di intensità col tempo, ha sempre l’asse fisso e ω = ˙ θâ. Essendo Ωa la proiezione sull’asse
a del momento Ω(O) (momento risultante delle forze rispetto all’asse a) si ha:
5.2.3 Lavoro elementare in coordinate lagrangiane
dL = Ωadθ. (5.18)
Se il sistema S ha n gradi di libertà e, rispetto alla generica n−upla di coordinate lagrangiane
(indipendenti) qh (h = 1, 2, ..., n), è definito dalle equazioni parametriche
Ps = Ps(q1, q2, ..., qn;t), s = 1,...,N, (5.19)
il generico spostamento infinitesimo del sistema è dato da
dPs =
n ∂Ps
dqh +
∂qh
∂Ps
dt, s = 1,...,N.
∂t
h=1
Il lavoro elementare del sistema diventa quindi
denotando con
n
N
dL = Qhdqh + Fs ·
h=1 s=1
∂Ps
dt (5.20)
∂t