Note del corso di Fisica Matematica A

110 5 Dinamica: equazioni differenziali del moto
Esercizio 5.5: Sia dato un corpo puntiforme P di massa m vincolato a scorrere senza attrito
lungo una circonferenza di centro O e raggio ℓ posta in un piano verticale che ruota attorno all’asse
verticale (O;z) con velocità angolare ω = ˙ θ ˆ k con θ = θ(t) nota. Sia (O1;x1,y1,z1) il sistema di
riferimento relativo con O ≡ O1, l’asse (O1;z1) coincidente con l’asse di rotazione e con il piano
(O1;x1,z1) contenente la circonferenza; il sistema è ad un grado di libertà ed assumiamo come
parametro lagrangiano l’angolo formato dal segmento P −O ed il semi-asse verticale discendente. Si
domanda:
i. calcolare il potenziale e l’energia cinetica rispetto all’osservatore relativo;
ii. calcolare le configurazioni di equilibrio relativo e studiarne la stabilità;
iii.disegnare il diagramma delle biforcazioni per le configurazioni di equilibrio relativo in funzione
del parametro positivo adimensionale γ = g
ω2ℓ ;
iv.calcolare il periodo delle piccole oscillazioni delle configurazioni di equilibrio relativo distinguendo
i due casi γ < 1 e γ > 1.
Esercizio 5.6: Tenendo conto della forza di Coriolis e della forza peso calcolare, per una secchia
puntiforme di massa m lasciata cadere dalla cima della Ghirlandina con velocità iniziale nulla, la
deviazione verso oriente della secchia rispetto alla verticale quando questa impatta al suolo.
Esercizio 5.7: Sia dato un oscillatore accoppiato costituito da due corpi puntiformi P1 e P2 di
masse, rispettivamente, m1 e m2, vincolati a scorrere senza attrito lungo l’asse (O;x), il punto P1
è collegato ad O mediante una molla di costante k1, il punto P1 è collegato ad un punto fisso A,
distante L da O, mediante una molla di costante k2, i due punti sono poi collegati tra loro mediante
una molla di costante K. Introducendo i parametri lagrangiani x1 e x2 (scelti in modo che sia
P1−O = x1î e P2−A = −x2î), e ponendo, per semplicità, m = m1 = m2 e k = k1 = k2, si domanda
di scrivere le equazioni differenziali del moto, integrarle e osservare, almeno per alcuni valori iniziali
e dei parametri, il fenomeno dei battimenti.
5.2 Caratteristiche dinamiche dei sistemi
5.2.1 Lavoro elementare
Definizione 5.1. Sia dato un sistema S di N punti materiali soggetto ad un sistema di forze (Ps,Fs),
s = 1,2,...,N, sia attive che vincolari. In un istante qualsiasi t sia vs la velocità di Ps e dPs =
vsdt lo spostamento (infinitesimo) che esso subisce nell’intervallo dt, diremo lavoro elementare
complessivo del sistema di forze Fs la somma
5.2.2 Corpo rigido libero
N N
dL = Fs ·dPs = Fs ·vsdt. (5.15)
s=1 s=1
La velocità di un generico punto Ps di un corpo rigido è espressa per mezzo di due vettori caratteristici,
cioé della velocità v0 di un qualsiasi punto O solidale col sistema e della velocità angolare
istantanea ω del sistema stesso. In questo modo si ottiene
vs = v0 +ω ×(Ps −O)