Note del corso di Fisica Matematica A

5.1 Dinamica del punto 109
dove λ designa un fattore di proporzionalità a priori incognito. Proiettando la (5.13) sugli assi si
ottengono le tre equazioni
⎧
⎪⎨ m¨x = Fx +λ
⎪⎩
∂f
∂x
m¨y = Fy +λ ∂f
∂y
m¨z = Fz +λ ∂f
∂z
(5.14)
che insieme alla (5.12) formano un sistema di quattro equazioni nelle quattro incognite x,y,z (fondamentali)
e λ (ausiliaria).
5.1.6 Esercizi
Esercizio 5.1: Studiare il moto di un punto libero P di massa m soggetto alla sola forza peso
note le condizioni iniziali x0 = y0 = z0 = 0 e v0 = v0cosαî+v0sinα ˆ k (problema della balistica senza
attrito). Calcolare inoltre l’energia meccanica totale.
Esercizio 5.2: Studiare il moto di un punto libero P di massa m soggetto alla forza peso (P,F1 =
−mg ˆ k)eallaresistenzadell’aria(P,F2 = −λv(P)),λ > 0,notelecondizioniinizialix0 = y0 = z0 = 0
e v0 = v0cosαî+v0sinα ˆ k. Dimostrare che nel limite λ → 0 + si ritrovano, puntualmente, le soluzioni
viste nell’esercizio precedente.
Esercizio 5.3: Studiare il moto di un punto P di massa m vincolato a scorrere, senza attrito,
lungo l’asse (O;x) e soggetto alla forza peso (P,F1 = −mg ˆ k) e ad una forza elastica (P,F2 = −k 2 xî)
dovuta ad una molla di costante di elasticità k 2 avente l’altro estremo fisso in O. Discutere inoltre
se il punto P può oltrepassare un punto D posto a distanza d da O ed in tal caso calcolare con quale
velocità oltrepassa D (facendo uso del principio di conservazione dell’energia meccanica) e quanto
tempo impiega per andare da O a D ammesso che le condizioni iniziali al tempo t0 = 0 siano:
x(0) = 0 e ˙x(0) = v0, v0 > 0.
Sempre sotto le stesse condizioni iniziali, supponiamo il punto sia soggetto, oltre alla forza elastica e
alla forza peso, ad un attrito radente di coefficienti, rispettivamente, fs e fd(< fs); discutere il moto
del punto P e calcolare l’energia meccanica totale del punto in funzione del tempo t.
Esercizio 5.4: Sia dato un punto materiale P di massa m vincolato a scorrere lungo un asse
(O;x1) orizzontale. Sapendo che tale asse ruota, rispetto al riferimento assoluto (O;x,y,z), attorno
all’asse verticale (O;z) con velocità angolare ω = ˙ θ ˆ k si domanda:
i. scrivere le equazioni di Newton rispetto all’osservatore relativo;
ii. supponendo che la velocità angolare ω sia costante e indicando con fs il coefficiente di attrito
radente, calcolare le eventuali configurazioni di equilibrio relativo;
iii.supponendo che la velocità angolare ω sia costante, in assenza di attrito e introducendo una forza
elastica dovuta ad una molla di costante k e avente ai suoi capi P e O, determinare il moto relativo
del punto P;
iv.supponendo che la velocità angolare ω sia costante, in assenza di attrito e assumendo che l’asse
(O;x1) sia inclinato rispetto all’asse verticale (α ∈ (0,π/2) è l’angolo tra i due assi), calcolare le
configurazioni di equilibrio relativo e discutere la loro stabilità.