Note del corso di Fisica Matematica A

108 5 Dinamica: equazioni differenziali del moto
5.1.4 Comportamento dell’attrito durante il moto
Consideriamo un punto appoggiato ad una curva (o ad una superficie) e sia Φ la reazione vincolare
che l’appoggio offre al punto. Denominando con ΦN il valore assoluto della componente normale
ΦN = Φ−Φt di Φ, e Φt la componente tangenziale di Φ. Quest’ultimo, Φt, si denomina attrito.
Si hanno le seguenti regole (di evidenza empirica):
i. L’attrito è direttamente opposto alla velocità del moto. Se questa eventualmente si annulla
durante il corso del moto, tornano a valere le leggi dell’attrito statico.
ii. L’intensità Φt dell’attrito dinamico è direttamente proporzionale alla reazione normale ΦN:
Φt = fdΦN.
Il coefficiente fd di proporzionalità non dipende dalla velocità del mobile. Questo coefficiente di
proporzionalità si chiama coefficiente di attrito dinamico e talvolta viene anche indicato con
fd. In particolare il coefficiente di attrito dinamico è sempre inferiore al coefficiente di attrito
statico, cioé fs < fd.
In virtù di queste leggi, proiettando nella direzione tangente ˆt l’equazione
ma = F+Φ,
si ha che l’equazione del moto diventa
m¨s = Ft −fΦN, per ˙s > 0
m¨s = Ft +fΦN, per ˙s < 0
, (5.11)
il caso ˙s = 0 va trattato a parte (seguendo le leggi dell’attrito statico). Essendo Φn = m v2
ρc −Fn e
Φb = −Fb allora
ΦN =
Φ 2 n +Φ 2 b =
m v2
ρc
5.1.5 Moto di un punto su una superficie priva di attrito
−Fn
2 +F 2 b .
Consideriamo il moto di un punto materiale P che, sotto la sollecitazione di forze attive, di risultante
F, sia costretto a muoversi su di una superficie σ priva di attrito avente equazione
L’equazione del moto è data da
f(x,y,z;t) = 0. (5.12)
ma = F+Φ (5.13)
dove Φ è la reazione vincolare offerta dalla superficie al punto.
Nell’ipotesi che σ sia priva di attrito (sia poi σ indipendente o no dal tempo) allora la reazione
Φ = Φ ˆ N, incognita, sarà ortogonale alla superficie, pertanto avrà componenti
λ ∂f
∂x
, λ∂f
∂y
Φ
, λ∂f , λ =
∂z |∇f|
∈ R