Note del corso di Fisica Matematica A
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108 5 Dinamica: equazioni <strong>di</strong>fferenziali <strong>del</strong> moto<br />
5.1.4 Comportamento <strong>del</strong>l’attrito durante il moto<br />
Consideriamo un punto appoggiato ad una curva (o ad una superficie) e sia Φ la reazione vincolare<br />
che l’appoggio offre al punto. Denominando con ΦN il valore assoluto <strong>del</strong>la componente normale<br />
ΦN = Φ−Φt <strong>di</strong> Φ, e Φt la componente tangenziale <strong>di</strong> Φ. Quest’ultimo, Φt, si denomina attrito.<br />
Si hanno le seguenti regole (<strong>di</strong> evidenza empirica):<br />
i. L’attrito è <strong>di</strong>rettamente opposto alla velocità <strong>del</strong> moto. Se questa eventualmente si annulla<br />
durante il <strong>corso</strong> <strong>del</strong> moto, tornano a valere le leggi <strong>del</strong>l’attrito statico.<br />
ii. L’intensità Φt <strong>del</strong>l’attrito <strong>di</strong>namico è <strong>di</strong>rettamente proporzionale alla reazione normale ΦN:<br />
Φt = fdΦN.<br />
Il coefficiente fd <strong>di</strong> proporzionalità non <strong>di</strong>pende dalla velocità <strong>del</strong> mobile. Questo coefficiente <strong>di</strong><br />
proporzionalità si chiama coefficiente <strong>di</strong> attrito <strong>di</strong>namico e talvolta viene anche in<strong>di</strong>cato con<br />
fd. In particolare il coefficiente <strong>di</strong> attrito <strong>di</strong>namico è sempre inferiore al coefficiente <strong>di</strong> attrito<br />
statico, cioé fs < fd.<br />
In virtù <strong>di</strong> queste leggi, proiettando nella <strong>di</strong>rezione tangente ˆt l’equazione<br />
ma = F+Φ,<br />
si ha che l’equazione <strong>del</strong> moto <strong>di</strong>venta<br />
<br />
m¨s = Ft −fΦN, per ˙s > 0<br />
m¨s = Ft +fΦN, per ˙s < 0<br />
, (5.11)<br />
il caso ˙s = 0 va trattato a parte (seguendo le leggi <strong>del</strong>l’attrito statico). Essendo Φn = m v2<br />
ρc −Fn e<br />
Φb = −Fb allora<br />
ΦN =<br />
<br />
Φ 2 n +Φ 2 b =<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
m v2<br />
ρc<br />
5.1.5 Moto <strong>di</strong> un punto su una superficie priva <strong>di</strong> attrito<br />
−Fn<br />
2 +F 2 b .<br />
Consideriamo il moto <strong>di</strong> un punto materiale P che, sotto la sollecitazione <strong>di</strong> forze attive, <strong>di</strong> risultante<br />
F, sia costretto a muoversi su <strong>di</strong> una superficie σ priva <strong>di</strong> attrito avente equazione<br />
L’equazione <strong>del</strong> moto è data da<br />
f(x,y,z;t) = 0. (5.12)<br />
ma = F+Φ (5.13)<br />
dove Φ è la reazione vincolare offerta dalla superficie al punto.<br />
Nell’ipotesi che σ sia priva <strong>di</strong> attrito (sia poi σ in<strong>di</strong>pendente o no dal tempo) allora la reazione<br />
Φ = Φ ˆ N, incognita, sarà ortogonale alla superficie, pertanto avrà componenti<br />
λ ∂f<br />
∂x<br />
, λ∂f<br />
∂y<br />
Φ<br />
, λ∂f , λ =<br />
∂z |∇f|<br />
∈ R