Note del corso di Fisica Matematica A

α ∈ [0,2π) denota l’angolo formato tra la normale e la verticale. Quindi deve essere
v > vmin = Rg ≈ √ 30m/sec ≈ 3.6 √ 30km/h ≈ 20km/h.
5.1.3 Dinamica del punto soggetto a forze posizionali
Nel caso di forze posizionali sarà Ft = f(s), quindi la (5.4) assumerà la forma
5.1 Dinamica del punto 107
m¨s = f(s) (5.6)
Permostrarecomela(5.6)siriducaconunaquadraturaadunaequazionedelI ◦ ordinericordiamoche
l’energia cinetica T è definita da 1
2m˙s2 , da cui risulta: dT = m˙s¨s. Osservando che, essendo f funzione
dt
della sola s, questa è necessariamente conservativa e quindi la funzione potenziale U(s) = f(s)ds è
= f(s). In virtù della (5.6) segue che
tale che dU
ds
dT dU
= ˙s. (5.7)
dt ds
Il secondo membro, in quanto si consideri U come funzione di t, tramite l’arco s, non è altro che la
derivata di U = U[s(t)] rispetto a t; integrando la (5.7) rispetto a t e designando con E la costante
di integrazione, si ricava:
T −U = E. (5.8)
Questarelazioneinterminifiniti,fralaenergiacineticaT elasuaposizionesullacurva(caratterizzata
dallafunzioneU(s)),sichiamaintegrale delle forze vive. Questointegraleprimodelmotofornisce,
in ultima analisi, una relazione fra s e ˙s: 1
2m˙s2 −U(s) = E.
Nel caso attuale, in cui si suppone prestabilita la traiettoria, si perviene alla (5.8) senza bisogno
di introdurre l’ipotesi che la forza totale sia conservativa, basta infatti che essa sia posizionale
perchè la (5.7) valga limitatamente alla mobilità del punto sopra la curva γ. Nel caso poi in cui la
forza derivi da un potenziale allora la U che compare nella (5.8) si ottiene restringendo il potenziale
della forza alla curva γ.
Ponendo
u(s) = 2
[U(s)+E], (5.9)
m
l’equazione delle forze vive (5.8) si può scrivere
ds
dt
2
= u(s), da cui ds
dt
= ± u(s), (5.10)
dove va preso il segno positivo o negativo secondo che la velocità scalare ds sia positiva o negativa. La
dt
(5.10) è una equazione differenziale del I◦ ordine, sostanzialmente equivalente all’originaria equazione
(5.6), chepuòessere integratamedianteunaquadraturaefornisce la cercata relazione in termini finiti
tra s e t:
ds
t−t0 =
u(s) .
Le due costanti arbitrarie da cui essa deve dipendere sono date l’una dalla costante additiva
dell’ultima quadratura, l’altra dalla costante E che compare nella (5.8).