Note del corso di Fisica Matematica A

106 5 Dinamica: equazioni differenziali del moto
5.1.2 Dinamica del punto su traiettoria prestabilita
Nel caso in cui il moto del punto non sia libero occorre
una analisi basata sulla natura dei vincoli. Supponendo
nota a priori la traiettoria γ di un punto P allora per caratterizzare
il moto non rimane che determinare la legge oraria
s = s(t) dove s è la lunghezza dell’arco γ fra una arbitraria
origine e P, misurata positivamente in un prefissato verso
(ascissa curvilinea di P). La (5.1) proiettata, in ciascun
punto della γ, sulla rispettiva tangente, orientata nel verso
delle s crescenti, diventa:
m¨s = Ft +Φt
(5.2)
dove la componente tangenziale Φt di Φ è, per lo più, incognita.
TuttaviavisonodeicasiincuilaΦt èpreventivamente
assegnabile. In particolare: un punto vincolato su una
curva priva di attrito si muove su di essa come se
γ
Φ
.
.
Fig. 5.1. Nel caso di moto di un punto vincolato
ad una traiettoria prestabilita γ liscia la reazione
vincolare Φ é normale alla retta tangente.
fosse esclusivamente soggetto all’azione della forza attiva (tangenziale), cioé Φt = 0. La
(5.2) in questo caso si riduce alla
m¨s = Ft. (5.3)
Se la componente tangenziale Ft della forza totale è una funzione f(˙s,s;t) nota la (5.3) assumerà la
forma
m¨s = f(˙s,s;t) (5.4)
e, nell’ipotesi di limitatezza, continuità e derivabilità nei tre argomenti della f, la (5.4) ammette
una, ed una sola, soluzione (nel dominio considerato) soddisfacente alle condizioni iniziali assegnate.
Quindi la (5.3) (più precisamente nella forma (5.4)) è sufficiente per caratterizzare univocamente il
moto.
Proiettando la (5.1), per ogni punto della traiettoria, sulla rispettiva normale principale ˆn (orientata
verso il centro di curvatura della traiettoria) si ottiene, ricordando l’espressione an = v 2 /ρc della
accelerazione normale,
Φn = m v2
−Fn
ρc
dove ρc è il raggio di curvatura e v = |˙s| il modulo della velocità. La componente Φn dell’azione
complessiva Φ esercitata dai vincoli si chiama reazione centripeta della traiettoria. Proiettando
la (5.1) sulla binormale infine si ottiene che 0 = Fb +Φb, cioé Φb = −Fb.
Esempio: anello della morte
Consideriamo un anello della morte di raggio R = 3 metri e calcoliamo quale è la velocità minima
che deve essere mantenuta per evitare di cadere nel vuoto. La condizione di ”non distacco” è data
da Φn > 0 e si ha distacco quando Φn = 0. Quindi la velocità minima vmin è tale che
m v2 min
ρc
−Fn = 0 dove ρc = R e Fn = −mgcosα,
t
(5.5)