Note del corso di Fisica Matematica A

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Dinamica: equazioni differenziali del moto
5.1 Dinamica del punto
Lo studio del moto di un sistema meccanico è basato sulla II ◦ legge di Newton
ma = F+φ (5.1)
che mette in relazione la massa m, l’accelerazione a di un singolo punto e le forze, esterne e interne,
attive (di vettore F) e vincolari (di vettore φ), cui esso è soggetto. Inizialmente ci dedicheremo allo
studio del moto di un singolo punto P e, in seguito, analizzeremo il problema della dinamica per
sistemi materiali costituiti da più punti.
5.1.1 Dinamica del punto libero
Nel caso del moto di un punto materiale libero l’equazione di Newton prende la forma
ma = F(P, ˙
P,t)
che rappresenta, dal punto di vista matematico, una equazione differenziale del II◦ ordine in
forma vettoriale. Se proiettiamo tale equazione lungo gli assi coordinati essa si riduce ad un sistema
di 3 equazioni differenziali del II◦ ordine poste in forma normale
⎧
⎪⎨ m¨x = Fx(x,y,z, ˙x, ˙y, ˙z,t)
m¨y = Fy(x,y,z, ˙x, ˙y, ˙z,t)
⎪⎩ m¨z = Fz(x,y,z, ˙x, ˙y, ˙z,t)
nelle incognite
x = x(t), y = y(t), z = z(t)
Assumendo la dipendenza regolare della forza attiva dai suoi argomenti e associandovi le condizioni
iniziali
x(t0) = x0, y(t0) = y0, z(t0) = z0
e
˙x(t0) = ˙x0, ˙y(t0) = ˙y0, ˙z(t0) = ˙z0
allora il problema di Cauchy ammette una, ed una sola, soluzione che rappresenta la legge oraria del
moto.