Note del corso di Fisica Matematica A
Note del corso di Fisica Matematica A
Note del corso di Fisica Matematica A
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
5<br />
Dinamica: equazioni <strong>di</strong>fferenziali <strong>del</strong> moto<br />
5.1 Dinamica <strong>del</strong> punto<br />
Lo stu<strong>di</strong>o <strong>del</strong> moto <strong>di</strong> un sistema meccanico è basato sulla II ◦ legge <strong>di</strong> Newton<br />
ma = F+φ (5.1)<br />
che mette in relazione la massa m, l’accelerazione a <strong>di</strong> un singolo punto e le forze, esterne e interne,<br />
attive (<strong>di</strong> vettore F) e vincolari (<strong>di</strong> vettore φ), cui esso è soggetto. Inizialmente ci de<strong>di</strong>cheremo allo<br />
stu<strong>di</strong>o <strong>del</strong> moto <strong>di</strong> un singolo punto P e, in seguito, analizzeremo il problema <strong>del</strong>la <strong>di</strong>namica per<br />
sistemi materiali costituiti da più punti.<br />
5.1.1 Dinamica <strong>del</strong> punto libero<br />
Nel caso <strong>del</strong> moto <strong>di</strong> un punto materiale libero l’equazione <strong>di</strong> Newton prende la forma<br />
ma = F(P, ˙<br />
P,t)<br />
che rappresenta, dal punto <strong>di</strong> vista matematico, una equazione <strong>di</strong>fferenziale <strong>del</strong> II◦ or<strong>di</strong>ne in<br />
forma vettoriale. Se proiettiamo tale equazione lungo gli assi coor<strong>di</strong>nati essa si riduce ad un sistema<br />
<strong>di</strong> 3 equazioni <strong>di</strong>fferenziali <strong>del</strong> II◦ or<strong>di</strong>ne poste in forma normale<br />
⎧<br />
⎪⎨ m¨x = Fx(x,y,z, ˙x, ˙y, ˙z,t)<br />
m¨y = Fy(x,y,z, ˙x, ˙y, ˙z,t)<br />
⎪⎩ m¨z = Fz(x,y,z, ˙x, ˙y, ˙z,t)<br />
nelle incognite<br />
x = x(t), y = y(t), z = z(t)<br />
Assumendo la <strong>di</strong>pendenza regolare <strong>del</strong>la forza attiva dai suoi argomenti e associandovi le con<strong>di</strong>zioni<br />
iniziali<br />
x(t0) = x0, y(t0) = y0, z(t0) = z0<br />
e<br />
˙x(t0) = ˙x0, ˙y(t0) = ˙y0, ˙z(t0) = ˙z0<br />
allora il problema <strong>di</strong> Cauchy ammette una, ed una sola, soluzione che rappresenta la legge oraria <strong>del</strong><br />
moto.