Note del corso di Fisica Matematica A

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4 1 Calcolo Vettoriale — anti-commutativa: u×v = −v×u — distributiva: (u+v)×w = u×w+v×w — u×v = 0 ⇔ (u = 0) ∨ (v = 0) ∨ (u v) — î×î =ˆj×ˆj = ˆ k× ˆ k = 0 e î×ˆj = ˆ k,ˆj× ˆ k = î e ˆ k×î =ˆj — se ux,uy,uz e vx,vy,vz sono le componenti dei due vettori u e v rispetto ad una base assegnata allora il prodotto vettoriale si può calcolare come î ˆj u×v = ˆ k ux uy uz = (uyvz −uzvy)î+(uzvx −uxvz)ˆj+(uxvy −uyvx) ˆ k vx vy vz — il prodotto vettoriale tra i due vettori u e v ha modulo coincidente con l’area del parallelogramma di spigoli definiti dai due vettori e avente entrambi il primo estremo in comune — Si osserva che non vale la proprietà associativa, infatti, ad esempio, − ˆ k = (î×ˆj)×ˆj = î×(ˆj×ˆj) = 0 A partire dall’operazione di prodotto vettoriale è possibile definire la operazione di divisione tra vettori: dati due vettori u e v ortogonali esiste almeno un vettore w tale che u×w = v. Infatti, introduciamo la terna ortonormale destra (î,ˆj, ˆ k) dove î e ˆ k sono scelti nel seguente modo î = u u e ˆk = v conseguenza dove v , e doveˆj viene determinato in modo tale che la terna î,ˆj e ˆ k sia destra:ˆj = ˆ k×î = v×u uv per ogni h ∈ R. 1.1.5 Prodotto misto v = v ˆ k = vî×ˆj = v u u × w = v×u +hu u2 v×u = u×w uv Definizione 1.4. Dati tre vettori u, v e w si definisce prodotto misto tra i tre vettori la grandezza scalare u×v·w dove le operazioni da eseguire sono, nell’ordine, il prodotto vettoriale e poi il prodotto scalare. È immediato osservare che il prodotto scalare soddisfa alle seguenti proprietà — il prodotto misto coincide con il volume, con segno, del parallelepipedo di spigoli u, v e w. Il volume viene preso con segno positivo se la terna dei tre vettori u, v e w è destra, altrimenti viene preso con segno negativo — una rotazione dei tre vettori mantiene lo stesso carattere; quindi il prodotto misto soddisfa alla seguente propreità u×v·w = v×w·u = w×u·v . Di
1.1 Operazioni sui vettori 5 Fig. 1.5. Il prodotto misto tra tre vettori u, v e w é uguale al volume, preso con segno opportuno, del parallelepipedo di spigoli u, v e w. — ilprodottomistoènullose,esolose,almenounvettoreènullooppureitrevettorisonocomplanari: u×v·w = 0 ⇕ (u = 0) ∨ (v = 0) ∨ (w = 0) ∨ (u, v, w sono complanari) — se ux,uy,uz, vx,vy,vz e wx,wy,wz sono le componenti dei tre vettori u, v e w rispetto ad una base assegnata allora il prodotto misto si può calcolare come ux uy uz u×v·w = vx vy vz 1.1.6 Derivata di vettori Consideriamo una funzione a valori vettoriali u : R → V wx wy wz che ad ogni valore della variabile indipendente t ∈ R associa un vettore u(t) ∈ R. Assegnare la funzione u(t) equivale, dato un sistema di riferimento fisso, ad assegnare le tre funzioni scalari ux(t), uy(t) e uz(t) tali che u(t) = ux(t)î+uy(t)ˆj+uz(t) ˆ k. Identificando poi il vettore u con il punto P tale che u = P −O, allora il vettore u(t) dipendente dalla variabile t si identifica con il punto P(t) individuato dalle coordinate x(t), y(t) e z(t) tali che
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