Note del corso di Fisica Matematica A

102 4 Statica
Teorema 4.23. La forza centrifuga ha carattere di forza conservativa; il suo potenziale unitario vale
1
2 mω2 |PQ| 2 .
Dimostrazione. La dimostrazione segue dal fatto che il vettore Fτ ha componenti date da
Fτ,x ′ = mω2x ′ , Fτ,y ′ = mω2y ′ , Fτ,z ′ = 0
dove abbiamo scelto, per comodità, un sistema di riferimento (O ′ ;x ′ ,y ′ ,z ′ ) con (O ′ ;z ′ ) coincidente
con l’asse di rotazione e dove m denota la massa del punto P. Quindi, per ispezione diretta, segue
che Fτ = ∇U dove
Inoltre si trova che:
U = 1
2 mω2 |PQ| 2 = 1
2 mω2 [(x ′ ) 2 +(y ′ ) 2 ].
Teorema 4.24. La forza centrifuga per un corpo rigido ha potenziale dato da 1
2 Irω 2 dove Ir è il
momento di inerzia rispetto all’asse di rotazione.
Dimostrazione. Se consideriamo il corpo rigido costituito da un sistema di punti Ps di massa ms
allora sia Us = 1
2 msω 2 r 2 s il potenziale della forza centrifuga sul punto Ps distante rs dall’asse di
rotazione. Quindi
4.5.3 Peso e attrazione terrestre
N N 1
U = Us =
s=1 s=1 2 msω 2 r 2 s = 1
2 ω2
N
s=1
msr 2 s = 1
2 Irω 2 .
Definizione 4.25. Definiamo peso di un punto pesante P in prossimità della superficie della terra
la forza che occorre vincere per impedirne la caduta; cioé per mantenerlo in equilibrio relativo rispetto
alla terra.
Per l’enorme distanza é lecito, in prima approssimazione, trascurare le attrazioni dei vari corpi
celestiinconfrontoall’attrazioneterrestreG(cherisultadirettaversoilcentrodellaterra,assumendo
che la terra sia perfettamente sferica ed omogenea, e di intensitá f nM
R2 dove m é la massa di P, M la
massa della terra ed R il raggio della terra). Così quest’ultima è sensibilmente la sola forza agente
su P. Sarebbe quindi necessario e sufficiente bilanciare G per mantenerlo in equilibrio assoluto.
Se si vuole invece studiare l’equilibrio relativo rispetto ad assi solidali con il nostro globo, si sarà
condotti ad associare a G la forza di trascinamento Fτ, proveniente dal moto di questi assi (rispetto
alle stelle fisse). In ultima analisi la concezione Newtoniana porta ad identificare il peso
(forza da vincere per l’equilibrio relativo del generico P) con la somma G+Fτ della attrazione
terrestre e della forza di trascinamento.
Specificazione di Fτ
Il movimento della Terra si intenderà composto di una rotazione uniforme intorno all’asse polare
(rotazione diurna) e di una traslazione di insieme, per cui (conformemente alle leggi di Keplero) la
Terra descrive, in un anno, un’ellisse attorno al sole, come fuoco. La forza di trascinamento Fτ
risulterà di conseguenza dalla somma di due addendi: l’uno Fτ,1 dovuto alla rotazione, l’altro Fτ,2