Note del corso di Fisica Matematica A

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100 4 Statica Esempio: solido pesante con un punto fisso O Notiamo che le forze interne e le reazioni in O non compiono alcun lavoro in uno spostamento che mantenga O fisso. Ciò è evidente per le reazioni vincolari, in quanto applicate in O; quanto alle forze interne, esse equivalgono a zero e, come dimostreremo, questa equivalenza a zero di un sistema di forze basta nel caso dei solidi perché sia nullo il lavoro da esse compiuto. Qui ammettiamolo ed osserviamo che, se per il nostro solido fissato in O, le forze attive si riducono al peso, dovrà la sua linea di azione passare per O in corrispondenza ad una configurazione di equilibrio, cioé nella posizione di equilibrio, il baricentro G dovrà trovarsi sulla verticale del punto fisso O. Distinguiamo tre casi: i. G coincide con O; in questo caso, per ogni spostamento del solido compatibile con i vincoli, anche il baricentro G rimane fisso, e quindi il peso fa lavoro nullo. Si tratta, di conseguenza, di un equilibrio indifferente. ii. G sta sotto O; in questo caso, comunque si muova il corpo, il baricentro G si eleva (escludiamo il caso di rotazioni attorno all’asse OG). Ne consegue che, a partire dalla configurazione di equilibrio fino ad una generica posizione, il peso del corpo fa un lavoro negativo. L’equilibrio è dunque stabile. iii.G sta sopra O; in modo analogo al caso ii. si prova che l’equilibrio è instabile. 4.5 Statica relativa 4.5.1 Nozione di equilibrio relativo Consideriamo un sistema di riferimento (O ′ ;x ′ ,y ′ ,z ′ ), animato da un moto comunque assegnato rispetto ad un osservatore (O;x,y,z), e proponiamoci di trovare le condizioni cui debbono sottostare le forze direttamente applicate ad un sistema materiale affinché esso, malgrado la sollecitazione, rimanga in quiete rispetto alla terna (O ′ ;x ′ ,y ′ ,z ′ ). È questo che si chiama equilibrio relativo, attribuendo, in caso di ambiguità, la qualifica di equilibrio assoluto a quello di cui ci siamo occupati finora. Equilibrio relativo per un punto libero Nel caso di un unico punto materiale la condizione di equilibrio relativo sarà data da vr ≡ 0 e, di conseguenza, ar ≡ 0 e ac ≡ 0, dove vr denota la velocità relativa e ar e ac, rispettivamente, l’accelerazione relativa e l’accelerazione di Coriolis. Sia F la risultante di tutte le forze che sollecitano P misurate rispetto all’osservatore (O;x,y,z), dal teorema del Coriolis e dalla legge fondamentale del moto (assoluto), avremo che se il punto P è in equilibrio relativo allora deve essere: F−maτ = 0. (4.31) È questa la condizione cui deve necessariamente soddisfare la forza F, quando il punto si trova in equilibrio relativo. Essa è anche sufficiente; cioé se la (4.31) è verificata per un dato P0, e se il punto P è all’istante t = t0 in quiete in P0 rispetto all’osservatore relativo allora l’equilibrio sussiste. Infatti, la forza F ′ misurata dall’osservatore (O ′ ;x ′ ,y ′ ,z ′ ) è data da F ′ = F−maτ(P)−mac(P).
4.5 Statica relativa 101 In virtù della (4.31) la funzione P = P(t) ≡ P0 è tale da annullare identicamente la F ′ e quindi è una soluzione della equazione differenziale mar = F ′ che soddisfa alle condizioni iniziali. Segue che la (4.31) è dunque condizione necessaria e sufficiente perché il punto P sia in equilibrio relativo rispetto alla terna (O ′ ;x ′ ,y ′ ,z ′ ). La (4.31) può interpretarsi come la condizione di equilibrio assoluto per un punto materiale sollecitato, oltre che dalla forza F (effettivamente applicata) anche da una forza addizionale Fτ = −maτ. Questa forza fittizia si suole chiamare forza di trascinamento. Da ciò: tutte le questioni di equilibrio relativo del punto si discutono come se si trattasse di equilibrio assoluto, avendo però cura di annoverare tra le forze esterne direttamente applicate anche la forza di trascinamento. Equilibrio relativo per un sistema meccanico qualunque LaregoladiStaticarelativa, soprastabilitanelcasodelpunto,siestendeasistemimaterialidinatura qualsiasi e risulta senz’altro applicabile a tutti quei casi (solidi liberi, vincolati, ecc.) per i quali già si conoscono le condizioni di equilibrio assoluto. Per giustificare questa asserzione basta, se si tratta di vincoli privi di attrito, invocare il principio dei lavori virtuali, cioé la relazione δρ = φs ·δPs ≥ 0 e notare che, nel caso dell’equilibrio relativo ogni reazione φs è precisamente uguale a s φs = −[ forza attiva + forza di trascinamento ]. Si arriva quindi allo stesso enunciato della condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio assoluto con la sola avvertenza che, nel caso dell’equilibrio relativo, vanno annoverate fra le forze attive anche quelle di trascinamento. 4.5.2 Casi particolari notevoli Traslazioni Gli assi di riferimento (O ′ ;x ′ ,y ′ ,z ′ ) sono animati da un moto traslatorio. Denotando con aO ′ l’accelerazione dell’origine O ′ del sistema (O ′ ;x ′ ,y ′ ,z ′ ) avremo così la forza di trascinamento Fτ = −maO ′. In particolare: una traslazione uniforme (aO ′ = 0) non ha alcuna influenza sulle condizioni statiche: esse sono identiche a quelle valide per l’equilibrio assoluto. Rotazioni uniformi Gliassidiriferimentosonoanimatidaunmoto rotatorio uniforme. Essendoω lavelocitàangolare (costante) e Q la proiezione sull’asse di rotazione del generico punto P che si considera, sappiamo che: aτ = ω 2 (Q−P), da ciò Fτ = mω 2 (P −Q). (4.32) A questa forza di trascinamento si dà il nome di forza centrifuga. Si prova che:
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