Note del corso di Fisica Matematica A

100 4 Statica
Esempio: solido pesante con un punto fisso O
Notiamo che le forze interne e le reazioni in O non compiono alcun lavoro in uno spostamento che
mantenga O fisso. Ciò è evidente per le reazioni vincolari, in quanto applicate in O; quanto alle
forze interne, esse equivalgono a zero e, come dimostreremo, questa equivalenza a zero di un
sistema di forze basta nel caso dei solidi perché sia nullo il lavoro da esse compiuto.
Qui ammettiamolo ed osserviamo che, se per il nostro solido fissato in O, le forze attive si riducono
al peso, dovrà la sua linea di azione passare per O in corrispondenza ad una configurazione di
equilibrio, cioé nella posizione di equilibrio, il baricentro G dovrà trovarsi sulla verticale del punto
fisso O. Distinguiamo tre casi:
i. G coincide con O; in questo caso, per ogni spostamento del solido compatibile con i vincoli, anche
il baricentro G rimane fisso, e quindi il peso fa lavoro nullo. Si tratta, di conseguenza, di un
equilibrio indifferente.
ii. G sta sotto O; in questo caso, comunque si muova il corpo, il baricentro G si eleva (escludiamo
il caso di rotazioni attorno all’asse OG). Ne consegue che, a partire dalla configurazione di
equilibrio fino ad una generica posizione, il peso del corpo fa un lavoro negativo. L’equilibrio è
dunque stabile.
iii.G sta sopra O; in modo analogo al caso ii. si prova che l’equilibrio è instabile.
4.5 Statica relativa
4.5.1 Nozione di equilibrio relativo
Consideriamo un sistema di riferimento (O ′ ;x ′ ,y ′ ,z ′ ), animato da un moto comunque assegnato
rispetto ad un osservatore (O;x,y,z), e proponiamoci di trovare le condizioni cui debbono sottostare
le forze direttamente applicate ad un sistema materiale affinché esso, malgrado la sollecitazione,
rimanga in quiete rispetto alla terna (O ′ ;x ′ ,y ′ ,z ′ ). È questo che si chiama equilibrio relativo,
attribuendo, in caso di ambiguità, la qualifica di equilibrio assoluto a quello di cui ci siamo occupati
finora.
Equilibrio relativo per un punto libero
Nel caso di un unico punto materiale la condizione di equilibrio relativo sarà data da vr ≡ 0 e,
di conseguenza, ar ≡ 0 e ac ≡ 0, dove vr denota la velocità relativa e ar e ac, rispettivamente,
l’accelerazione relativa e l’accelerazione di Coriolis. Sia F la risultante di tutte le forze che sollecitano
P misurate rispetto all’osservatore (O;x,y,z), dal teorema del Coriolis e dalla legge fondamentale
del moto (assoluto), avremo che se il punto P è in equilibrio relativo allora deve essere:
F−maτ = 0. (4.31)
È questa la condizione cui deve necessariamente soddisfare la forza F, quando il punto si trova
in equilibrio relativo. Essa è anche sufficiente; cioé se la (4.31) è verificata per un dato P0, e se il
punto P è all’istante t = t0 in quiete in P0 rispetto all’osservatore relativo allora l’equilibrio sussiste.
Infatti, la forza F ′ misurata dall’osservatore (O ′ ;x ′ ,y ′ ,z ′ ) è data da
F ′ = F−maτ(P)−mac(P).