Note del corso di Fisica Matematica A
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4.4 Nozione <strong>di</strong> stabilità <strong>del</strong>l’equilibrio 99<br />
Definizione 4.22. Considerato un qualunque spostamento, compatibile con i vincoli, che faccia<br />
passare il punto dalla posizione <strong>di</strong> equilibrio P0 ad un’altra posizione P, sia LP0P il lavoro totale<br />
effettuato dalle forze attive agenti sul punto durante lo spostamento. Se esiste un intorno <strong>del</strong>la<br />
posizione <strong>di</strong> equilibrio P0 tale che il lavoro LP0P, per qualsiasi spostamento in tale intorno<br />
compatibile con i vincoli, risulta negativo, l’equilibrio si <strong>di</strong>ce stabile. Se, in ogni intorno<br />
<strong>del</strong>la configurazione <strong>di</strong> equilibrio, esiste anche un solo spostamento per cui LP0P > 0 l’equilibrio si<br />
<strong>di</strong>ce instabile; mentre se è sempre LP0P = 0 l’equilibrio si <strong>di</strong>ce in<strong>di</strong>fferente.<br />
Queste definizioni, si noti, presuppongono la conoscenza <strong>di</strong> ogni forza F non solo in corrispondenza<br />
alla data posizione <strong>di</strong> equilibrio ma anche in ogni altra posizione compatibile con i vincoli. Per forze<br />
posizionali ciò è implicito; in caso <strong>di</strong>verso bisognerà rendersene conto preventivamente a norma <strong>del</strong>le<br />
speciali circostanze <strong>di</strong> fatto.<br />
È il caso, ad esempio, <strong>del</strong>le reazioni vincolari quando abbiamo vincoli<br />
non lisci; in questo caso si osserva comunque che la componente normale alla traiettoria <strong>del</strong>la reazione<br />
vincolare non compie lavoro e che la componente tangente, tipicamente dovuta all’attrito radente,<br />
favorisce l’equilibrio. In questi casi si ha che le configurazioni <strong>di</strong> equilibrio trovate stabili in assenza<br />
<strong>di</strong> attrito rimangono stabili quando teniamo conto anche <strong>del</strong>l’effetto degli attriti (non è in generale<br />
vero il viceversa).<br />
4.4.2 Punto libero sollecitato da forze conservativo<br />
Sia U(x,y,z) il potenziale <strong>del</strong>le forze attive, P0 una posizione <strong>di</strong> equilibrio ed P un’altra posizione<br />
qualsiasi vicino ad P0. La con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> stabilità si traduce nella seguente:<br />
LP0P = UP −UP0 < 0, (4.30)<br />
per ogni P appartenete ad un certo intorno <strong>di</strong> P0 (e non coincidente con P0). Ciò equivale a <strong>di</strong>re che<br />
il potenziale U deve ammettere un massimo relativo nella posizione P0. Reciprocamente: se<br />
U ha in P0 un massimo relativo allora a questa posizione corrisponde uno stato <strong>di</strong> equilibrio stabile.<br />
Anzitutto si ha equilibrio poiché la forza attiva F = ∇U si annulla in P0. L’equilibrio è poi stabile<br />
in virtù <strong>del</strong>la (4.30).<br />
4.4.3 Stabilità per un sistema meccanico<br />
È imme<strong>di</strong>ato estendere la definizione ed il criterio <strong>di</strong> stabilità ad un sistema meccanico a n gra<strong>di</strong> <strong>di</strong><br />
libertà e avente unaconfigurazione <strong>di</strong> equilibrio corrispondenteaC 0 = (q 0 1,...,q 0 n). La configurazione<br />
<strong>di</strong> equilibrio C 0 si <strong>di</strong>ce stabile se esiste un intorno U(C 0 ) tale che per ogni spostamento finito in<br />
U da C 0 ad un qualunque C ∈ U −{C0} il lavoro <strong>del</strong>le forze attive durante tale spostamento risulti<br />
negativo:<br />
N<br />
Ps(C)<br />
LC0C =<br />
s=1<br />
Ps(C0 dLs < 0.<br />
)<br />
Diversamente la configurazione si <strong>di</strong>ce instabile.<br />
Se le forze attive derivano da un potenziale U(q1,...,qn) allora segue che con<strong>di</strong>zione necessaria<br />
e sufficiente affinché C 0 sia stabile è che C 0 sia un massimo relativo per U.