Note del corso di Fisica Matematica A

4.4 Nozione di stabilità dell’equilibrio 99
Definizione 4.22. Considerato un qualunque spostamento, compatibile con i vincoli, che faccia
passare il punto dalla posizione di equilibrio P0 ad un’altra posizione P, sia LP0P il lavoro totale
effettuato dalle forze attive agenti sul punto durante lo spostamento. Se esiste un intorno della
posizione di equilibrio P0 tale che il lavoro LP0P, per qualsiasi spostamento in tale intorno
compatibile con i vincoli, risulta negativo, l’equilibrio si dice stabile. Se, in ogni intorno
della configurazione di equilibrio, esiste anche un solo spostamento per cui LP0P > 0 l’equilibrio si
dice instabile; mentre se è sempre LP0P = 0 l’equilibrio si dice indifferente.
Queste definizioni, si noti, presuppongono la conoscenza di ogni forza F non solo in corrispondenza
alla data posizione di equilibrio ma anche in ogni altra posizione compatibile con i vincoli. Per forze
posizionali ciò è implicito; in caso diverso bisognerà rendersene conto preventivamente a norma delle
speciali circostanze di fatto.
È il caso, ad esempio, delle reazioni vincolari quando abbiamo vincoli
non lisci; in questo caso si osserva comunque che la componente normale alla traiettoria della reazione
vincolare non compie lavoro e che la componente tangente, tipicamente dovuta all’attrito radente,
favorisce l’equilibrio. In questi casi si ha che le configurazioni di equilibrio trovate stabili in assenza
di attrito rimangono stabili quando teniamo conto anche dell’effetto degli attriti (non è in generale
vero il viceversa).
4.4.2 Punto libero sollecitato da forze conservativo
Sia U(x,y,z) il potenziale delle forze attive, P0 una posizione di equilibrio ed P un’altra posizione
qualsiasi vicino ad P0. La condizione di stabilità si traduce nella seguente:
LP0P = UP −UP0 < 0, (4.30)
per ogni P appartenete ad un certo intorno di P0 (e non coincidente con P0). Ciò equivale a dire che
il potenziale U deve ammettere un massimo relativo nella posizione P0. Reciprocamente: se
U ha in P0 un massimo relativo allora a questa posizione corrisponde uno stato di equilibrio stabile.
Anzitutto si ha equilibrio poiché la forza attiva F = ∇U si annulla in P0. L’equilibrio è poi stabile
in virtù della (4.30).
4.4.3 Stabilità per un sistema meccanico
È immediato estendere la definizione ed il criterio di stabilità ad un sistema meccanico a n gradi di
libertà e avente unaconfigurazione di equilibrio corrispondenteaC 0 = (q 0 1,...,q 0 n). La configurazione
di equilibrio C 0 si dice stabile se esiste un intorno U(C 0 ) tale che per ogni spostamento finito in
U da C 0 ad un qualunque C ∈ U −{C0} il lavoro delle forze attive durante tale spostamento risulti
negativo:
N
Ps(C)
LC0C =
s=1
Ps(C0 dLs < 0.
)
Diversamente la configurazione si dice instabile.
Se le forze attive derivano da un potenziale U(q1,...,qn) allora segue che condizione necessaria
e sufficiente affinché C 0 sia stabile è che C 0 sia un massimo relativo per U.