Note del corso di Fisica Matematica A

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98 4 Statica in condizioni statiche, dell’azione esercitata sui singoli punti Ps dal vincolo soppresso B1 = 0 e forniscono, perciò, le reazioni provenienti da questo vincolo, astrazione fatta dai rimanenti. Avendo riconosciuto ai vettori λkaks il carattere di reazioni esercitate sul generico punto Ps dai singoli legami, Bk = 0 rispettivamente, possiamo dare una interpretazione significativa della forma parametrica (4.26) delle condizioni di equilibrio. Scritte sotto la forma r Fs = − λkaks k=1 (4.29) esse ci dicono che per l’equilibrio di un sistema comunque vincolato (a vincoli privi di attrito) è necessario e sufficiente che le forze direttamente applicate si possano, punto per punto, equilibrare con reazioni, quali i vincoli sono atti ad offrire. Calcolo effettivo delle reazioni provenienti dai singoli vincoli Poiché i vettori aks sono supposti noti, il calcolo delle reazioni λkaks, che nei vari punti Ps provengono daundeterminatovincolo(Bk = 0)siriducealladeterminazionedelcorrispondentemoltiplicatoreλk. Consideriamo ora il sistema S1 che si ottiene dal dato sopprimendo il vincolo B1 = 0 e annoverando tra le forze attive, oltre le Fs, le reazioni λ1a1,s provenienti del vincolo soppresso. Per un tale sistema gli spostamenti virtuali reversibili (a partire da una configurazione di equilibrio) sono definiti dalle Bk = 0, k = 2,3,...,r quindi il più generale spostamento δPs è uno spostamento virtuale reversibile di S con la condizione di non essere compatibile con il vincolo soppresso. Ora, applicando al sistema S1 l’equazione simbolica della Statica, con riguardo ad un tale spostamento δPs e sotto la sollecitazione attiva Fs +λ1a1s, otteniamo l’equazione N (Fs +λ1a1s)·δPs = 0, s=1 considerando spostamenti virtuali δPs a partire dalle configurazioni di equilibrio (supposte già determinate in precedenza) non compatibili con il vincolo soppresso (cioé tali che B1 = 0), si perviene alla determinazione di λ1. Abbiamo quindi provato che: per determinare, in date condizioni di sollecitazione, le reazioni provenienti da un dato vincolo si aggiunge alla sollecitazione attiva le corrispondenti reazioni e si applica l’equazione simbolica della Statica per un qualsiasi spostamento virtuale del nuovo sistema che sia incompatibile con il vincolo soppresso. 4.4 Nozione di stabilità dell’equilibrio 4.4.1 Stabilità per un punto È intuitivo ritenere stabile uno stato di equilibrio per un punto se, quando lo si perturbi (spostando il punto, o il sistema, dalla posizione di equilibrio verso un’altra vicina, pur essa compatibile con i vincoli) le forze tendono a riportare il punto (o il sistema) alla sua posizione di equilibrio. In termini del lavoro compiuto da tali forze nasce la seguente definizione precisa di stabilità dell’equilibrio per un punto:
4.4 Nozione di stabilità dell’equilibrio 99 Definizione 4.22. Considerato un qualunque spostamento, compatibile con i vincoli, che faccia passare il punto dalla posizione di equilibrio P0 ad un’altra posizione P, sia LP0P il lavoro totale effettuato dalle forze attive agenti sul punto durante lo spostamento. Se esiste un intorno della posizione di equilibrio P0 tale che il lavoro LP0P, per qualsiasi spostamento in tale intorno compatibile con i vincoli, risulta negativo, l’equilibrio si dice stabile. Se, in ogni intorno della configurazione di equilibrio, esiste anche un solo spostamento per cui LP0P > 0 l’equilibrio si dice instabile; mentre se è sempre LP0P = 0 l’equilibrio si dice indifferente. Queste definizioni, si noti, presuppongono la conoscenza di ogni forza F non solo in corrispondenza alla data posizione di equilibrio ma anche in ogni altra posizione compatibile con i vincoli. Per forze posizionali ciò è implicito; in caso diverso bisognerà rendersene conto preventivamente a norma delle speciali circostanze di fatto. È il caso, ad esempio, delle reazioni vincolari quando abbiamo vincoli non lisci; in questo caso si osserva comunque che la componente normale alla traiettoria della reazione vincolare non compie lavoro e che la componente tangente, tipicamente dovuta all’attrito radente, favorisce l’equilibrio. In questi casi si ha che le configurazioni di equilibrio trovate stabili in assenza di attrito rimangono stabili quando teniamo conto anche dell’effetto degli attriti (non è in generale vero il viceversa). 4.4.2 Punto libero sollecitato da forze conservativo Sia U(x,y,z) il potenziale delle forze attive, P0 una posizione di equilibrio ed P un’altra posizione qualsiasi vicino ad P0. La condizione di stabilità si traduce nella seguente: LP0P = UP −UP0 < 0, (4.30) per ogni P appartenete ad un certo intorno di P0 (e non coincidente con P0). Ciò equivale a dire che il potenziale U deve ammettere un massimo relativo nella posizione P0. Reciprocamente: se U ha in P0 un massimo relativo allora a questa posizione corrisponde uno stato di equilibrio stabile. Anzitutto si ha equilibrio poiché la forza attiva F = ∇U si annulla in P0. L’equilibrio è poi stabile in virtù della (4.30). 4.4.3 Stabilità per un sistema meccanico È immediato estendere la definizione ed il criterio di stabilità ad un sistema meccanico a n gradi di libertà e avente unaconfigurazione di equilibrio corrispondenteaC 0 = (q 0 1,...,q 0 n). La configurazione di equilibrio C 0 si dice stabile se esiste un intorno U(C 0 ) tale che per ogni spostamento finito in U da C 0 ad un qualunque C ∈ U −{C0} il lavoro delle forze attive durante tale spostamento risulti negativo: N Ps(C) LC0C = s=1 Ps(C0 dLs < 0. ) Diversamente la configurazione si dice instabile. Se le forze attive derivano da un potenziale U(q1,...,qn) allora segue che condizione necessaria e sufficiente affinché C 0 sia stabile è che C 0 sia un massimo relativo per U.
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Fisica Matematica A 1 Marzo, 2013
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