Note del corso di Fisica Matematica A
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98 4 Statica<br />
in con<strong>di</strong>zioni statiche, <strong>del</strong>l’azione esercitata sui singoli punti Ps dal vincolo soppresso B1 = 0 e<br />
forniscono, perciò, le reazioni provenienti da questo vincolo, astrazione fatta dai rimanenti.<br />
Avendo riconosciuto ai vettori λkaks il carattere <strong>di</strong> reazioni esercitate sul generico punto Ps dai<br />
singoli legami, Bk = 0 rispettivamente, possiamo dare una interpretazione significativa <strong>del</strong>la forma<br />
parametrica (4.26) <strong>del</strong>le con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> equilibrio. Scritte sotto la forma<br />
r<br />
Fs = − λkaks<br />
k=1<br />
(4.29)<br />
esse ci <strong>di</strong>cono che per l’equilibrio <strong>di</strong> un sistema comunque vincolato (a vincoli privi <strong>di</strong><br />
attrito) è necessario e sufficiente che le forze <strong>di</strong>rettamente applicate si possano, punto<br />
per punto, equilibrare con reazioni, quali i vincoli sono atti ad offrire.<br />
Calcolo effettivo <strong>del</strong>le reazioni provenienti dai singoli vincoli<br />
Poiché i vettori aks sono supposti noti, il calcolo <strong>del</strong>le reazioni λkaks, che nei vari punti Ps provengono<br />
daundeterminatovincolo(Bk = 0)siriducealladeterminazione<strong>del</strong>corrispondentemoltiplicatoreλk.<br />
Consideriamo ora il sistema S1 che si ottiene dal dato sopprimendo il vincolo B1 = 0 e annoverando<br />
tra le forze attive, oltre le Fs, le reazioni λ1a1,s provenienti <strong>del</strong> vincolo soppresso. Per un tale sistema<br />
gli spostamenti virtuali reversibili (a partire da una configurazione <strong>di</strong> equilibrio) sono definiti dalle<br />
Bk = 0, k = 2,3,...,r<br />
quin<strong>di</strong> il più generale spostamento δPs è uno spostamento virtuale reversibile <strong>di</strong> S con la con<strong>di</strong>zione<br />
<strong>di</strong> non essere compatibile con il vincolo soppresso.<br />
Ora, applicando al sistema S1 l’equazione simbolica <strong>del</strong>la Statica, con riguardo ad un tale spostamento<br />
δPs e sotto la sollecitazione attiva Fs +λ1a1s, otteniamo l’equazione<br />
N<br />
(Fs +λ1a1s)·δPs = 0,<br />
s=1<br />
considerando spostamenti virtuali δPs a partire dalle configurazioni <strong>di</strong> equilibrio (supposte già determinate<br />
in precedenza) non compatibili con il vincolo soppresso (cioé tali che B1 = 0), si perviene<br />
alla determinazione <strong>di</strong> λ1.<br />
Abbiamo quin<strong>di</strong> provato che: per determinare, in date con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> sollecitazione, le<br />
reazioni provenienti da un dato vincolo si aggiunge alla sollecitazione attiva le corrispondenti<br />
reazioni e si applica l’equazione simbolica <strong>del</strong>la Statica per un qualsiasi<br />
spostamento virtuale <strong>del</strong> nuovo sistema che sia incompatibile con il vincolo soppresso.<br />
4.4 Nozione <strong>di</strong> stabilità <strong>del</strong>l’equilibrio<br />
4.4.1 Stabilità per un punto<br />
È intuitivo ritenere stabile uno stato <strong>di</strong> equilibrio per un punto se, quando lo si perturbi (spostando<br />
il punto, o il sistema, dalla posizione <strong>di</strong> equilibrio verso un’altra vicina, pur essa compatibile<br />
con i vincoli) le forze tendono a riportare il punto (o il sistema) alla sua posizione <strong>di</strong><br />
equilibrio. In termini <strong>del</strong> lavoro compiuto da tali forze nasce la seguente definizione precisa <strong>di</strong><br />
stabilità <strong>del</strong>l’equilibrio per un punto: