Note del corso di Fisica Matematica A
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4.3.5 Esempi<br />
Punto P vincolato a muoversi su <strong>di</strong> una superficie priva <strong>di</strong> attrito<br />
4.3 Principio dei lavori virtuali e statica generale 97<br />
Siaf(x,y,z;t) = 0l’equazione<strong>del</strong>lasuperficie. Glispostamentivirtualisonocaratterizzatidall’unica<br />
con<strong>di</strong>zione<br />
∂f<br />
∂x<br />
δx+ ∂f<br />
∂y<br />
∂f<br />
δy + δz = 0.<br />
∂z<br />
Quin<strong>di</strong> si tratta <strong>di</strong> una sola equazione <strong>del</strong> tipo B e, quin<strong>di</strong>, avremo un solo vettore a, definito dalle<br />
componenti ∂f ∂f ∂f<br />
, , . Perciò la con<strong>di</strong>zione parametrica <strong>del</strong>l’equilibrio, se F è la forza attiva totale,<br />
∂x ∂y ∂z<br />
sarà espressa sotto forma vettoriale<br />
F = −λa, λ ∈ R.<br />
Punto P vincolato a restare su <strong>di</strong> una curva priva <strong>di</strong> attrito<br />
La curva ha equazione<br />
f1(x,y,z;t) = 0, f2(x,y,z;t) = 0<br />
avremo due equazioni <strong>del</strong> tipo B e, quin<strong>di</strong>, due vettori a e due moltiplicatori λ. Le con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong><br />
equilibrio saranno date da<br />
4.3.6 Calcolo <strong>del</strong>le reazioni<br />
∂f1<br />
Fx = −λ1<br />
∂x −λ2<br />
∂f2<br />
∂x , Fy<br />
∂f1<br />
= −λ1<br />
∂y −λ2<br />
∂f2<br />
∂y , Fz<br />
∂f1<br />
= −λ1<br />
∂z −λ2<br />
∂f2<br />
∂z .<br />
Riferiamoci esclusivamente al caso in cui per ogni sollecitazione atta a mantenere in quiete il sistema,<br />
i moltiplicatori λk risultano univocamente in<strong>di</strong>viduati. Sappiamo che in questa ipotesi la rappresentazione<br />
parametrica <strong>del</strong>le forze attive (4.26) è equivalente alla relazione simbolica <strong>del</strong>la Statica.<br />
Introducendo le reazioni complessive phis = −Fs provenienti sui singoli punti Ps dall’insieme degli<br />
r vincoli e tenendo conto <strong>del</strong>la (4.26), otteniamo per le reazioni le espressioni generali<br />
r<br />
φs = λkaks<br />
k=1<br />
(4.27)<br />
chemettonoinluce,perognisingolareazione,unadecomposizionenellasomma<strong>di</strong>r componenti. Fissando<br />
l’attenzione, ad esempio, sul vincolo bilaterale B1 = 0 notiamo che le con<strong>di</strong>zioni parametriche<br />
d’equilibrio (4.26) <strong>del</strong> nostro sistema si possono anche scrivere<br />
r<br />
Fs +λ1a1s = −<br />
k=2<br />
λkaks. (4.28)<br />
Le equazioni (4.28) si possono interpretare come le con<strong>di</strong>zioni parametriche <strong>del</strong>l’equilibrio <strong>di</strong> un<br />
sistema sistema S1, soggetto a tutti i vincoli <strong>di</strong> S, tolto B1 = 0, e sollecitato, anziché dalle Fs, dalle<br />
forze attive Fs + λa1s. In tal modo le N forze ad<strong>di</strong>zionali λ1a1s, si presentano come l’equivalente,