Note del corso di Fisica Matematica A

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96 4 Statica e verifichiamo poi, dalle (4.24) e (4.25), a che condizioni devono sottostare le costanti λk. Il lavoro complessivo δL di queste forze Fs, per un qualsiasi spostamento δPs, si può esprimere come: r δL = − λkBk; k=1 quindi si conclude che, per tutti gli spostamenti virtuali del sistema S, caratterizzati dalle (4.24), le Fs definite dalle (4.26) soddisfano veramente alla condizione di equilibrio (4.25), comunque si siano scelte le λk. I coefficienti arbitrari λk si chiamano moltiplicatori di Lagrange. Si dimostra che: Teorema 4.21. Si ha che: i. Nelle espressioni (4.26) i moltiplicatori λk sono essenziali, nel senso che al variare di essi varia anche la corrispondente sollecitazione equilibrante. ii. Le (4.26) forniscono la più generale sollecitazione atta a mantenere in equilibrio il sistema S per una opportuna scelta dei moltiplicatori λk. Dimostrazione. La proprietà i. segue immediatamente dal fatto che si sono supposte le equazioni Bk = 0 indipendenti tra loro (ed in numero complessivo minore o uguale a 3N) Dimostriamo la proprietà ii.. Le equazioni Bk = 0 indipendenti tra loro ammettono ℓ = 3N−r soluzioni linearmente indipendenti in modo che i possibili spostamenti virtuali soddisfacenti a queste hanno forma del tipo ℓ δPs = νjτ j=1 s j, s = 1,...,N, dove i vettori τs j sono tra loro linearmente indipendenti e i coefficienti νj sono completamente arbitrari. La più generale sollecitazione che lascia in quiete il sistema dovrà quindi essere tale che N ℓ N 0 = δL = Fs ·δPs = s=1 νj j=1 e quindi, per la arbitrarietà dei coefficienti νj, sarà tale che Fs ·τ s=1 s j N Fs ·τ s j = 0, j = 1,...,ℓ. s=1 Le sollecitazioni che soddisfano a questo sistema sono del tipo (4.26). Infatti l’insieme di soluzioni del sistema Bk = 0 è uno spazio vettoriale V di dimensione ℓ = 3N−r avente i vettori τj = (τ 1 j,...,τ N j ) come base. Inoltre i vettori di tale spazio sono ortogonali tanto ai vettori ak = (ak1,...,akN) e (che formano una base di uno spazio di dimensione r) quanto ai vettori costruiti dalle forze attive (F1,...,FN) che soddisfano alla condizione δL = 0; quindi il vettore (F1,...,FN) deve appartenere allo spazio vettoriale generato dalla base costituita dai vettori ak = (ak1,...,akN). La dimostrazione è così completata. Questa conclusione ci pone in grado di riconoscere se una sollecitazione data a priori sia equilibrante o no per il nostro sistema: basta verificare se essa rientri nelle (4.26) per una opportuna scelta dei moltiplicatori λk. Dalle osservazioni precedenti si consegue che, in tal caso, questi moltiplicatori risultano determinati univocamente. Le (4.26) forniscono in ultima analisi la risoluzione parametrica della relazione (4.25) subordinatamente alle (4.24); tenendo conto dell’osservazione fatta che esse costituiscono le condizioni di equilibrio di S sotto forma parametrica.
4.3.5 Esempi Punto P vincolato a muoversi su di una superficie priva di attrito 4.3 Principio dei lavori virtuali e statica generale 97 Siaf(x,y,z;t) = 0l’equazionedellasuperficie. Glispostamentivirtualisonocaratterizzatidall’unica condizione ∂f ∂x δx+ ∂f ∂y ∂f δy + δz = 0. ∂z Quindi si tratta di una sola equazione del tipo B e, quindi, avremo un solo vettore a, definito dalle componenti ∂f ∂f ∂f , , . Perciò la condizione parametrica dell’equilibrio, se F è la forza attiva totale, ∂x ∂y ∂z sarà espressa sotto forma vettoriale F = −λa, λ ∈ R. Punto P vincolato a restare su di una curva priva di attrito La curva ha equazione f1(x,y,z;t) = 0, f2(x,y,z;t) = 0 avremo due equazioni del tipo B e, quindi, due vettori a e due moltiplicatori λ. Le condizioni di equilibrio saranno date da 4.3.6 Calcolo delle reazioni ∂f1 Fx = −λ1 ∂x −λ2 ∂f2 ∂x , Fy ∂f1 = −λ1 ∂y −λ2 ∂f2 ∂y , Fz ∂f1 = −λ1 ∂z −λ2 ∂f2 ∂z . Riferiamoci esclusivamente al caso in cui per ogni sollecitazione atta a mantenere in quiete il sistema, i moltiplicatori λk risultano univocamente individuati. Sappiamo che in questa ipotesi la rappresentazione parametrica delle forze attive (4.26) è equivalente alla relazione simbolica della Statica. Introducendo le reazioni complessive phis = −Fs provenienti sui singoli punti Ps dall’insieme degli r vincoli e tenendo conto della (4.26), otteniamo per le reazioni le espressioni generali r φs = λkaks k=1 (4.27) chemettonoinluce,perognisingolareazione,unadecomposizionenellasommadir componenti. Fissando l’attenzione, ad esempio, sul vincolo bilaterale B1 = 0 notiamo che le condizioni parametriche d’equilibrio (4.26) del nostro sistema si possono anche scrivere r Fs +λ1a1s = − k=2 λkaks. (4.28) Le equazioni (4.28) si possono interpretare come le condizioni parametriche dell’equilibrio di un sistema sistema S1, soggetto a tutti i vincoli di S, tolto B1 = 0, e sollecitato, anziché dalle Fs, dalle forze attive Fs + λa1s. In tal modo le N forze addizionali λ1a1s, si presentano come l’equivalente,
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Fisica Matematica A 1 Marzo, 2013
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