Note del corso di Fisica Matematica A

96 4 Statica
e verifichiamo poi, dalle (4.24) e (4.25), a che condizioni devono sottostare le costanti λk. Il lavoro
complessivo δL di queste forze Fs, per un qualsiasi spostamento δPs, si può esprimere come:
r
δL = − λkBk;
k=1
quindi si conclude che, per tutti gli spostamenti virtuali del sistema S, caratterizzati dalle (4.24), le
Fs definite dalle (4.26) soddisfano veramente alla condizione di equilibrio (4.25), comunque si siano
scelte le λk. I coefficienti arbitrari λk si chiamano moltiplicatori di Lagrange.
Si dimostra che:
Teorema 4.21. Si ha che:
i. Nelle espressioni (4.26) i moltiplicatori λk sono essenziali, nel senso che al variare di essi varia
anche la corrispondente sollecitazione equilibrante.
ii. Le (4.26) forniscono la più generale sollecitazione atta a mantenere in equilibrio il sistema S per
una opportuna scelta dei moltiplicatori λk.
Dimostrazione. La proprietà i. segue immediatamente dal fatto che si sono supposte le equazioni
Bk = 0 indipendenti tra loro (ed in numero complessivo minore o uguale a 3N) Dimostriamo la
proprietà ii.. Le equazioni Bk = 0 indipendenti tra loro ammettono ℓ = 3N−r soluzioni linearmente
indipendenti in modo che i possibili spostamenti virtuali soddisfacenti a queste hanno forma del tipo
ℓ
δPs = νjτ
j=1
s j, s = 1,...,N,
dove i vettori τs j sono tra loro linearmente indipendenti e i coefficienti νj sono completamente arbitrari.
La più generale sollecitazione che lascia in quiete il sistema dovrà quindi essere tale che
N ℓ
N
0 = δL = Fs ·δPs =
s=1
νj
j=1
e quindi, per la arbitrarietà dei coefficienti νj, sarà tale che
Fs ·τ
s=1
s j
N
Fs ·τ s j = 0, j = 1,...,ℓ.
s=1
Le sollecitazioni che soddisfano a questo sistema sono del tipo (4.26). Infatti l’insieme di soluzioni del
sistema Bk = 0 è uno spazio vettoriale V di dimensione ℓ = 3N−r avente i vettori τj = (τ 1 j,...,τ N j )
come base. Inoltre i vettori di tale spazio sono ortogonali tanto ai vettori ak = (ak1,...,akN) e
(che formano una base di uno spazio di dimensione r) quanto ai vettori costruiti dalle forze attive
(F1,...,FN) che soddisfano alla condizione δL = 0; quindi il vettore (F1,...,FN) deve appartenere
allo spazio vettoriale generato dalla base costituita dai vettori ak = (ak1,...,akN). La dimostrazione
è così completata.
Questa conclusione ci pone in grado di riconoscere se una sollecitazione data a priori sia equilibrante
o no per il nostro sistema: basta verificare se essa rientri nelle (4.26) per una opportuna scelta
dei moltiplicatori λk. Dalle osservazioni precedenti si consegue che, in tal caso, questi moltiplicatori
risultano determinati univocamente. Le (4.26) forniscono in ultima analisi la risoluzione parametrica
della relazione (4.25) subordinatamente alle (4.24); tenendo conto dell’osservazione fatta
che esse costituiscono le condizioni di equilibrio di S sotto forma parametrica.