Note del corso di Fisica Matematica A

Quindi, si conclude
o equivalentemente
∂U
∂qh
N N ∂Us
= = ∇Us ·
s=1 ∂qh s=1
∂Ps
N
= Fs ·
∂qh s=1
∂Ps
∂qh
Q1 = ∂U
, ..., Qn =
∂q1
∂U
∂qn
N
Qhδqh = δU.
h=1
4.3 Principio dei lavori virtuali e statica generale 95
= Qh.
(4.23)
Possiamo estendere la definizione di forze conservative (intese come ”campi di forza”) a sistemi di
forzeneiqualisitengonocontoanchedeilegamipostidaivincoli;questiultimisidirannoconservativi
se la forma differenziale lineare n h=1Qhδqh è esatta, cioé si può esprimere come il differenziale
(virtuale) di una funzione data U detta potenziale.
Tutte le volte che le componenti lagrangiane Qh ammettono un potenziale, si desume dalle condizioni
di equilibrio (4.22) e dalle identità (4.23) che ad ogni punto di stazionarietà del potenziale
corrisponde per il sistema olonomo una configurazione di equilibrio. Sepoisiestende,
come vedremo nel seguito, all’equilibrio dei sistemi olonomi il criterio qualitativo di stabilità si
riconosce che anche per questi sistemi sono configurazioni di equilibrio stabile quelle cui
corrisponde per potenziale un valore massimo (relativo).
4.3.4 Complemento: metodo dei moltiplicatori di Lagrange e calcolo delle reazioni
Per metterci nelle condizioni di maggior generalità, consideriamo un sistema S di N punti Ps soggetti
solamente (per fissare le idee) a vincoli bilaterali, di posizione e di mobilità. Gli spostamenti virtuali
δPs del sistema, riferiti ad una terna di assi (O;x,y,z), sono caratterizzati da certe r equazioni,
corrispondenti ai vincoli (sia olonomi che anolonomi) bilaterali della forma:
Bk =
N
aks ·δPs = 0, k = 1,2,...,r, (4.24)
s=1
cui devono soddisfare le 3N variazioni δxs, δys e δzs e dove gli aks denotano rN vettori determinati
(puramente posizionali) di componenti ax ks,a y
ks ,azks. Assumeremo r ≤ 3N e che le equazioni Bk = 0 siano tra loro indipendenti.
Per l’equilibrio del sistema S, sollecitato dalle forze Fs applicate nei generici punti Ps, sarà necessario
e sufficiente che, per tutti gli spostamenti virtuali, a partire dalla configurazione di equilibrio,
soddisfacenti alle (4.24) le Fs soddisfano alla condizione
δL =
N
Fs ·δPs = 0. (4.25)
Assegniamo per le Fs delle espressioni che dipendono linearmente dalle aks:
s=1
r
Fs = − λkaks
k=1
(4.26)