Note del corso di Fisica Matematica A
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Quin<strong>di</strong>, si conclude<br />
o equivalentemente<br />
∂U<br />
∂qh<br />
N N ∂Us<br />
= = ∇Us ·<br />
s=1 ∂qh s=1<br />
∂Ps<br />
N<br />
= Fs ·<br />
∂qh s=1<br />
∂Ps<br />
∂qh<br />
Q1 = ∂U<br />
, ..., Qn =<br />
∂q1<br />
∂U<br />
∂qn<br />
N<br />
Qhδqh = δU.<br />
h=1<br />
4.3 Principio dei lavori virtuali e statica generale 95<br />
= Qh.<br />
(4.23)<br />
Possiamo estendere la definizione <strong>di</strong> forze conservative (intese come ”campi <strong>di</strong> forza”) a sistemi <strong>di</strong><br />
forzeneiqualisitengonocontoanchedeilegamipostidaivincoli;questiultimisi<strong>di</strong>rannoconservativi<br />
se la forma <strong>di</strong>fferenziale lineare n h=1Qhδqh è esatta, cioé si può esprimere come il <strong>di</strong>fferenziale<br />
(virtuale) <strong>di</strong> una funzione data U detta potenziale.<br />
Tutte le volte che le componenti lagrangiane Qh ammettono un potenziale, si desume dalle con<strong>di</strong>zioni<br />
<strong>di</strong> equilibrio (4.22) e dalle identità (4.23) che ad ogni punto <strong>di</strong> stazionarietà <strong>del</strong> potenziale<br />
corrisponde per il sistema olonomo una configurazione <strong>di</strong> equilibrio. Sepoisiestende,<br />
come vedremo nel seguito, all’equilibrio dei sistemi olonomi il criterio qualitativo <strong>di</strong> stabilità si<br />
riconosce che anche per questi sistemi sono configurazioni <strong>di</strong> equilibrio stabile quelle cui<br />
corrisponde per potenziale un valore massimo (relativo).<br />
4.3.4 Complemento: metodo dei moltiplicatori <strong>di</strong> Lagrange e calcolo <strong>del</strong>le reazioni<br />
Per metterci nelle con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> maggior generalità, consideriamo un sistema S <strong>di</strong> N punti Ps soggetti<br />
solamente (per fissare le idee) a vincoli bilaterali, <strong>di</strong> posizione e <strong>di</strong> mobilità. Gli spostamenti virtuali<br />
δPs <strong>del</strong> sistema, riferiti ad una terna <strong>di</strong> assi (O;x,y,z), sono caratterizzati da certe r equazioni,<br />
corrispondenti ai vincoli (sia olonomi che anolonomi) bilaterali <strong>del</strong>la forma:<br />
Bk =<br />
N<br />
aks ·δPs = 0, k = 1,2,...,r, (4.24)<br />
s=1<br />
cui devono sod<strong>di</strong>sfare le 3N variazioni δxs, δys e δzs e dove gli aks denotano rN vettori determinati<br />
(puramente posizionali) <strong>di</strong> componenti ax ks,a y<br />
ks ,azks. Assumeremo r ≤ 3N e che le equazioni Bk = 0 siano tra loro in<strong>di</strong>pendenti.<br />
Per l’equilibrio <strong>del</strong> sistema S, sollecitato dalle forze Fs applicate nei generici punti Ps, sarà necessario<br />
e sufficiente che, per tutti gli spostamenti virtuali, a partire dalla configurazione <strong>di</strong> equilibrio,<br />
sod<strong>di</strong>sfacenti alle (4.24) le Fs sod<strong>di</strong>sfano alla con<strong>di</strong>zione<br />
δL =<br />
N<br />
Fs ·δPs = 0. (4.25)<br />
Assegniamo per le Fs <strong>del</strong>le espressioni che <strong>di</strong>pendono linearmente dalle aks:<br />
s=1<br />
r<br />
Fs = − λkaks<br />
k=1<br />
(4.26)