Note del corso di Fisica Matematica A

94 4 Statica
δL =
N
Fs ·δPs = 0, (4.20)
s=1
dove, tenendo conto delle (4.19), assume la forma:
n
N
Qhδqh = 0 ponendo Qh = Fs ·
h=1
s=1
∂Ps
, h = 1,...,n. (4.21)
∂qh
Dalla (4.21), dovendo sussistere per ogni possibile scelta delle arbitrarie δqh, ne segue che in
condizioni statiche devono valere simultaneamente le n equazioni
Q1 = 0, Q2 = 0, ..., Qn = 0; (4.22)
e viceversa. Le quantità scalari Q1, Q2, ..., Qn si usano chiamare le componenti della sollecitazione
del dato sistema secondo le coordinate lagrangiane qh o anche forze generalizzate
di Lagrange.
Se si tiene conto delle (4.18) e delle espressioni che ne conseguono per le velocità dei vari punti
Ps:
n ∂Ps
vs = v(Ps) = qh ˙ +
h=1 ∂qh
∂Ps
, s = 1,2,...,N,
∂t
si riconosce che la sollecitazione è nota quando ciascuno dei vettori Fs è dato in funzione delle qh,
delle qh ˙ ed, eventualmente, del tempo; di conseguenza, in generale,
Qk = Qk(q1,...,qn, ˙q1,..., ˙qn,t), k = 1,2,...,n.
Ai fini dello studio del problema dell’equilibrio sarà naturale porre ˙qh = 0 e richiedere, inoltre, che
le forze non dipendano dal tempo in modo che le Q1, Q2,...,Qn dipendano solamente dalle qh.
Quindi, possiamo riassumere quanto detto nel seguente risultato.
Teorema 4.20. Le condizioni necessarie e sufficienti per l’equilibrio del sistema olonomo a vincoli
lisci e bilaterali considerato sono date dalle n equazioni (4.22).
Le condizioni di equilibrio (4.22) forniscono n equazioni fra le n coordinate lagrangiane qh, le quali
caratterizzano le configurazioni di equilibrio del sistema, analogamente a quanto accade nel caso di
un punto libero sollecitato da una forza posizionale, per le equazioni che si ottengono eguagliando a
zero le tre componenti cartesiane della forza attiva.
Se le forze (Ps,Fs), s = 1, ..., N, sono tutte conservative allora esistono N funzioni Us = Us(Ps)
tali che
Fs = ∇Us = ∂Us
xs
î+ ∂Us
ys
ˆj+ ∂Usˆk
zs
Se poniamo U = U(qh) = N s=1Us[Ps(qh)], poiché Ps = Ps(qh) (assumiamo, in Statica, di operare con
vincoli indipendenti dal tempo), allora la funzione U, determinata a meno di una costante additiva
arbitraria, si dice, come nel caso di una unica forza conservativa, potenziale della sollecitazione ed
è tale che