Note del corso di Fisica Matematica A
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4 1 Calcolo Vettoriale<br />
— anti-commutativa: u×v = −v×u<br />
— <strong>di</strong>stributiva: (u+v)×w = u×w+v×w<br />
— u×v = 0 ⇔ (u = 0) ∨ (v = 0) ∨ (u v)<br />
— î×î =ˆj׈j = ˆ k× ˆ k = 0 e î׈j = ˆ k,ˆj× ˆ k = î e ˆ k×î =ˆj<br />
— se ux,uy,uz e vx,vy,vz sono le componenti dei due vettori u e v rispetto ad una base assegnata<br />
allora il prodotto vettoriale si può calcolare come<br />
<br />
<br />
î ˆj<br />
<br />
u×v = <br />
<br />
<br />
ˆ <br />
k <br />
<br />
<br />
ux uy uz<br />
= (uyvz −uzvy)î+(uzvx −uxvz)ˆj+(uxvy −uyvx)<br />
<br />
<br />
ˆ k<br />
vx vy vz<br />
— il prodotto vettoriale tra i due vettori u e v ha modulo coincidente con l’area <strong>del</strong> parallelogramma<br />
<strong>di</strong> spigoli definiti dai due vettori e avente entrambi il primo estremo in comune<br />
— Si osserva che non vale la proprietà associativa, infatti, ad esempio,<br />
− ˆ k = (î׈j)׈j = î×(ˆj׈j) = 0<br />
A partire dall’operazione <strong>di</strong> prodotto vettoriale è possibile definire la operazione <strong>di</strong> <strong>di</strong>visione tra<br />
vettori: dati due vettori u e v ortogonali esiste almeno un vettore w tale che u×w = v. Infatti,<br />
introduciamo la terna ortonormale destra (î,ˆj, ˆ k) dove î e ˆ k sono scelti nel seguente modo î = u<br />
u e<br />
ˆk = v<br />
conseguenza<br />
dove<br />
v , e doveˆj viene determinato in modo tale che la terna î,ˆj e ˆ k sia destra:ˆj = ˆ k×î = v×u<br />
uv<br />
per ogni h ∈ R.<br />
1.1.5 Prodotto misto<br />
v = v ˆ k = vî׈j = v u<br />
u ×<br />
w = v×u<br />
+hu<br />
u2 <br />
v×u<br />
= u×w<br />
uv<br />
Definizione 1.4. Dati tre vettori u, v e w si definisce prodotto misto tra i tre vettori la grandezza<br />
scalare<br />
u×v·w<br />
dove le operazioni da eseguire sono, nell’or<strong>di</strong>ne, il prodotto vettoriale e poi il prodotto scalare.<br />
È imme<strong>di</strong>ato osservare che il prodotto scalare sod<strong>di</strong>sfa alle seguenti proprietà<br />
— il prodotto misto coincide con il volume, con segno, <strong>del</strong> parallelepipedo <strong>di</strong> spigoli u, v e w. Il<br />
volume viene preso con segno positivo se la terna dei tre vettori u, v e w è destra, altrimenti viene<br />
preso con segno negativo<br />
— una rotazione dei tre vettori mantiene lo stesso carattere; quin<strong>di</strong> il prodotto misto sod<strong>di</strong>sfa alla<br />
seguente propreità<br />
u×v·w = v×w·u = w×u·v<br />
. Di