Note del corso di Fisica Matematica A

4 1 Calcolo Vettoriale
— anti-commutativa: u×v = −v×u
— distributiva: (u+v)×w = u×w+v×w
— u×v = 0 ⇔ (u = 0) ∨ (v = 0) ∨ (u v)
— î×î =ˆj׈j = ˆ k× ˆ k = 0 e î׈j = ˆ k,ˆj× ˆ k = î e ˆ k×î =ˆj
— se ux,uy,uz e vx,vy,vz sono le componenti dei due vettori u e v rispetto ad una base assegnata
allora il prodotto vettoriale si può calcolare come
î ˆj
u×v =
ˆ
k
ux uy uz
= (uyvz −uzvy)î+(uzvx −uxvz)ˆj+(uxvy −uyvx)
ˆ k
vx vy vz
— il prodotto vettoriale tra i due vettori u e v ha modulo coincidente con l’area del parallelogramma
di spigoli definiti dai due vettori e avente entrambi il primo estremo in comune
— Si osserva che non vale la proprietà associativa, infatti, ad esempio,
− ˆ k = (î׈j)׈j = î×(ˆj׈j) = 0
A partire dall’operazione di prodotto vettoriale è possibile definire la operazione di divisione tra
vettori: dati due vettori u e v ortogonali esiste almeno un vettore w tale che u×w = v. Infatti,
introduciamo la terna ortonormale destra (î,ˆj, ˆ k) dove î e ˆ k sono scelti nel seguente modo î = u
u e
ˆk = v
conseguenza
dove
v , e doveˆj viene determinato in modo tale che la terna î,ˆj e ˆ k sia destra:ˆj = ˆ k×î = v×u
uv
per ogni h ∈ R.
1.1.5 Prodotto misto
v = v ˆ k = vî׈j = v u
u ×
w = v×u
+hu
u2
v×u
= u×w
uv
Definizione 1.4. Dati tre vettori u, v e w si definisce prodotto misto tra i tre vettori la grandezza
scalare
u×v·w
dove le operazioni da eseguire sono, nell’ordine, il prodotto vettoriale e poi il prodotto scalare.
È immediato osservare che il prodotto scalare soddisfa alle seguenti proprietà
— il prodotto misto coincide con il volume, con segno, del parallelepipedo di spigoli u, v e w. Il
volume viene preso con segno positivo se la terna dei tre vettori u, v e w è destra, altrimenti viene
preso con segno negativo
— una rotazione dei tre vettori mantiene lo stesso carattere; quindi il prodotto misto soddisfa alla
seguente propreità
u×v·w = v×w·u = w×u·v
. Di