Note del corso di Fisica Matematica A

Fisica Matematica A
1 Marzo, 2013

Sommario
1 Calcolo Vettoriale ............................................................. 1
1.1 Operazioni sui vettori ........................................................ 1
1.1.1 Vettori ................................................................ 1
1.1.2 Rappresentazione cartesiana dei vettori .................................... 2
1.1.3 Prodotto scalare ........................................................ 2
1.1.4 Prodotto vettoriale...................................................... 3
1.1.5 Prodotto misto ......................................................... 4
1.1.6 Derivata di vettori ...................................................... 5
1.1.7 Appendice: curve nello spazio e terna intrinseca, richiami..................... 6
1.1.8 Esercizi................................................................ 8
2 Cinematica .................................................................... 11
2.1 Cinematica del punto......................................................... 11
2.1.1 Velocità del moto di un punto............................................. 12
2.1.2 Accelerazione .......................................................... 13
2.1.3 Classificazione dei moti in base alla velocità ed alla accelerazione .............. 14
2.1.4 Moti piani in coordinate polari. ........................................... 15
2.1.5 Esempi di moti ......................................................... 18
2.1.6 Esercizi................................................................ 20
2.2 Cinematica dei sistemi rigidi................................................... 23
2.2.1 Sistemi rigidi........................................................... 23
2.2.2 Moti traslatori ......................................................... 24
2.2.3 Moti rotatori ........................................................... 25
2.2.4 Moti rototraslatori ...................................................... 26
2.2.5 Moti rigidi generali ed atti di moto........................................ 27
2.2.6 Composizione di atti di moto ............................................. 30
2.2.7 Angoli di Eulero ........................................................ 31
2.2.8 Esercizi................................................................ 33
2.3 Moti relativi e applicazioni ai moti rigidi ........................................ 34
2.3.1 Velocità e accelerazione assolute e relative.................................. 34
2.3.2 Derivata vettoriale rispetto ad assi in moto................................. 36
2.3.3 Precessioni regolari...................................................... 36

VI Sommario
2.3.4 Esercizi................................................................ 37
2.4 Cinematica dei sistemi........................................................ 37
2.4.1 Sistemi olonomi ........................................................ 37
2.4.2 Sistemi anolonomi ...................................................... 39
2.4.3 Spostamenti infinitesimi reali e virtuali .................................... 42
2.4.4 Sistemi a legami unilaterali............................................... 44
2.4.5 Esercizi................................................................ 45
3 Generalità sui sistemi e grandezze meccaniche ................................. 47
3.1 Concetti e postulati fondamentali della meccanica ................................ 47
3.1.1 Forza ................................................................. 47
3.1.2 Leggi di Newton ........................................................ 47
3.1.3 Forze fittizie ........................................................... 48
3.1.4 Reazioni vincolari....................................................... 49
3.1.5 Equilibrio di un punto materiale e legge del moto incipiente .................. 50
3.1.6 Forze posizionali e forze conservative ...................................... 51
3.1.7 Lavoro ................................................................ 54
3.1.8 Lavoro ed energia cinetica................................................ 56
3.1.9 Esercizi................................................................ 57
3.2 Geometria delle masse ........................................................ 58
3.2.1 Densità................................................................ 58
3.2.2 Baricentro di un sistema discreto di punti materiali.......................... 59
3.2.3 Baricentro di un corpo, di una superficie e di una linea materiale .............. 61
3.2.4 Momenti di inerzia ...................................................... 62
3.2.5 Ellissoide d’inerzia e assi principali ........................................ 65
3.2.6 Matrice d’inerzia ....................................................... 67
3.2.7 Ellissoide centrale di inerzia .............................................. 69
3.2.8 Esercizi................................................................ 69
4 Statica ........................................................................ 73
4.1 Statica del punto e attrito..................................................... 73
4.1.1 Attrito per un punto appoggiato su di una superficie ........................ 73
4.1.2 Punto vincolato a muoversi su di una superficie o su una curva. ............... 75
4.2 Equazioni cardinali della statica................................................ 76
4.2.1 Commento sui sistemi di forze ............................................ 76
4.2.2 Vettori applicati ........................................................ 77
4.2.3 Sistemi di vettori applicati riducibili....................................... 81
4.2.4 Sistemi equivalenti di forze ............................................... 83
4.2.5 Condizioni necessarie per l’equilibrio di un sistema meccanico................. 83
4.2.6 Postulato caratteristico dei solidi e sufficienza delle equazioni cardinali della
statica ................................................................ 85
4.2.7 Esempi ................................................................ 86
4.2.8 Equilibrio di solidi appoggiati ............................................ 88
4.3 Principio dei lavori virtuali e statica generale .................................... 89
4.3.1 Principio dei lavori virtuali............................................... 89

Sommario VII
4.3.2 Condizione generale d’equilibrio. Relazione simbolica della Statica ............. 91
4.3.3 Statica dei sistemi olonomi: condizioni di equilibrio in coordinate lagrangiane ... 93
4.3.4 Complemento: metodo dei moltiplicatori di Lagrange e calcolo delle reazioni .... 95
4.3.5 Esempi ................................................................ 97
4.3.6 Calcolo delle reazioni .................................................... 97
4.4 Nozione di stabilità dell’equilibrio .............................................. 98
4.4.1 Stabilità per un punto ................................................... 98
4.4.2 Punto libero sollecitato da forze conservativo ............................... 99
4.4.3 Stabilità per un sistema meccanico ........................................ 99
4.5 Statica relativa .............................................................. 100
4.5.1 Nozione di equilibrio relativo ............................................. 100
4.5.2 Casi particolari notevoli ................................................. 101
4.5.3 Peso e attrazione terrestre ............................................... 102
5 Dinamica: equazioni differenziali del moto ..................................... 105
5.1 Dinamica del punto .......................................................... 105
5.1.1 Dinamica del punto libero................................................ 105
5.1.2 Dinamica del punto su traiettoria prestabilita............................... 106
5.1.3 Dinamica del punto soggetto a forze posizionali ............................. 107
5.1.4 Comportamento dell’attrito durante il moto ................................ 108
5.1.5 Moto di un punto su una superficie priva di attrito .......................... 108
5.1.6 Esercizi................................................................ 109
5.2 Caratteristiche dinamiche dei sistemi ........................................... 110
5.2.1 Lavoro elementare ...................................................... 110
5.2.2 Corpo rigido libero...................................................... 110
5.2.3 Lavoro elementare in coordinate lagrangiane................................ 111
5.2.4 Lavoro virtuale e identità notevoli......................................... 112
5.2.5 Energia cinetica o forza viva.............................................. 112
5.2.6 Quantità di moto e momento della quantità di moto ......................... 117
5.2.7 Quantità di moto e momento delle quantità di moto di un corpo rigido......... 119
5.2.8 Esercizi................................................................ 121
5.3 Equazioni cardinali della Dinamica e equazioni di Lagrange ........................ 122
5.3.1 Generalità ............................................................. 122
5.3.2 Teoremi della quantità di moto e del momento delle quantità di moto. Equazioni
cardinali della Dinamica ................................................. 123
5.3.3 Equazioni cardinali del moto di un sistema qualsiasi ......................... 125
5.3.4 Principio di d’Alembert e relazione simbolica della Dinamica.................. 127
5.3.5 Equazioni differenziali del moto di un sistema olonomo in coordinate lagrangiane 128
5.3.6 Dimostrazione della ”sufficienza” delle equazioni cardinali della Dinamica ...... 129
5.3.7 Equazioni del Lagrange: seconda forma .................................... 130
5.3.8 Funzione Lagrangiana ................................................... 132

VIII Sommario
6 Cenni di meccanica dei continui deformabili ................................... 133
6.1 Un caso particolare: statica dei fili.............................................. 133
6.1.1 Fili flessibili ed inestendibili. Definizione e postulato caratteristico ............ 133
6.1.2 Condizioni di equilibrio. Equazione indefinite dell’equilibrio dei fili. ........... 134
6.1.3 Complementi: filo soggetto ad un sistema di forze parallele ................... 137
6.1.4 Complementi: filo teso su una superficie.................................... 139
6.2 Cinematica dei continui deformabili ............................................ 141
6.2.1 Introduzione ........................................................... 141
6.2.2 Punto di vista lagrangiano ed euleriano .................................... 142
6.2.3 Equazioni di continuità .................................................. 143
6.2.4 Spostamenti e piccole deformazioni........................................ 145
6.2.5 Analisi dello strain ...................................................... 147
6.2.6 Dilatazione cubica ...................................................... 148
6.3 Statica dei continui deformabili ................................................ 148
6.3.1 Forze applicate e sforzi .................................................. 148
6.3.2 Condizioni di equilibrio per i continui deformabili ........................... 149
6.3.3 Formule di Cauchy...................................................... 150
6.3.4 Equazioni indefinite dell’equilibrio......................................... 152
6.3.5 Le equazioni costitutive.................................................. 154
7 Esercizi tratti da prove d’esame ............................................... 157
A Appendice..................................................................... 169
A.1 Cenni sull’attrazione Newtoniana .............................................. 169
A.1.1 Potenziale ............................................................. 169
A.1.2 Attrazione di una superficie sferica σ omogenea ............................. 170
A.1.3 Attrazione di una corona sferica omogenea di raggi R1 ed R2 (R1 > R2 ≥ 0) .... 171

1
Calcolo Vettoriale
1.1 Operazioni sui vettori
1.1.1 Vettori
Nello spazio R 3 due segmenti orientati si dicono equipollenti
quando hanno la stessa lunghezza, la stessa direzione e lo stesso verso.
La relazione di equipollenza è una relazione di equivalenza (valgono
le proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva). Sia V l’insieme dei
segmenti in R 3 , modulo la relazione di equipollenza. I suoi elementi si
chiamano vettori e sono denotati nel seguente modo v. Definiremo
lunghezza (o modulo), direzione e verso di un vettore come quelli
di uno qualunque dei suoi rappresentanti. Quindi, due vettori sono
uguali se hanno stessa lunghezza, direzione e verso. Il vettore nullo
è rappresentato da un qualunque segmento di lunghezza zero e viene
denotato come 0. Usualmente il modulo di un vettore v si denota
come v o anche |v|. Scriveremo anche v = B−A dove A e B sono gli
estremi di un qualunque segmento orientato rappresentante v.
Fig. 1.1. I due segmenti orientati
di estremi A, B e C, D sono
equipollenti e definiscono entrambi
lo stesso vettore v = B −A.
Fig. 1.2. Dati due vettori u e v la loro somma u + v è il vettore rappresentato dal segmento orientato ottenuto facendo
coincidere il secondo estremo del primo vettore coincidente con il primo estremo del secondo vettore.

2 1 Calcolo Vettoriale
Definizione 1.1. Uno spazio vettoriale su R è un insieme non vuoto V in cui sono definite due
operazioni, l’addizione e la moltiplicazione per un numero reale, tali che:
i. l’addizione è associativa e commutativa;
ii. esiste un elemento neutro 0 ∈ V per l’operazione di addizione, cioé tale che u+0 = 0+u = u
per ogni u ∈ V;
iii.per ogni u ∈ V esiste l’elemento opposto v ∈ V tale che u+v = 0;
iv.esiste un elemento neutro 1 ∈ R per l’operazione di moltiplicazione, cioé tale che u1 = 1u = u
per ogni u ∈ V;
v. sussiste la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma:
λ(u+v) = λu+λv, ∀u,v ∈ V, ∀λ ∈ R.
L’insieme V può essere strutturato come spazio vettoriale sui reali introducendo in modo naturale
la usuale somma tra segmenti e il prodotto esterno come segue. Dati due vettori u = B − A e
v = C − B rappresentati da due segmenti avente il secondo estremo del primo vettore coincidente
con il primo estremo del secondo vettore; si definisce somma tra i due vettori il vettore u + v =
(B−A)+(C−B) = C−A. Dato un vettore u ed un numero reale λ si definisce il prodotto esterno
il vettore λu avente la stessa direzione di u, verso concorde con il verso di u se λ > 0 altrimenti
verso opposto, e modulo uguale al numero reale positivo |λ|u. Il vettore nullo coincide con il vettore
neutro.
1.1.2 Rappresentazione cartesiana dei vettori
v x
i
v z
k
Fig. 1.3. Datounsistemadicoordinatecartesiani
ortogonali (O;x,y,z), associato ai versori î,ˆj e ˆ k,
ogni vettore v si puó esprimere attraverso le sue
componenti vx, vy e vz.
1.1.3 Prodotto scalare
j
v y
Considerato un sistema di coordinate cartesiani ortogonali
(O;x,y,z), tali da costituire una terna destra, introduciamo
i versori î, ˆj e ˆ k (talvolta anche denotati i, j e
k) aventi verso e direzione concordi con gli assi coordinati.
I versori fondamentali costituiscono una base ortonormale
dello spazio vettoriale V e ad ogni vettore v corrisponde in
modo univoco una terna di numeri reali vx, vy, vz, dette
componenti del vettore, tali che v = vxî+vyˆj+vz ˆ k. È
immediato osservare che due vettori coincidono se, e solo
se, coincidono le componenti. Inoltre la somma tra vettori
ed il prodotto esterno può essere calcolato attraverso le loro
componenti:
u+v = (uxî+uyˆj+uz ˆ k)+(vxî+vyˆj+vz ˆ k)
= (ux +vx)î+(uy +vy)ˆj+(uz +vz) ˆ k
λv = λ(vxî+vyˆj+vz ˆ k) = (λvx)î+(λvy)ˆj+(λvz) ˆ k
Definizione 1.2. Dati due vettori u e v si definisce prodotto scalare tra i due vettori la grandezza
scalare
dove α è l’angolo formato dai due vettori.
u·v = uvcos(α)

È immediato osservare che il prodotto scalare soddisfa alle seguenti proprietà
1.1 Operazioni sui vettori 3
— commutativa: u·v = v·u
— distributiva: (u+v)·w = u·w+v·w
— u·v = 0 ⇔ (u = 0) ∨ (v = 0) ∨ (u ⊥ v)
— î·î =ˆj·ˆj = ˆ k· ˆ k = 1 e î·ˆj = î· ˆ k =ˆj· ˆ k = 0
— se ux,uy,uz e vx,vy,vz sono le componenti dei due vettori u e v rispetto ad una base assegnata
allora il prodotto scalare si può calcolare come
u·v = uxvx +uyvy +uzvz
In particolare le componenti del vettore u sulla base sono date da
ux = u·î, uy = u·ˆj e uz = u· ˆ k
— il modulo di un vettore viene calcolato come
u = √ u·u =
u 2 x +u 2 y +u 2 z
1.1.4 Prodotto vettoriale
Definizione 1.3. Dati due vettori u e v si definisce prodotto vettoriale tra i due vettori il vettore
w = u×v
ortogonale ad entrambi, avente verso tale che la terna u,v,w sia destra e modulo
dove α è l’angolo formato dai due vettori.
|u×v| = uv|sin(α)|
Fig. 1.4. Il prodotto vettoriale tra due vettori u e v é un vettore ortogonale ad entrambi avente modulo coincidente con l’area
del parallelogramma di spigoli u e v.
È immediato osservare che il prodotto scalare soddisfa alle seguenti proprietà

4 1 Calcolo Vettoriale
— anti-commutativa: u×v = −v×u
— distributiva: (u+v)×w = u×w+v×w
— u×v = 0 ⇔ (u = 0) ∨ (v = 0) ∨ (u v)
— î×î =ˆj׈j = ˆ k× ˆ k = 0 e î׈j = ˆ k,ˆj× ˆ k = î e ˆ k×î =ˆj
— se ux,uy,uz e vx,vy,vz sono le componenti dei due vettori u e v rispetto ad una base assegnata
allora il prodotto vettoriale si può calcolare come
î ˆj
u×v =
ˆ
k
ux uy uz
= (uyvz −uzvy)î+(uzvx −uxvz)ˆj+(uxvy −uyvx)
ˆ k
vx vy vz
— il prodotto vettoriale tra i due vettori u e v ha modulo coincidente con l’area del parallelogramma
di spigoli definiti dai due vettori e avente entrambi il primo estremo in comune
— Si osserva che non vale la proprietà associativa, infatti, ad esempio,
− ˆ k = (î׈j)׈j = î×(ˆj׈j) = 0
A partire dall’operazione di prodotto vettoriale è possibile definire la operazione di divisione tra
vettori: dati due vettori u e v ortogonali esiste almeno un vettore w tale che u×w = v. Infatti,
introduciamo la terna ortonormale destra (î,ˆj, ˆ k) dove î e ˆ k sono scelti nel seguente modo î = u
u e
ˆk = v
conseguenza
dove
v , e doveˆj viene determinato in modo tale che la terna î,ˆj e ˆ k sia destra:ˆj = ˆ k×î = v×u
uv
per ogni h ∈ R.
1.1.5 Prodotto misto
v = v ˆ k = vî׈j = v u
u ×
w = v×u
+hu
u2
v×u
= u×w
uv
Definizione 1.4. Dati tre vettori u, v e w si definisce prodotto misto tra i tre vettori la grandezza
scalare
u×v·w
dove le operazioni da eseguire sono, nell’ordine, il prodotto vettoriale e poi il prodotto scalare.
È immediato osservare che il prodotto scalare soddisfa alle seguenti proprietà
— il prodotto misto coincide con il volume, con segno, del parallelepipedo di spigoli u, v e w. Il
volume viene preso con segno positivo se la terna dei tre vettori u, v e w è destra, altrimenti viene
preso con segno negativo
— una rotazione dei tre vettori mantiene lo stesso carattere; quindi il prodotto misto soddisfa alla
seguente propreità
u×v·w = v×w·u = w×u·v
. Di

1.1 Operazioni sui vettori 5
Fig. 1.5. Il prodotto misto tra tre vettori u, v e w é uguale al volume, preso con segno opportuno, del parallelepipedo di spigoli
u, v e w.
— ilprodottomistoènullose,esolose,almenounvettoreènullooppureitrevettorisonocomplanari:
u×v·w = 0
⇕
(u = 0) ∨ (v = 0) ∨ (w = 0) ∨ (u, v, w sono complanari)
— se ux,uy,uz, vx,vy,vz e wx,wy,wz sono le componenti dei tre vettori u, v e w rispetto ad una
base assegnata allora il prodotto misto si può calcolare come
ux
uy uz
u×v·w = vx
vy vz
1.1.6 Derivata di vettori
Consideriamo una funzione a valori vettoriali
u : R → V
wx wy wz
che ad ogni valore della variabile indipendente t ∈ R associa un vettore u(t) ∈ R. Assegnare la
funzione u(t) equivale, dato un sistema di riferimento fisso, ad assegnare le tre funzioni scalari ux(t),
uy(t) e uz(t) tali che
u(t) = ux(t)î+uy(t)ˆj+uz(t) ˆ k.
Identificando poi il vettore u con il punto P tale che u = P −O, allora il vettore u(t) dipendente
dalla variabile t si identifica con il punto P(t) individuato dalle coordinate x(t), y(t) e z(t) tali che

6 1 Calcolo Vettoriale
P(t)−O = x(t)î+y(t)ˆj+z(t) ˆ k.
Si definisce derivata del vettore u(t) il vettore
u(t+h)−u(t)
lim
h→0 h
assumendo che tale limite esista finito. In virtù della linearità del limite segue che tale derivata esiste
se, e solo se, le tre funzioni ux(t), uy(t) e uz(t) sono derivabili e inoltre vale la seguente relazione:
du(t)
dt
= dux(t)
dt
In modo elementare seguono le seguenti proprietà:
duy(t) duz(t)
î+ ˆj+
dt dt ˆ k.
- Regola di Leibniz: dati due funzioni a valori vettoriali u(t) e v(t) e data una funzione f(t) a valori
reali (supponendole tutte derivabili) segue che
d[f(t)u(t)]
dt
d[u(t)·v(t)]
dt
d[u(t)×v(t)]
dt
= df(t)
dt u(t)+f(t)du(t)
dt
= du(t)
dt
= du(t)
dt
·v(t)+u(t)· dv(t)
dt
×v(t)+u(t)× dv(t)
dt
- La derivata di un vettore u(t) di modulo costante (ad esempio un versore) è normale al versore
stesso:
se |u(t)| = costante ⇒ du(t)
dt
⊥ u(t). (1.1)
La dimostrazione di questa proprietà è immediata, infatti ricordando che |u| = √ u·u allora
derivando ambo i membri della uguaglianza
segue che
e da qui la tesi.
0 = du(t)
dt
costante = u·u
·u(t)+u(t)· du(t)
dt
1.1.7 Appendice: curve nello spazio e terna intrinseca, richiami
= 2u(t)· du(t)
dt
Una curva γ nello spazio R 3 può essere definita mediante la sua rappresentazione parametrica
γ = {(x(t),y(t),z(t)), t ∈ [t1,t2]}
dovex(t),y(t)ez(t)sonotrefunzioniassegnatechesupporremosufficientementeregolari,tipicamente
assumiamo che esse siano di classe C 2 e che inoltre sia

n
.
.
t
1.1 Operazioni sui vettori 7
Fig. 1.6. Sulla traiettoria γ é possibile introdurre un’origine O ′ e un verso di percorrenza positivo; l’ascissa curvilinea s definisce
in modo univoco la posizione di un punto P su γ. IL versore tangente ˆt ha direzione tangente alla curva e verso concorde con
il verso positivo della curva; il versore normale ˆn giace nel piano osculatore ed é diretto verso la parte interna della curva. Il
disco osculatore giace nel piano osculatore, il suo centro appartiene alla retta normale e il suo raggio coincide con il raggio
di curvatura ρc; tra tutti i dischi tangenti alla curva in P il disco osculatore é quello che meglio approssima, localmente, la
traiettoria γ.
2 dx
+
dt
2 dy
+
dt
2 dz
= 0.
dt
Un caso particolare è il caso, ben noto, di una curva definita nel piano attraverso la rappresentazione
cartesiana
x → y = f(x), x ∈ [x1,x2]
dove f(x) è una funzione assegnata e dove [x1,x2] è un intervallo assegnato. In questo caso la curva
γ consiste in
γ =
(x,y) ∈ R 2 : x ∈ [x1,x2],y = f(x)
Questo caso, infatti, può essere visto come un caso particolare del precedente in cui x = t, y = f(t)
e z = 0.
Sulla curva γ si può introdurre un’origine O1 ed un verso di percorrenza positivo, si può inoltre
calcolare la lunghezza s detta ascissa curvilinea, con segno, dell’arco di curva congiungente O1 con
un generico punto P(t) di coordinate (x(t),y(t),z(t)) attraverso l’integrale
s = s(t) = ±
t
t0
dx(t ′ )
dt
2
+
dy(t ′ )
dt
2
+
dz(t ′ )
dove t0 è il valore del parametro corrisponde a O1 e dove prenderemo il segno +, rispettivamente −,
se P segue, rispettivamente precede, O1 secondo il verso assegnato sulla curva. La funzione t → s(t)
dt
2
dt ′

8 1 Calcolo Vettoriale
è invertibile e, attraverso la sua funzione inversa, t = t(s) è possibile definire la rappresentazione
parametrica normale
tale che
γ = {(x(s) = x[t(s)],y(s) = y[t(s)],z(s) = z[t(s)]), s ∈ [s1 = s(t1),s2 = s(t2)]}
2 dx
+
ds
2 dy
+
ds
2 dz
= 1.
ds
Denotando con P(s) il punto di coordinate (x(s),y(s),z(s)) e con P(s)−O = x(s)î+y(s)ˆj+z(s) ˆ k
si può dimostrare che la derivata
ˆt(s) = dP(s)
ds
dx dy dz
= î+ ˆj+
ds ds ds ˆ k
è un versore, detto versore tangente, tangente alla curva e diretto secondo il verso assegnato. La
derivata del versore tangente, in virtù di quanto dimostrato nella (1.1), è un vettore ortogonale al
vettore ˆt e si scrive come
dˆt
ds
1
= ˆn (1.2)
dove ρc è un numero reale positivo, detto raggio di curvatura, e dove ˆn è un versore, detto versore
normale. Dalla (1.2) segue che è possibile determinare ρc e ˆn attraverso le formule
1.1.8 Esercizi
Esercizio 1.1: Siano dati i vettori
si domanda:
dˆt
ρc =
ds
−1
ρc
dˆt
e ˆn = ρc
ds .
a = î+2ˆj+ ˆ k, b = −î+ ˆ k, c = 3î+ˆj− ˆ k,
i. calcolare il prodotto scalare a·b;
ii. calcolare il prodotto vettoriale d = a×b;
iii.calcolare il modulo dei vettori a e b e, essendo questi ortogonali, calcolare il modulo del loro
prodotto vettoriale per mezzo della formula
|a×b| = absinα,
verificare poi tale risultato calcolando il modulo del vettore d;
iv.calcolare i prodotti misti a·b×c e a×b·c e verificare che sono uguali;
v. verificare la proprietà distributiva per i vettori a, b, c:
a×(b+c) = a×b+a×c;

vi.verificare che non vale la proprietà associativa per i vettori a, b, c:
a×(b×c) = (a×b)×c;
vii.essendo a e b ortogonali, trovare un vettore e tale che:
Esercizio 1.2: Siano dati i vettori:
si domanda:
i. dimostrare che sono tra loro ortogonali;
ii. trovare un vettore c0 tale che:
iii.trovare un vettore c di modulo uno tale che:
b = e×a.
a = 2î+3ˆj− ˆ k, b = −2î+ˆj− ˆ k,
b = c0 ×a;
b = c×a.
1.1 Operazioni sui vettori 9
Esercizio 1.3: Determinare in R 3 l’equazione della retta individuata da 2 punti P1 e P2 distinti.
Esercizio 1.4: Determinare in R 3 l’equazione del piano individuato da 3 punti P1, P2 e P3 distinti
e non allineati.
Esercizio 1.5: Determinare in R 3 l’equazione del piano tangente ad una superficie regolare, di
equazione f(x,y,z) = 0 per data f : R 3 → R, in un suo punto P0.
Esercizio 1.6: Introdurre una rappresentazione parametrica normale
s → (x(s),y(s),z(s)), [x ′ (s)] 2 +[y ′ (s)] 2 +[z ′ (s)] 2 ≡ 1,
della circonferenza di raggio R e poi determinarne il raggio di curvatura mediante la formula
ρc =
1
[x ′′ (s)] 2 +[y ′′ (s)] 2 +[z ′′ (s)] 2
dove
′ = d
ds .
Esercizio 1.7: Data una curva regolare γ, contenuta nel piano (O;x,y) e avente rappresentazione
cartesianay = f(x),perunaf : R → Rdata,provarecheilraggiodicurvaturapuòesseredeterminato
dalla formula
1+
ρc =
df
2 3/2
dx
;
d2f dx2 Facendo poi uso di questa formula calcolare nuovamente il raggio di curvatura della circonferenza di
raggio R.

2
Cinematica
Si dice Cinematica quella parte della Meccanica che studia e discute in che modo, durante il moto,
variano in rapporto al tempo i caratteri geometrici delle figure o sistemi di punti, concepiti come
rigidi oppure deformabili.
La nozione di moto, come quella di quiete, è di natura relativa: cioé l’asserire che un dato corpo
C è in moto o in quiete ha senso preciso solo in quanto il corpo C si intende riferito ad un altro
determinato corpo C ′ e si constati che la posizione di C rispetto a C ′ va variando nel tempo o,
rispettivamente, si conserva inalterata. Perciò in ogni considerazione cinematica, o più in generale
meccanica, è necessario stabilire quale sia l’ente di riferimento.
2.1 Cinematica del punto
Consideriamo un punto P in moto rispetto ad una certa terna di assi cartesiani ortogonale (O;x,y,z)
destra. Ad ogni istante t dell’intervallo di tempo in cui è definito il moto, il punto P occupa, rispetto
alla terna (O;x,y,z), una determinata posizione. Quindi, in questo intervallo risulta definito come
un punto variabile in funzione del tempo:
Questa equazione geometrica equivale alle equazioni scalari
P −O = P(t)−O. (2.1)
x = x(t), y = y(t), z = z(t), t ∈ [t0,t1], (2.2)
nelle tre funzioni del tempo, che assumeremo in seguito di classe C 2 , che designano le coordinate della
posizione occupata da P all’istante t in un sistema di riferimento ortogonale destro (O;x,y,z).
Le (2.1) o, indifferentemente, le (2.2) si dicono equazioni del moto nel punto P. Il luogo delle
posizioni occupate da P durante il moto è una serie di curve che si dice traiettoria del punto mobile
e che ammette le (2.2) come equazioni parametriche. Se la traiettoria è un arco di curva piana
o un segmento di retta, il moto del punto si dice rispettivamente piano o rettilineo.
Assegnata la traiettoria e definita su questa una ascissa curvilinea s, l’equazione
s = s(t) (2.3)
fornisce, per ogni generico istante t ∈ [t0,t1], l’ascissa curvilinea raggiunta in quell’istante sulla
traiettoria dal punto P (sulla quale è assegnata una origine ed un verso positivo di percorrenza).

12 2 Cinematica
Essa definisce la legge temporale, secondo cui si muove il dato punto sulla traiettoria, detta
equazione oraria del moto. Quindi il moto del punto P è noto quando si conoscono le equazioni
parametriche (2.2) oppure quando si conoscono la traiettoria
P = P(s)
e la equazione oraria (2.3). Si può passare da una rappresentazione all’altra; ad esempio, nota la
traiettoria P = P(s) e la legge oraria s = s(t) si ottiene la rappresentazione parametrica P = P(t) =
P[s(t)].
Definizione 2.1. Il moto di un punto P su una traiettoria data si dice uniforme se l’ascissa curvilinea
s(t) è una funzione lineare del tempo.
2.1.1 Velocità del moto di un punto.
Definizione 2.2. In un generico istante t si dirà velocità (scalare) di un punto mobile, secondo
la equazione oraria s = s(t), la funzione ˙s(t). I moti uniformi
s(t) = v0t+s0
sono caratterizzati dalla costanza della velocità (scalare).
Definizione 2.3. Siano x(t),y(t),z(t) le componenti cartesiane del punto P(t) durante il moto
rispetto ad una terna (O;x,y,z) ortogonale. Il vettore
viene denominato velocità (vettoriale) del punto P all’istante t.
v(t) = ˙x(t)î+ ˙y(t)ˆj+ ˙z(t) ˆ k (2.4)
Il vettore velocità vettoriale del punto P coincide quindi con la derivata del vettore spostamento
P(t)−O:
v(t) = ˙
P(t) = dP
dt
= d(P −O)
dt
Osservando che possiamo sempre scrivere P = P(t) = P[s(t)], dove P(s) rappresenta la traiettoria
del punto e s(t) la legge oraria, allora la precedente derivata si può anche calcolare come
v(t) = dP[s(t)]
dt
= dP(s)
ds
˙s(t) = ˙s(t)ˆt (2.5)
dove ˆt = dP è il versore tangente alla traiettoria orientato concordemente con il verso positivo della
ds
traiettoria ed s è la ascissa curvilinea. Da qui segue che, in ogni istante, v ha modulo dato dal
valore assoluto |˙s(t)| della velocità scalare nel punto, è diretto secondo la tangente alla traiettoria
nella posizione P(t), ed infine ha il verso di ˆt, cioé il verso delle s crescenti, o il contrario, secondo
che ˙s(t) sia positiva o negativa.
Dalla (2.5) segue inoltre che
˙s(t) = ± ˙x 2 (t)+ ˙y 2 (t)+ ˙z 2 t
(t) e s(t) = ˙s(τ)dτ +s0
t0
(2.6)

.
.
Fig. 2.1. La velocitá v é sempre tangente alla traiettoria del punto.
t
2.1 Cinematica del punto 13
dove si sceglie il segno + o − a seconda che la velocità vettoriale v abbia verso concorde o discorde
con il versore ˆt.
Ilvettorevelocitàèindipendentedalsistemadiriferimentoscelto:seinluogodellaterna(O;x,y,z)
si sceglie la terna (O ′ ;x ′ ,y ′ ,z ′ ) fissa rispetto alla precedente, allora le equazioni (2.2) del moto
cambiano ma la velocità vettoriale non varia, così come non variano né la forma geometrica della
traiettorianélaleggetemporaledelmoto. Ciòsipuòritenereevidente,datoilcarattere intrinseco,
rispetto al moto, della definizione di velocità vettoriale.
Ogni moto a velocità vettoriale costante è rettilineo ed uniforme (a differenza dei moti
uniformi caratterizzati dalla velocità scalare costante):
x(t) = vt+Cost., y(t) = Cost., z(t) = Cost. (2.7)
dove si è scelto il sistema di riferimento (O;x,y,z) tale che v = (v,0,0), v costante. Le costanti che
compaiono nelle (2.7) sono determinate in base alle condizioni iniziali P(t0).
In generale: nota la posizione del punto P ad un dato istante iniziale t0 e la velocità v(t) si può
determinate il moto del punto:
2.1.2 Accelerazione
P(t) = P(t0)+
t
t0
v(t)dt.
Definizione 2.4. Consideriamoilmotodi un puntoP sopra unatraiettoriaprestabilitaconequazione
oraria qualsiasi s = s(t). Si definisce come accelerazione scalare del punto, lungo la traiettoria
prestabilita, nell’istante t la funzione ¨s(t).
Definizione 2.5. Definiamo la accelerazione vettoriale del punto P(t), che è una determinata
funzione vettoriale del tempo, come:

14 2 Cinematica
a(t) = dv
dt = d2 P
dt 2 = d2 (P −O)
dt 2 = ¨xî+ ¨yˆj+ ¨z ˆ k (2.8)
dove x(t),y(t),z(t) sono le componenti cartesiane del punto P(t) durante il moto definiti rispetto ad
un sistema di riferimento (O;x,y,z).
Dalla natura intrinseca, rispetto al moto, della definizione di accelerazione risulta senz’altro che le
formule (2.8) restano valide comunque si cambino gli assi di riferimento, purché fissi gli uni rispetto
agli altri.
Ricordando che
v = ˙sˆt e dˆt
ds
1
= ˆn,
dove ρc designa il raggio di curvatura della traiettoria ed ˆn il vettore unitario diretto lungo la normale
principale verso il centro di curvatura otteniamo:
dove at = ¨s e an = ˙s2
ρc
a = d2P[s(t)] dt2 = dv
dt
= v2
ρc .
ρc
= d(˙sˆt)
dt = ¨sˆt+ ˙s dˆt
dt = at ˆt+anˆn (2.9)
Introduciamo la terna destra, detta terna intrinseca, (ˆt,ˆn, ˆ b) con origine nel punto P e con
versori ˆt, versore tangente, ˆn, versore normale, e ˆ b =ˆt׈n, versore binormale. Dalla (2.9) segue
che, ad ogni istante, è nulla la componente della accelerazione secondo la binormale alla traiettoria,
cioè l’accelerazione appartiene ad ogni istante al piano osculatore della traiettoria
nella posizione occupata dal punto mobile in quell’istante. Le sue componenti at e an si
dicono, rispettivamente, accelerazione tangenziale e accelerazione normale o centripeta (si
noti che, essendo v2 sempre positivo, allora l’accelerazione centripeta è sempre diretta verso il centro
ρc
di curvatura).
I moti uniformi (˙s = Cost., cioé ¨s = 0) sono caratterizzati dall’annullarsi della accelerazione tangenziale.
I moti rettilinei (ˆt = Cost.) sono caratterizzati dall’annullarsi della accelerazione normale.
I moti rettilinei uniformi sono caratterizzati dall’annullarsi identico della accelerazione.
2.1.3 Classificazione dei moti in base alla velocità ed alla accelerazione
Abbiamo la seguente situazione:
— Classificazione in base alla velocità:
- moto diretto quando ˙s > 0;
- moto retrogrado quando ˙s < 0;
- moto uniforme quando ˙s(t) = v0 costante;
- moto rettilineo quando ˆt =ˆt0 costante;
- moto rettilineo e uniforme quando v = v0 costante;
- moto curvilineo quando ˆt non è costante.
— Classificazione in base alla accelerazione:
- moto accelerato quando ˙s¨s > 0, ovvero d˙s2
dt
- moto ritardato quando ˙s¨s < 0, ovvero d˙s2
dt
> 0 o, equivalentemente, |˙s| crescente;
< 0 o, equivalentemente, |˙s| decrescente;

n
.
.
t
2.1 Cinematica del punto 15
Fig. 2.2. Le componenti tangenziale e normale della accelerazione sono dirette lungo la retta tangente e la retta normale, in
particolare la componente normale é sempre diretta verso la parte interna della traiettoria.
- moto uniformemente vario quando ¨s = a0 costante;
- moto uniformemente accelerato quando ˙s¨s > 0 ed ¨s = a0 costante;
- moto uniformemente ritardato quando ˙s¨s < 0 ed ¨s = a0 costante.
2.1.4 Moti piani in coordinate polari.
Definizione 2.6. Consideriamo il moto piano del punto P(t), rispetto al sistema ortogonale (O;x,y),
di equazioni x = x(t) e y = y(t). Riferiamo questo stesso moto al sistema di coordinate polari che ha
come polo l’origine O, come semi-asse polare il semi-asse positivo delle x e come verso positivo delle
anomalie quello dell’asse orientato x verso l’asse orientato y. Durante il moto, il modulo ρ = OP e
l’anomalia θ = xOP di P saranno funzioni ben determinate del tempo e le
si potranno dire equazioni del moto in coordinate polari.
La relazione tra le equazioni x = x(t), y = y(t) e le (2.10) è data da:
Viceversa:
ρ =
ρ = ρ(t), θ = θ(t) (2.10)
x = ρcosθ, y = ρsinθ. (2.11)
x 2 +y 2 , θ = arctg(y/x). (2.12)
Èopportunoosservarechelarappresentazionedelmotoincoordinatepolaripresenta,perlanatura
stessa delle coordinate polari, una singolarità in corrispondenza dell’origine. Infatti alla posizione P
nell’origine O corrispondono (corrispondenza NON biunivoca!) ρ = 0 e θ qualunque.

16 2 Cinematica
θ
ρ
.
ρ
Fig. 2.3. I versori radiale ˆr e trasverso ˆ h definiscono il moto del punto in coordinate polari piane.
Consideriamo il versore
ˆr =
P −O
,
ρ
orientato da O verso P, detto versore radiale, ed il versore ˆ h normale a ˆr, orientato rispetto alla
retta OP come l’asse y rispetto ad x, detto versore trasverso:
ˆr = cosθî+sinθˆj e ˆ h = −sinθî+cosθˆj
Se indichiamo con vρ e vθ le componenti di v rispetto ai due versori allora si prova che:
v = vρˆr+vθ ˆ h,vρ = ˙ρ, vθ = ρ ˙ θ. (2.13)
La vρ si dice velocità radiale e la vθ si dice velocità trasversa; ˙ θ si dice velocità angolare. La
(2.13) si ottiene derivando il vettore
P(t)−O = ρ(t)ˆr[θ(t)]
espresso in coordinate polari e tenendo conto che dˆr
dθ = ˆ h.
Mentre il punto P si muove, il raggio vettore P −O descrive un’area. Supponiamo di misurarla, a
partiredaunraggioinizialeP0−O,positivamentenelsensoincuicresconoleanomalie,negativamente
nel verso opposto. Sia A(t) il valore che assume in un generico istante t.
Teorema 2.7. Si dimostra che:
˙A = 1
2 ρ2˙ 1
θ = (x˙y − ˙xy), (2.14)
2
ed è chiamata velocità areolare (o areale) del punto P rispetto al centro O.

2.1 Cinematica del punto 17
Dimostrazione. All’istante t il punto P ha coordinate polari θ(t) e ρ(t); all’istante t+∆t le coordinate
sono θ(t+∆t) e ρ(t+∆t). Chiameremo ∆θ = θ(t+∆t)−θ(t) e
e
ρmax = max
τ∈[0,∆t] ρ(t+τ), ρmin = min
τ∈[0,∆t] ρ(t+τ)
∆maxθ = max
τ∈[0,∆t] [θ(t+τ)−θ(t)].
Sia ∆A = A(t+∆t)−A(t), allora questa può essere calcolata come
∆A = 1
2 ρ2 ∆θ+R (2.15)
dove 1
2 ρ2 ∆θ rappresenta l’area di un settore circolare di raggio ρ e angolo ∆θ. R rappresenta il resto
che può essere stimato come
|R| ≤ 1
(ρmax)
2
2 −(ρmin) 2
∆maxθ.
Osservando che |R| = O(∆ 2 t), dividendo ambo i membri della (2.15) per ∆t e passando al limite
∆t → 0 segue il Teorema.
Sia (O;x,y,z) una terna ortogonale destra tale che il moto avvenga nel piano (O;x,y); consideriamo
il vettore
V = 1 1 1
(P −O)×v = v×(O−P) =
2 2 2 det
⎛
î ˆj
⎜
⎝
ˆ ⎞
k
⎟
x y 0⎠
˙x ˙y 0
= 1
2 (x˙y − ˙xy)ˆ k = ˙ Aˆ k
dato dalla metà del momento della velocità vettoriale del punto mobile rispetto al centro
O (fisso). Si ha che la componente di V rispetto all’asse z coincide con la velocità areolare (2.14) e
individua, come perpendicolare al piano della traiettoria, il piano in cui avviene il moto.
Definizione 2.8. Definiamo
V = 1
(P −O)×v (2.16)
2
come velocità areolare vettoriale del punto dato mobile, rispetto al centro O (fisso).
Questa nuova definizione ha il vantaggio di attribuire alla velocità areolare un significato intrinseco
e, perciò, indipendente dalla scelta della terna di riferimento. Scalarmente la (2.16) ha
componenti: 1
2 (y˙z − ˙yz), 1
2 (˙xz − x˙z), 1(x˙y
− ˙xy); nelle quali si riconoscono le velocità areolari,
2
rispetto ad O, in senso scalare, delle proiezioni ortogonali del punto P, rispettivamente sui piani
(O;y,z), (O;x,z) e (O;x,y).
Determiniamo ora l’accelerazione radiale e trasversa in un moto piano (qualsiasi) denotate,
rispettivamente, con aρ e aθ:

18 2 Cinematica
date da
a = aρˆr+aθ ˆ h
aρ = ¨ρ−ρ ˙ θ 2 , aθ = 2˙ρ ˙ θ+ρ ¨ θ = 1 d
ρdt
(ρ2˙ θ). (2.17)
Esse si ottengono derivando la già nota relazione v = vρˆr + vθ ˆ h e osservando che dˆ h
dθ = −ˆr. In
particolare, si osserva che aθ = 2
ρ Ä dove ˙ A è la velocità areolare.
2.1.5 Esempi di moti
Consideriamo i seguenti esempi.
Moto dei gravi
Per grave intendiamo un corpo puntiforme pesante libero di muoversi nello spazio e soggetto alla
sola forza peso. Per studiarne il moto scegliamo, per riferimento, una terna il cui asse delle (O;y)
sia verticale ed orientato verso l’alto, in modo che il piano (O;x,y) risulti verticale. Avremo, come
componenti della accelerazione di gravità g : (0,−g,0). Dalla Fisica è ben noto che (ritorneremo in
seguito su questo punto) che a = g e quindi le coordinate del punto P dovranno soddisfare durante
tutto il moto alle equazioni ¨x = 0,¨y = −g,¨z = 0; che, integrate, danno:
x(t) = x0 + ˙x0t, y(t) = − 1
2 gt2 + ˙y0t+y0, z(t) = ˙z0t+z0
(2.18)
dove v0 = ˙x0î+ ˙y0ˆj+ ˙z0 ˆ k è la velocità all’istante iniziale e P0 = (x0,y0,z0) è la posizione del punto
all’istante iniziale. Si può, senza perdere in generalità, collocare l’origine O del sistema in P0 e
ruotare la terna d’assi intorno a y in modo che sia ˙z0 = 0 e ˙x0 ≥ 0. Le (2.18) diventano:
x = ˙x0t, y = ˙y0t− 1
2 gt2 , z = 0, con ˙x0 ≥ 0. (2.19)
Quindi risulta che il moto è piano e nelle equazioni del moto si può trascurare la componente z.
Dalle (2.19) si ricava che:
v 2 = v 2 0 −2g˙y0t+g 2 t 2
e v 2 −v 2 0 = −2gy; (2.20)
quindi: sono fra loro proporzionali l’incremento del quadrato della velocità e la quota del
punto mobile rispetto alla posizione iniziale.
Moti oscillatori
Se il punto P(t) si muove lungo la circonferenza x 2 +y 2 = r 2 le equazioni del moto sono x = rcosθ
e y = rsinθ dove θ(t) è l’anomalia del vettore P − O rispetto all’asse orientato x. La velocità ha
componenti
˙x = −r ˙ θsinθ e ˙y = r ˙ θcosθ

2.1 Cinematica del punto 19
e la sua intensità vale v = r| ˙ θ|; come si poteva prevedere dalla (2.13) essendo vρ = ˙ρ = 0. Affinché il
motocircolaresiauniforme(cioé ˙s(t) = r ˙ θ = Cost)occorre,ebasta,che ˙ θ siacostante;seindicheremo
ω = ˙ θ allora dovremmo avere θ(t) = ωt+θ0, dove θ0 è l’anomalia di P nell’istante t = 0. In questo
caso l’accelerazione diventa
a = ¨xî+ ¨yˆj = −ω 2 (P −O) = ω 2 (O−P).
Si noti che l’accelerazione è sempre diretta dal punto P verso il centro del cerchio in quanto, trattandosi
di un moto uniforme, l’accelerazione deve risultare tutta centripeta.
Definizione 2.9. Definiamo armonico il moto del tipo
dove r è l’ampiezza, ω la frequenza e θ0 la fase iniziale.
x(t) = rcos(ωt+θ0) (2.21)
Il moto armonico ha accelerazione che soddisfa alla seguente equazione differenziale: ¨x = −ω 2 x.
I parametri r e θ0 sono determinati in base alle condizioni iniziali.
Moti centrali, moti Kepleriani e formula di Binet
Definizione 2.10. Il moto di un punto P si dice centrale se la linea di azione dell’accelerazione a
passa sempre per un punto O fisso, detto centro del moto. Si ha la seguente condizione vettoriale
caratteristica dei moti centrali:
cioé si annulla il momento dell’accelerazione rispetto ad O.
(P −O)×a = 0; (2.22)
Dalla (2.22) segue che la velocità areolare di ogni moto centrale rispetto al centro O è un vettore
(P −O)×v e
costante. Infatti: V = 1
2
d dP
{(P −O)×v} =
dt dt
×v+(P −O)×a = (P −O)×a. (2.23)
Quindi: il moto è centrale se, e solo se, (P −O)×v = c, c denota un vettore costante. Da quanto
scritto in precedenza segue che ogni moto centrale è un moto piano. In particolare, scegliendo
il sistema di riferimento in modo che il moto avvenga nel piano (O;x,y), cioé z = ˙z = ¨z = 0, allora
(P −O)×v ha due componenti nulle, mentre la terza vale x˙y − ˙xy = c costante.
Dalle (2.17) segue che i moti centrali, caratterizzati da aθ = 0, devono soddisfare alla seguente
equazione differenziale:
2˙ρ ˙ θ+ρ ¨ θ = 0 o ρ 2˙ θ = c. (2.24)
In particolare si può dare alla accelerazione radiale aρ una espressione puramente geometrica,
cioé indipendente dalle derivate di ρ e θ rispetto a t, e fare intervenire soltanto l’equazione
polare ρ = ρ(θ) della traiettoria. Infatti, se c = 0 allora deve necessariamente essere ˙ θ = 0 da cui
si può, per il teorema della funzione inversa, ricavare t = t(θ) e quindi ρ = ρ(θ) = ρ[t(θ)]. Ora,
pensando ρ = ρ(θ) si ottiene che

20 2 Cinematica
e, in virtù della (2.24), segue che
Derivando ulteriormente si ottiene che:
˙ρ = c
ρ2 dρ
dθ
¨ρ = −c dθ
dt
che, sostituite nella prima delle (2.17), dà
aρ = − c2
ρ 2
che è nota sotto il nome di formula di Binet.
2.1.6 Esercizi
˙ρ = dρ
dθ ˙ θ
= −cd1/ρ
dθ .
d21/ρ = −c2
dθ2 ρ2 d21/ρ dθ2
1 d2
+
ρ dθ2
1
ρ
Esercizio 2.1: Studiare il moto del punto P che si muove con legge oraria
s(t) = t 3 −2t 2 +t, t ≥ 0
(2.25)
su una traiettoria γ nota ed assegnata. In particolare si chiede di determinare per quali valori di t
si ha un istante di arresto, quando il moto è diretto o retrogrado e quando il moto è accelerato o
ritardato.
Esercizio 2.2: Due punti P1 e P2 si muovono su una stessa retta AB orientata da B verso A e
con origine in B. P1 è all’istante iniziale t = 0 fermo in B e si muove verso A con legge oraria
s1(t) = 1
2 a1t 2 , a1 > 0.
P2, per t = 0, passa in A con velocità v0 diretta verso B ed ha legge oraria
s2(t) = 1
2 a2t 2 −v0t+ℓ, a2 > 0 e ℓ = |AB|.
Studiare il moto di entrambi i punti e determinare come e quando i due punti si incontrano.
Esercizio 2.3: Studiare il moto dell’estremo B di una biella lunga ℓ (vincolato a muoversi lungo
l’asse x) nota la legge θ = θ(t) con cui si muove la manovella di lunghezza r < ℓ determinare, in
particolare, la velocità e l’accelerazione nel caso generale e poi nel caso particolare θ(t) = ωt con ω
costante.
Esercizio 2.4: Un’asta AC lunga d può ruotare nel piano (O;x,y) attorno al punto C di coordinate
(0,−h) con legge data θ = θ(t) e h > d. Dall’estremo A parte un filo (flessibile e inestendibile)
che, dopo essere passato per la carrucola posta in O, porta appeso all’altro estremo un punto P (che,
per effetto del peso, tiene sempre il filo in tensione). Sapendo che il filo è lungo ℓ ≥ d+h, studiare il

θ
Fig. 2.4. Sistema biella-manovella.
2.1 Cinematica del punto 21
moto di P e determinare, in particolare, la velocità e l’accelerazione nel caso generale e poi nel caso
particolare θ(t) = ωt con ω costante.
Esercizio 2.5: Il punto P è mobile sulla parabola y = Kx 2 , K > 0, e la sua proiezione sull’asse
x si muove con velocità ct (c =costante positiva):
v(P) = vxî+vyˆj, vx = ct.
Studiare il moto di P sapendo che inizialmente è in O; più precisamente si chiede:
i. la velocità v di P;
ii. la velocità scalare ˙s(t) di P;
iii.l’accelerazione a di P;
iv.il versore tangente ˆt ed il versore normale ˆn alla traiettoria di P;
v. l’accelerazione normale e tangenziale;
vi.il raggio di curvatura;
vii.la velocità areolare avendo supposto introdotto un sistema di coordinate polari con polo in O ed
asse polare coincidente con l’asse positivo delle ascisse;
viii.la velocità angolare ˙ θ.
Esercizio 2.6: Studiare il moto di un punto P = P(x,y,z) sapendo che le coordinate di P sono,
rispettivamente, date da:
⎧
⎪⎨ x(t) = Ccosωt
a) y(t) = Csinωt , C e ω costanti positive;
⎪⎩ z(t) = 0
⎧
⎪⎨ x(t) = Ccos
b)
⎪⎩
1
2at2 +ωt
y(t) = Csin 1
2at2 +ωt
, C, a e ω costanti positive;
z(t) = 0
⎧
⎪⎨ x(t) = Ccos[Asin(ωt)]
c) y(t) = Csin[Asin(ωt)] , C, A e ω costanti positive;
⎪⎩
z(t) = 0

22 2 Cinematica
Più precisamente si chiede:
⎧
⎪⎨ x(t) = Ctcosωt
d) y(t) = Ctsinωt , C e ω costanti positive.
⎪⎩ z(t) = 0
i. la traiettoria di P;
ii. la velocità v di P;
iii.la velocità scalare ˙s(t) di P e la legge oraria s(t);
iv.l’accelerazione a di P;
v. il versore tangente ˆt ed il versore normale ˆn alla traiettoria di P;
vi.l’accelerazione normale e tangenziale;
vii.il raggio di curvatura;
viii.la velocità areolare avendo supposto introdotto un sistema di coordinate polari con polo in O e
come asse polare l’asse (O;x);
ix.la velocità angolare ˙ θ.
Esercizio 2.7: Studiare il moto di un punto P = P(θ,ρ) nel piano sapendo che le coordinate
polari di P sono, rispettivamente, date da:
ρ(t) = R
a)
θ(t) = 1
2at2 , R, a e ω costanti positive;
+ωt
ρ(t) = Ct
b) , C e ω costanti positive;
θ(t) = ωt
ρ(t) = Ct+ρ0
c)
θ(t) = 1
K ln
Ct+ρ0 , t ≥ 0, C, K e ρ0 costanti positive .
ρ0
Più precisamente si domanda:
i. la traiettoria di P;
ii. la velocità v di P;
iii.la velocità scalare ˙s(t) di P e la legge oraria s(t);
iv.l’accelerazione a di P;
v. la velocità areolare;
Esercizio 2.8: Studiare il moto di un punto P = P(x,y) nel piano (O;x,y) sapendo che le
coordinate di P sono due funzioni periodiche di periodo T1 e T2, cioè:
Più precisamente si domanda:
x(t+T1) = x(t) e y(t+T2) = y(t), ∀t.
i. dimostrare che il moto è periodico se, e solo se, T1 e T2 sono commensurabili tra loro, cioé
T1
T2
= n
m
ed il periodo T del moto è dato da T = mT1 = nT2;
∈ Q,

2.2 Cinematica dei sistemi rigidi 23
ii. assumendo che sia x(t) = cos(ωt) e y(t) = sin(Ωt) graficare P(t) per diversi valori di ω e Ω;
iii.semprenelle condizioniin ii. assumereω = 1eΩ = π/3.1415, graficareP(t) perintervalli crescenti
di t e osservare che la traiettoria di P riempie progressivamente il quadrato [−1,+1]×[−1,+1];
iv.sempre nelle condizioni in ii. dimostrare che quando ω e Ω non sono commensurabili tra loro allora
la traiettoria di P riempie densamente il quadrato [−1,+1]×[−1,+1].
2.2 Cinematica dei sistemi rigidi
Lo studio di sistemi materiali, costituiti da N punti materiali distinti, può essere effettuato, almeno
in linea di principio, con gli strumenti sviluppati nella sezione precedente. Di fatto questo procedura
è inefficace quando il numero N di particelle è grande, come ad esempio il numero di molecole in
un fluido o in un gas liberamente mobili.
È quindi opportuno introdurre un modello descrittivo
del sistema fisico che, in alcuni casi, permetta di studiare il moto del sistema senza descrivere necessariamente
il moto di ogni particella costituente il sistema. A tal fine noi facciamo la seguente
ipotesi di lavoro che, in alcuni contesti, trova giustificazione: noi assumiamo che i sistemi materiali
siano costituiti da uno o più corpi rigidi, non deformabili qualunque sia il loro moto e comunque
siano sollecitati. Con questa modellizzazione non è ovviamente possibile studiare la dinamica dei
fluidi e dei gas (termodinamica e fluidodinamica) e nemmeno le deformazioni dei solidi (teoria della
elasticità).
2.2.1 Sistemi rigidi
Definizione 2.11. Diremo sistema rigido una figura S che, durante il moto, conservi inalterate le
mutue distanze dei suoi punti. Cioé se P1 e P2 sono due punti qualsiasi di tale sistema S deve essere
che
durante il moto.
Osserviamo che la condizione (2.26) equivale alla identità
P1P2 = r = Costante (2.26)
(P2 −P1)·(P2 −P1) = r 2
dove r è indipendente dal tempo. Derivando ambo i membri si trova la condizione equivalente di
rigidità di un sistema:
(P2 −P1)· d(P2 −P1)
dt
= 0, ∀P1,P2 ∈ S
cioè si ha la seguente definizione equivalente. I moti rigidi di un sistema di punti sono caratterizzati
dalla circostanza che ad ogni istante la velocità di due punti quali si vogliano del sistema
hanno la stessa componente secondo la congiungente dei due punti.
Ai fini dello studio del moto di un sistema rigido è utile fare la seguente osservazione di evidenza
immediata. Dato un sistema rigido S, un sistema di riferimento fisso (O;x,y,z) ed un sistema
di riferimento solidale (O ′ ;x ′ ,y ′ ,z ′ ) con il sistema S (solidale=le coordinate dei punti di S sono
costanti). Il moto di S è noto se è nota l’evoluzione temporale di (O ′ ,x ′ ,y ′ ,z ′ ) rispetto a

24 2 Cinematica
(O;x,y,z). A quest’ultimo scopo basta che siano assegnati, in funzione del tempo, l’origine O ′ e
i tre versori fondamentali î ′ ,ˆj ′ , ˆ k ′
della terna solidale. In queste condizioni l’equazione del moto del
generico punto P di S è fornita dalle
P = O ′ +x ′ î ′ +y ′ ˆj ′ +z ′ˆ k ′
(2.27)
dove O ′ , î ′ ,ˆj ′ e ˆ k ′
si intendono definiti in funzione di t con riferimento agli assi fissi e le x ′ , y ′ , z ′ si
intendono costanti.
La (2.27), proiettata sul sistema fisso, dà:
⎧
⎪⎨ x = α+α1x
⎪⎩
′ +α2y ′ +α3z ′
y = β +β1x ′ +β2y ′ +β3z ′
z = γ +γ1x ′ +γ2y ′ +γ3z ′
(2.28)
dove O ′ ha componenti (α, β, γ) e (αi, βi, γi), i = 1,2,3,
sono, rispettivamente, i coseni direttori di î ′ ,ˆj ′ , ˆ k ′
, cioè:
⎧
⎪⎨ î
⎪⎩
′ = α1î+β1ˆj+γ1 ˆ k
ˆj ′ = α2î+β2ˆj+γ2 ˆ k
ˆk ′
= α3î+β3ˆj+γ3 ˆ α1 = î
, dove
k
′ ·î, β1 = î ′ ·ˆj, γ1 = î ′ · ˆ k
α2 =ˆj ′ ·î, β2 =ˆj ′ ·ˆj, γ2 =ˆj ′ · ˆ k
α3 = ˆ k ′
·î, β3 = ˆ k ′
·ˆj, γ3 = ˆ k ′
· ˆ k
Osserviamo che nelle (2.28) compaiono 12 funzioni del
tempo, cioé le α, β, γ e i 9 coseni direttori (αi, βi, γi);
i quali sono legati tra loro dalle 6 note relazioni in quanto
ortonormali:
e
α 2 i +β 2 i +γ 2 i = 1, i = 1,2,3
αiαj +βiβj +γiγj = 0,i,j = 1,2,3, i = j.
Fig. 2.6. Moto del sistema di riferimento
(O ′ ;x ′ ,y ′ ,z ′ ), solidale con il corpo rigido S,
rispetto al sistema di riferimento (O;x,y,z).
Possiamo quindi concludere che per la descrizione del moto del corpo rigido S sono necessari, e
sufficienti, 6 parametri indipendenti.
2.2.2 Moti traslatori
Definizione 2.12. Un moto rigido si dice traslatorio quando ogni vettore P2−P1, determinato da
due punti in moto quali si vogliano, si mantiene costante, non solo in lunghezza, come ogni altro
moto rigido, ma anche in direzione e verso.
In particolare i tre versori î ′ ,ˆj ′ , ˆ k ′
del riferimento solidale sono costanti durante il moto (sia in
verso che in direzione, oltre, come è ovvio, in lunghezza). Con una scelta particolare degli assi si ha
che le (2.28) diventano: x = x ′ +α(t), y = y ′ +β(t), z = z ′ +γ(t). Risulta dunque che in un moto
traslatorio le traiettorie dei singoli punti sono uguali, sovrapponibili e percorse con la
medesima legge.
Un moto traslatorio è caratterizzato dal fatto che tutti i punti del sistema, istante per istante,
hanno velocità uguali ˙
P2 = ˙
P1 (e quindi anche accelerazioni uguali). Quindi ogni moto traslatorio
è caratterizzato da un certo vettore, funzione esclusiva del tempo, che istante per istante, dà la
velocità comune, in quell’istante, a tutti i punti del sistema mobile. Questo vettore dicesi velocità
del moto traslatorio ed identifica, in modo univoco, il moto traslatorio.

2.2.3 Moti rotatori
2.2 Cinematica dei sistemi rigidi 25
Definizione 2.13. Un moto rigido si dice rotatorio quando rimangono fissi tutti i punti di una
retta detta asse di rotazione.
Per realizzare un tale moto basta fissare due punti
dell’asse. Preso nel sistema mobile S, fuori dall’asse di rotazione
(che, con una opportuna scelta del sistema di riferimento,
coinciderà con l’asse (O;z)), un punto P, la perpendicolare
PQ abbassata sull’asse si manterrà di lunghezza
costante e ortogonale all’asse; cioé ogni punto di S,
fuori dell’asse, si muoverà sulla circonferenza del piano ortogonale
a z, che ha il centro Q sull’asse stesso.
La posizione del sistema stesso S, rotante intorno a z,
risulta individuata, istante per istante, dalla posizione di
un solo suo punto P esterno all’asse di rotazione (sulla
rispettiva traiettoria circolare) o, equivalentemente, dalla
posizione di un semi-piano p uscente dall’asse e solidale
con S. La posizione si potrà individuare assegnando, ad
ogni istante, l’anomalia θ = πp di p rispetto ad un determinato
semipiano π uscente da z e fisso.
Un moto rotatorio è caratterizzato dal fatto che ad ogni
istante tutti i punti di un sistema rigido animato di moto
k
ω
.
Fig. 2.7. Moto di un corpo rigido con asse fisso
ω = ˙ θ ˆ k denota il vettore velocitá angolare, dove ˆ k
é il versore che denota la direzione dell’asse fisso.
Un generico punto P del corpo rigido si muove di
moto circolare attorno al punto Q, proiezione di
P sull’asse fisso.
rotatorio hanno la medesima velocità angolare ˙ θ. Sia (O;z) l’asse fisso e ˆ k il corrispondente
versore, definiamo il vettore ω = ˙ θ ˆ k, detto velocità angolare (vettoriale) del moto rotatorio, quel
vettore avente, ad ogni istante, modulo | ˙ θ(t)|, la direzione dell’asse di rotazione e il verso rispetto a
cui il moto appare destro. È immediato verificare che in un moto rotatorio, di velocità angolare ω,
la velocità v del punto P è data da:
v(t) = ω ×(P −O) (2.29)
dove O è un punto fisso dell’asse di rotazione. In particolare vale anche il viceversa; quindi: i moti
rotatori attorno all’asse passante per O e parallelo a ω sono tutti e soli i moti nei quali
la velocità dei punti P è data dalla (2.29) dove ω ha direzione costante.
L’accelerazione a del punto P si decompone nelle componenti tangenziale at e normale an. La
seconda qui coincide con la accelerazione radiale centripeta aρ. Tenendo conto che ˙s = ρ ˙ θ e che
ρ = r rimane costante nel moto rotatorio, segue che: aρ = ρ ˙ θ 2 e ¨s = ρ ¨ θ. In particolare, essendo
si ha
ˆt = v
˙s = ˙ θ ˆ k×(P −O)
˙θρ
= 1
ρ ˆ k×(P −O) e ˆn = − 1
(P −Q), (2.30)
ρ
a = at ˆt+aρˆn = − ˙ θ 2 (P −Q)+ ¨ θ ˆ k×(P −O) = −ω 2 (P −Q)+ ˙ω ×(P −O), (2.31)
dove Q è la proiezione di P sull’asse di rotazione. Si noti che se la velocità angolare è costante
(˙ω = 0) allora ciascun punto P del sistema si muove di moto circolare uniforme (con velocità che
θ

26 2 Cinematica
varia da punto a punto proporzionalmente alla distanza dell’asse) e il moto rigido si dice rotatorio
uniforme. La(2.31)siottieneanchepersemplicederivazionedella(2.29)ricordandocheω e(P−Q)
sono ortogonali e che
ω ×[ω ×(P −O)] = −ω 2 (P −Q).
Le equazioni del moto si possono infine scrivere come:
x = x ′ cosθ −y ′ sinθ, y = x ′ sinθ +y ′ cosθ, z = z ′
dove si è scelto come O = O ′ un punto qualsiasi dell’asse individuato da ω; z = z ′ =asse di rotazione
(quindi ˆ k = ˆ k ′
e ω = ˙ θˆ k). Inoltre gli assi x e x ′ sono scelti come due semi-rette ortogonali a z = z ′ ,
che giacciono rispettivamente nei due semi-piani p e π che definiscono l’anomalia θ.
2.2.4 Moti rototraslatori
Definizione 2.14. Si dice rototraslatorio ogni moto rigido composto da un moto traslatorio e di
un moto rotatorio.
Se il moto traslatorio è identificato da un vettore v◦ e se il moto traslatorio è identificato da
un vettore velocità angolare ω e se O è un punto del suo asse di rotazione, allora la velocità di un
generico punto P appartenente al sistema S è data da
v(P) = v◦ +ω ×(P −O). (2.32)
Osserviamo che il nuovo moto è ancora rigido, infatti dati due punti generici P1 e P2 di velocità
v(P1) = v◦ +ω ×(P1 −O), v(P2) = v◦ +ω ×(P2 −O)
da cui segue che v(P2)−v(P1) = ω ×(P2 −P1) e infine [v(P2)−v(P1)]·(P2 −P1) = 0.
Nel caso di ω e v◦ costanti allora il moto si dirà rototraslatorio uniforme.
La (2.32) può essere espressa nella forma
dove
v(P) = v(O ′ )+ω ×(P −O ′ ) (2.33)
v(O ′ ) = v◦ +ω ×(O ′ −O),
O ′ è un punto solidale con il sistema rigido anche se non appartiene all’asse definito da ω. Quindi,
in base alla (2.33), il dato moto rototraslatorio risulta decomposto in un moto traslatorio di velocità
v(O ′ ) e in un moto rotatorio di velocità angolare ω intorno ad un asse trasportato (parallelamente
a se stesso) da questo moto traslatorio di velocità v(O ′ ).
Per ogni moto rototraslatorio uniforme esiste una decomposizione propria, cioé del tipo
(2.32) con O sull’asse, in cui la velocità angolare del componente rotatorio risulta parallela alla
velocità del componente traslatorio:
ω ×v◦
v(P) = v◦ +ω ×(P −Ω); dove Ω = O+
ω2 ; (2.34)
v◦ = componente di v◦ parallela ad ω. Il moto definito dalla (2.34) viene chiamato elicoidale
e (ω,Ω) viene chiamato asse del moto (con ovvio significato della notazione). In particolare:
componendo con un moto rotatorio uniforme un moto traslatorio uniforme di direzione ortogonale
all’asse di quello (cioé v◦ = 0), si ottiene un moto rotatorio uniforme avente la stessa velocità
angolare, intorno ad un asse parallelo al primitivo.

2.2.5 Moti rigidi generali ed atti di moto
2.2 Cinematica dei sistemi rigidi 27
Consideriamo un sistema rigido S; siano î ′ ,ˆj ′ , ˆ k ′
(O ′ ;x ′ ,y ′ ,z ′ ) solidale con S. Quindi il moto di un punto P del sistema S è descritto come:
P = O ′ +x ′ î ′ +y ′ ˆj ′ +z ′ˆ k ′
, x ′ ,y ′ ,z ′
i tre versori fondamentali di un sistema di riferimento
costanti . (2.35)
Teorema 2.15 (Teorema di Poisson). Sianodati due sistemidi riferimento(O;x,y,z) e (O ′ ;x ′ ,y ′ ,z ′ )
in moto l’uno rispetto all’altro. Si dimostra che esiste un unico vettore ω tale che valgano le seguenti
(dette formule di Poisson):
dî ′
dt = ω ×î′ , dˆj′
dt = ω ׈j′ , dˆ k ′
dt = ω ׈ k ′
, (2.36)
dove la derivata viene effettuata rispetto all’osservatore (O;x,y,z).
Dimostrazione. È sufficiente porre ω = pî′ + qˆj ′ + rˆ k ′
dove le componenti p,q,r di ω rispetto al
riferimento solidale sono scelte come
Infatti
p(t) = dˆj′
dt ·ˆ k ′
= − dˆ k ′
dt ·ˆj′ , q(t) = dˆ k ′
dt ·î′ = − dî′
dt ·ˆ k ′
, r(t) = dî′
dt ·ˆj′ = − dˆj′
dt ·î′ .
dî ′
dt =
′
dî
dt ·î′
î ′
′
dî
+
dt ·ˆj′
ˆj ′
′
dî
+
dt ·ˆ k ′
ˆk ′
= rˆj ′ −qˆ k ′
= ω ×î ′
come si può verificare in modo immediato. In modo analogo si ha la validità delle altre due formule
di Eulero. Abbiamo così provato l’esistenza di un tale vettore. Per provarne l’unicità supponiamo
che esista un altro vettore ω ⋆ soddisfacente alla (2.36); quindi, sottraendo membro a membro segue
da cui ω = ω ⋆ .
(ω −ω ⋆ )×î ′ = (ω −ω ⋆ )׈j ′ = (ω −ω ⋆ )× ˆ k ′
Derivando rispetto al tempo t l’equazione geometrica (2.35) e tenendo conto delle formule del
Poisson otteniamo:
dP
dt
= 0
= dO′
dt +ω ×(P −O′ ), ∀P ∈ S (2.37)
dove O ′ può essere un punto qualsiasi del sistema. L’espressione (2.37) è caratteristica per
la velocità dei punti di un corpo rigido ed è detta formula fondamentale della cinematica
rigida. Così, rispetto alla solita terna fissa, un moto rigido risulta determinato (a meno di opportune
condizioni iniziali) quando, prescelto nel sistema mobile un punto O ′ qualsiasi, si prefissino i vettori
(dipendenti dal tempo) v0 = v(O ′ ) e ω. Questi due vettori si dicono vettori caratteristici del
moto rigido rispetto al polo o centro di riduzione O ′ .
Se cambiamo l’origine O ′ nella (2.37) e prendiamo O ′′ = O ′ allora la (2.37) si modifica nel seguente
senso: v(P) = dO′′
dt +ω′′ ×(P −O ′′ ) dove ω ′′ = ω, poiché il vettore ω, in quanto fornisce, istante per
istante, la velocità angolare del moto elicoidale tangente, ha carattere intrinseco al moto rigido

28 2 Cinematica
dato, come emerge anche dalle (2.36). Si può infine osservare che ω non dipende nemmeno dalla
terna (O ′ ;x ′ ,y ′ ,z ′ ) solidale; infatti, dovendo la (2.37) sussistere anche per ω ⋆ , riferito ad una nuova
terna (anch’essa solidale rispetto ad S), allora segue che
(P −O)×(ω −ω ⋆ ) = 0
per ogni P e quindi ω = ω⋆ .
Un altro modo per derivare il vettore ω è il seguente: riscriviamo la (2.35) nel seguente modo:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜
x(t) = c(t)+A(t)y dove x = ⎝
x1
⎟
x2
x3
⎜
⎠, c = ⎝
O ′ x
O ′ y
O ′ ⎟
z
⎜
⎠, y = ⎝
y1
⎟
y2
y3
⎠ (2.38)
rappresentano, rispettivamente, le coordinate di P e O ′ rispetto al sistema centrato in O e fisso e le
coordinate di P rispetto ad un sistema di riferimento centrato in O ′ e solidale con il corpo rigido. La
matrice A è la matrice che permette di passare da un sistema di riferimento all’altro, quindi A è una
matrice ortogonale: A −1 = A T . Derivando la (2.38) e sostituendo ad y la relazione y = A −1 (x−c),
si trova
˙x(t) = ˙c(t)+ ˙
A(t)y = ˙c(t)+ ˙
A(t)A T [x(t)−c(t)] = ˙c(t)+J(t)[x(t)−c(t)]
dove abbiamo posto J = ˙ AAT . Osserviamo che J è una matrice antisimmetrica; infatti derivando la
identità AAT = I si ha che J = −JT e quindi possiamo scrivere
J = ˙ AA T ⎛ ⎞
0 −ω3 ω2
⎜ ⎟
= ⎝ω3
0 −ω1⎠.
−ω2 ω1 0
Ponendo ω = ω1î+ω2ˆj+ω3 ˆ k allora la relazione ˙x = ˙c+J(x−c) equivale alla v(P) = v(O ′ )+ω ×
(P −O ′ ).
La (2.37) diventa v(P) = v(O ′ ) + ω × (P − O ′ ); quindi la distribuzione delle velocità nei
vari punti di S all’istante t fissato è la stessa che si avrebbe se il sistema fosse animato
da un moto rototraslatorio uniforme, cioé elicoidale, in cui la velocità del generico punto P
è decomponibile in senso improprio nel moto traslatorio di velocità v(O ′ ) e nel moto rotatorio di
velocità angolare ω, intorno all’asse per O ′ nella direzione di ω, trasportato parallelamente a se stesso
con velocità traslatoria v(O ′ ). Se poi diciamo atto di moto la distribuzione istantanea delle velocità
allora ogni atto di moto rigido è elicoidale e l’asse del moto elicoidale tangente si dice asse di
Mozzi, avente coordinate (x ′ ,y ′ ,z ′ ) determinate dalla condizione ωv(O ′ ). Nel caso particolare in
cui ω = 0 si ha un atto di moto traslatorio, quando invece v(O ′ ) ⊥ ω si ha un atto di moto rotatorio
e la direzione definita da (O ′ ,ω) si dice asse istantaneo di rotazione.
Più precisamente, si ha che:
Teorema 2.16 (Teorema di Mozzi). Siano ω e v(O ′ ) i vettori caratteristici, sia I = v(O ′ ) · ω
l’invariante. Allora segue che:
- se I = 0 allora lo stato cinetico è elicoidale e l’asse di moto, detto asse di Mozzi, ha punti che
si muovono con velocità I
ω2ω; - se I = 0 allora:

2.2 Cinematica dei sistemi rigidi 29
+ se ω = 0 lo stato cinetico è rotatorio;
+ se ω = 0 e v(O ′ ) = 0 lo stato cinetico è traslatorio;
+ se ω = 0 e v(O ′ ) = 0 lo stato cinetico è nullo (cioé tutti i punti hanno velocità nulla).
Dimostrazione. La dimostrazione si basa sulla formula fondamentale della cinematica rigida. Poniamo
v◦ = (O ′ ) e consideriamo inizialmente il caso in cui I = 0. L’invariante è nullo se:
- ω = 0 e v◦ = 0, allora in questo caso v(P) = 0 per ogni punto P del corpo rigido e lo stato
cinetico è nullo;
- ω = 0 e v◦ = 0, allora in questo caso v(P) = v◦ = 0 per ogni punto P del corpo rigido e lo stato
cinetico è traslatorio;
- ω = 0 e v◦ = 0, allora in questo caso v(P) = ω ×(P −O ′ ) per ogni punto P del corpo rigido e
lo stato cinetico è rotatorio;
- ω = 0 e v◦ = 0 con ω ⊥ v◦, allora esiste O ′′ tale che v◦ = ω×(O ′ −O ′′ ) e in questo caso possiamo
scrivere che
v(P) = v◦ +ω ×(P −O ′ ) = ω ×(O ′ −O ′′ )++ω ×(P −O ′ )
= ω ×(P −O ′′ )
per ogni punto P del corpo rigido e lo stato cinetico è rotatorio con asse istantaneo di rotazione
passante per O ′′ e parallelo a ω;
Consideriamo infine il caso in cui I = 0, ovvero
ω = 0, v◦ = 0 con ω ⊥ v◦,
decomponendo v◦ = v + v⊥ lungo le direzioni parallela e perpendicolari a ω allora esiste O ′′ tale
che v⊥ = ω ×(O ′ −O ′′ ) e in questo caso possiamo scrivere che
v(P) = v◦ +ω ×(P −O ′ ) = v +ω ×(O ′ −O ′′ )++ω ×(P −O ′ )
= v +ω ×(P −O ′′ )
per ogni punto P del corpo rigido e lo stato cinetico è elicoidale con asse di Mozzi passante per O ′′
e parallelo a ω.
Derivando la (2.37) l’accelerazione viene scritta come:
a = d2 O ′
dt 2 + ˙ω ×(P −O′ )+ω ×[ω ×(P −O ′ )]
= d2 O ′
dt 2 + ˙ω ×(P −O′ )−ω 2 (P −Q)
dove Q è la proiezione di P sull’asse di rotazione. In questa espressione i primi due addendi del
secondo membro costituiscono il contributo della variabilità dei vettori caratteristici, mentre
il terzo addendo dipende, esclusivamente, dal moto elicoidale tangente e, perciò, coincide con
l’accelerazione che si avrebbe nel caso di una rotazione uniforme intorno all’asse istantaneo
di rotazione.

30 2 Cinematica
2.2.6 Composizione di atti di moto
Definizione 2.17. Se, per un medesimo sistema di punti, si considerano due diversi atti di moto
si dice moto composto tra i due quello in cui ogni punto del sistema ha, come velocità, la somma
vettoriale delle velocità spettanti a quel medesimo punto nei due atti di moto considerati.
Si ha che l’atto di moto composto di due atti di moto rigidi è rigido; infatti, siano v ′ (P) e
v ′′ (P) le velocità relative ai due atti di moto e sia v(P) = v ′ (P)+v ′′ (P) la velocità relativa all’atto
di moto composto; siano dati due punti P1 e P2 qualunque e appartenenti al sistema; allora sarà
essendo
[v(P2)−v(P1)]·(P2 −P1) =
= [(v ′ (P2)+v ′′ (P2))−(v ′ (P1)+v ′′ (P1))]·(P2 −P1) = 0
(v ′ (P2)−v ′ (P1))·(P2 −P1) = 0 e (v ′′ (P2)−v ′′ (P1))·(P2 −P1) = 0.
Se v ′ 0, ω ′ e v ′′
0, ω ′′ sono i vettori caratteristici dei due atti di moto componenti rispetto ad
un medesimo polo O ′ , allora i vettori caratteristici, rispetto allo stesso polo O ′ , di un
atto di rigido composto si ottengono sommando vettorialmente gli omonimi vettori
caratteristici dei moti componenti, rispetto a quel medesimo polo. Infatti:
Da ciò segue che:
v(P) = v1(P)+v2(P) = v ′ O +ω ′ ×(P −O ′ )+v ′′ O +ω ′′ ×(P −O ′ )
= (v ′ O +v ′′ O)+(ω ′ +ω ′′ )×(P −O ′ )
i. componendo due atti di moto traslatori si ottiene ancora un atto di moto traslatorio;
ii. componendodue atti di moto rotatori,conassiistantaneidirotazioneconcorrentiinunpunto
O ′ , si ottiene un atto di moto rotatorio avente asse istantaneo di rotazione pure concorrente
in O ′ ed ha per velocità angolare la somma vettoriale delle velocità angolari degli atti di moto
rotatori componenti;
iii.componendo due atti di moto rotatori intorno ad assi paralleli distinti r1, r2 e di velocità
angolariω1,ω2 nonopposte,siottieneun atto di moto rotatoriodivelocitàangolareω1+ω2,il
cuiasseèparalleloadr1,r2,egiacenelpianodellastrisciar1, r2,dividendolainpartiinversamente
proporzionali a ω1, ω2, internamente od esternamente, secondo che ω1, ω2 siano di verso concorde
o discorde. Infatti:
v(P) = v1(P)+v2(P) = ω1 ×(P −O1)+ω2 ×(P −O2)
= (ω1 +ω2)×(P −O ′ )
dove O1 e O2 sono due punti su r1 ed r2 tali che O2 − O1 è ortogonale a r2, dove O è tale che
ω1×(O ′ −O1) = ω2×(O2−O ′ ). Più precisamente, introducendo un asse orientato avente origine
in O1 e diretto verso O2 in modo che sia O2 − O1 = dî, d > 0, ωj = ωjˆj, O ′ − O1 = xî, allora
l’equazione ω1 ×(O ′ −O1)+ω2 ×(O ′ −O2) = 0 diventa
xω1 +ω2(x−d) = 0 che ha soluzione x = d ω2
.
ω1 +ω2

2.2 Cinematica dei sistemi rigidi 31
iv.componendo due atti di moto rotatori intorno ad assi paralleli distinti r1, r2 e di velocità
angolari ω1, ω2 opposte (cioé ω2 = −ω1), si ottiene un atto di moto traslatorio, in direzione
ortogonale al piano della striscia r1, r2 dei moti componenti ed ha per velocità il momento della
coppia delle velocità angolari ω1, ω2 localizzate ciascuna lungo l’asse rispettivo. Infatti:
v(P) = v1(P)+v2(P) = ω1 ×(P −O1)−ω1 ×(P −O2)
= ω1 ×(O2 −O1)
che è indipendente da P.
v. componendo due atti di moto rotatori intorno ad assi sghembi r1, r2 e di velocità angolari ω1,
ω2, si ottiene un atto di moto rototraslatorio. Infatti:
v(P) = v1(P)+v2(P) = ω1 ×(P −O1)+ω2 ×(P −O2)
= ω1 ×(P −O1)+ω2 ×(P −O2)+ω1 ×(P −O2)−ω1 ×(P −O2)
= u+(ω1 +ω2)×(P −O2)
dove O1 e O2 sono due punti su r1 ed r2 e dove u = ω1 ×(O2 −O1).
2.2.7 Angoli di Eulero
UnsistemarigidoS èdeterminatorispettoadunsistema
di riferimento fisso (O;x,y,z) se è determinato il sistema
di riferimento solidale (O ′ ;x ′ ,y ′ ,z ′ ) rispetto a quello fisso.
Per fare ciò è sufficiente determinare le coordinate di O ′ (3
parametri) e i tre versori î ′ ,ˆj ′ , ˆ k ′
(9 parametri, di cui solo 3
indipendenti). Supponendo, senza perdere in generalità,
che O = O ′ si utilizza il seguente metodo di rappresentazione
della terna solidale rispetto a quella fissa. Sia N
la retta intersezione tra i piani (O;x,y) e (O;x ′ ,y ′ ) (supposti,
per un momento, non complanari), perpendicolare a
z e z ′ , passante per O = O ′ e orientata in modo che l’angolo
zOz
Fig. 2.8. Angoli di Eulero.
′ appaia destro, detta linea dei nodi. L’angolo zOz ′ ,
in (0,π), si dice angolo di nutazione (designato con θ).
Si dice poi angolo di precessione, e si denota con ψ,
l’anomalia xON (misurata nel verso destro rispetto a z). Infine si dice angolo di rotazione propria,
e si denota con φ, l’anomalia NOx ′ (misurata nel verso destro rispetto a z ′ ). I due angoli ψ e
φ sono variabili ciascuno nell’intervallo [0,2π), cioé sul toro T 1 ≡ R/2πZ. L’angolo di nutazione θ é
invece variabile nell’intervallo [0,π]. I tre angoli θ, ψ e φ così definiti si chiamano angoli di Eulero.
Nel caso, al momento escluso, in cui i piani (O;x,y) e (O;x ′ ,y ′ ) coincidano allora l’angolo di
nutazione θ corrisponde a 0 o a π mentre la linea dei nodi N resta indeterminata (e quindi tali
risultano anche gli angoli ψ e φ). In ogni caso resta determinata la somma ψ +φ = xOx ′ e questa
anomalia, insieme a θ = 0 o θ = π, determina la posizione del sistema di riferimento solidale rispetto
a quello assoluto.
Non è inutile esprimere le formule di trasformazione delle coordinate tra i due sistemi in funzione
di questi tre parametri. Se (x,y,z) e (x ′ ,y ′ ,z ′ ) sono le coordinate di un generico punto rispetto ai
due sistemi di riferimento allora varranno le formule di trasformazione:
θ
ψ φ

32 2 Cinematica
dove
⎧
⎪⎨ x = α1x
⎪⎩
′ +β1y ′ +γ1z ′
y = α2x ′ +β2y ′ +γ2z ′
z = α3x ′ +β3y ′ +γ3z ′
(2.39)
α1 = î·î ′ , β1 = î·ˆj ′ , γ1 = î· ˆ k ′
α2 =ˆj·î ′ , β2 =ˆj·ˆj ′ , γ2 =ˆj· ˆ k ′
α3 = ˆ k·î ′ , β3 = ˆ k·ˆj ′ , γ3 = ˆ k· ˆ k ′
sono i coseni direttori degli assi del sistema (O;x ′ ,y ′ ,z ′ ).
Osserviamo che il modo per passare da un sistema all’altro consiste nell’effettuare, nell’ordine:
i. una rotazione ψ attorno all’asse (O;z) in modo da portare l’asse (O;x) sull’asse nodale (O;N);
ii. una rotazione θ attorno all’asse (O;N) in modo da portare l’asse (O;z) sull’asse (O;z ′ );
iii.una rotazione φ attorno all’asse (O;z ′ ) in modo da portare l’asse nodale (O;N) sull’asse (O;x ′ ).
Osserviamo che se i due piani (O;x,y) e (O;x ′ ,y ′ ) si sovrappongono allora θ = 0 (o θ = π) e la
prima e la terza rotazione sono effettuate attorno allo stesso asse e possono essere sostituire da una
rotazione dell’angolo ψ±φ. Le formule di trasformazione possono essere scritte in forma matriciale
come
dove
⎛ ⎞ ⎛
x x
⎜ ⎟ ⎜
⎝y
⎠ = Eψθφ ⎝
z
′
y ′
z ′
⎞
⎟
⎠, Eψθφ = EψEθEφ (2.40)
i. Eψ definisce una rotazione ψ attorno all’asse (O;z)
⎛ ⎞
cosψ −sinψ 0
⎜ ⎟
Eψ = ⎝sinψ
cosψ 0⎠;
0 0 1
ii. Eθ definisce una rotazione θ attorno all’asse (O;N)
⎛ ⎞
1 0 0
⎜ ⎟
Eθ = ⎝0
cosθ −sinθ ⎠;
0 sinθ cosθ
iii.Eφ definisce una rotazione φ attorno all’asse (O;z ′ )
⎛ ⎞
cosφ −sinφ 0
⎜ ⎟
Eφ = ⎝sinφ
cosφ 0⎠.
0 0 1
Effettuando i prodotti si ottiene infine
⎛ ⎞
⎜
Eψθφ = ⎝
α1 β1 γ1
⎟
α2 β2 γ2⎠
α3 β3 γ3
⎛
⎞
(cosψcosφ−sinψcosθsinφ) (−cosψsinφ−sinψcosθcosφ) (sinψsinθ)
⎜
⎟
= ⎝(sinψcosφ+cosψcosθsinφ)
(−sinψsinφ+cosψcosθcosφ) (−cosψsinθ) ⎠
(sinθsinφ) (sinθcosφ) (cosθ)

2.2 Cinematica dei sistemi rigidi 33
e, identificando la (2.39) con la (2.40), si ottiene il risultato cercato: cioé una parametrizzazione dei
coseni direttori in funzione di tre parametri indipendenti.
Determiniamo infine l’espressione della velocità angolare ω nel moto rigido istantaneo. Per determinare
ω in funzione dei tre parametri lagrangiani si osserva che il generico stato cinetico di rotazione
può essere scritto come la composizione di tre stati cinetici di rotazione aventi asse passante per O:
Proiettando ω sulla terna solidale si ottiene
dove
da cui segue
2.2.8 Esercizi
ˆN = cosφî ′ −sinφˆj ′
ω = ˙ ψ ˆ k+ ˙ θ ˆ N + ˙ φ ˆ k ′
.
ω = pî ′ +qˆj ′ +r ˆ k ′
ˆk = ( ˆ k·î ′ )î ′ +( ˆ k·ˆj ′ )ˆj ′ +( ˆ k· ˆ k ′
) ˆ k ′
= α3î ′ +β3ˆj ′ +γ3 ˆ k ′
⎧
⎪⎨ p =
⎪⎩
˙ θcosφ+ ˙ ψα3 = ˙ θcosφ+ ˙ ψsinθsinφ
q = −˙ θsinφ+ ˙ ψβ3 = −˙ θsinφ+ ˙ ψsinθcosφ
r = ˙ φ+ ˙ ψγ3 = ˙ φ+ ˙ ψcosθ
(2.41)
Esercizio 2.1: Una lamina quadrata ABCD rigida di lato ℓ è, all’istante considerato t, soggetta
ai seguenti quattro stati cinentici di rotazione (ω,A), (ω,B), (−ω,C) e (−ω,D), dove ω è normale
alla lamina, nota che lo stato cinetico di rotazione (ω,O1) è lo stato cinetico avente velocità angolare
ω e asse istantaneo di rotazione parallelo a ω e passante per O1. Studiare lo stato cinetico risultante.
Esercizio 2.2: Il triangolo OAB, rettangolo, rigido, isoscele, retto in O e con cateti lunghi ℓ, ha,
all’istante considerato t, il cateto OB sull’asse (O;z) e l’altro cateto OA sul piano (O;x,y) formante
angoli uguali con gli assi (O;x) e (O;y). Del moto rigido si conoscono all’istante t le velocità:
v(O) = vOî e v(B) = vBxî+vByˆj.
Sapendo inoltre che il vettore velocità angolare ω = pî+qˆj+r ˆ k ha componente nulla lungo l’asse z
(r = 0), si chiede:
i. il vettore velocità angolare del corpo rigido;
ii. la velocità del punto A;
iii.tipo di stato cinetico all’istante t.
Esercizio 2.3: All’istante considerato t un cubo rigido di spigolo ℓ ha il vertice A nell’origine del
sistema di riferimento ed i lati AB , AC e AD lungo gli assi (O;x), (O;y) e (O;z) ed è dotato di
due stati cinetici di rotazione (ω1 = 3aî,B) e (ω2 = 4a ˆ k,D) e di uno stato cinetico di traslazione di
velocità v0î; si domanda:

34 2 Cinematica
i. il vettore velocità angolare dello stato cinetico risultante;
ii. la velocità del vertice E opposto ad A;
iii.lo stato cinetico risultante;
iv.se, all’istante considerato, lo stato cinetico risultante è elicoidale determinare l’equazione dell’asse
di Mozzi.
Esercizio 2.4: All’istante considerato t un cubo rigido di spigolo ℓ ha il vertice A nell’origine
del sistema di riferimento ed i lati AB , AC e AD lungo gli assi (O;x), (O;y) e (O;z); sapendo
che le velocità dei vertici B, E (di coordinate (ℓ,ℓ,0)) e F (di coordinate (ℓ,ℓ,ℓ)) sono all’istante
considerato t
v(B) = v0 ˆ k, v(E) = −v0î+vEyˆj e v(F) = vFyˆj+vFz ˆ k,
dove v0 è noto e vEy, vFy e vFz sono da determinare, si domanda:
i. la condizione di rigidità;
ii. se, all’istante considerato, lo stato cinetico risultante è elicoidale determinare l’equazione dell’asse
di Mozzi;
iii.la velocità dei punti dell’asse di Mozzi.
Esercizio 2.5: Il triangolo rettangolo isoscele rigido ABC retto in A ha, all’istante considerato,
il vertice A nell’origine del sistema di riferimento ed i cateti AB e AC, entrambi lunghi ℓ, lungo gli
assi (O;y) e (O;z); sapendo che le velocità dei vertici sono all’istante t
v(A) = −Ksin(Ωt)î+Kcos(Ωt) ˆ k
v(B) = vByˆj+vBz ˆ k
v(C) = vFz ˆ k,
dove K e Ω sono noti e vBy, vCz e vCz sono da determinare, si domanda:
i. la condizione di rigidità del triangolo;
ii. lo stato cinetico;
iii.se, all’istante considerato, lo stato cinetico risultante è elicoidale determinare la velocità dei punti
dell’asse di Mozzi;
iv.se, all’istante considerato, lo stato cinetico risultante è elicoidale determinare l’equazione dell’asse
di Mozzi.
2.3 Moti relativi e applicazioni ai moti rigidi
2.3.1 Velocità e accelerazione assolute e relative
Consideriamo due sistemi di riferimento (O;x,y,z) e (O ′ ;x ′ ,y ′ ,z ′ ) dove assumeremo il secondo
mobile rispetto al primo, il primo sistema prende il nome di sistema di riferimento fisso o assoluto
mentre il secondo prende il nome di sistema di riferimento mobile o relativo. Vogliamo ora studiare
il moto assoluto di un punto P rispetto al primo riferimento se è noto il moto relativo di P rispetto
al secondo e se è noto il moto dell’osservatore mobile rispetto a quello fisso (e viceversa).
Definizione 2.18. Diremo moto di trascinamento il moto rigido della terna mobile (O ′ ;x ′ ,y ′ ,z ′ )
e dei punti solidali con essa rispetto a quella fissa.

Il moto assoluto di P è dato dalla legge
P −O = (O ′ −O)+x ′ î ′ +y ′ ˆj ′ +z ′ˆ k ′
2.3 Moti relativi e applicazioni ai moti rigidi 35
(2.42)
dove x ′ = x ′ (t), y ′ = y ′ (t), z ′ = z ′ (t) sono le equazioni del moto relativo di P e dove i versori î ′ ,ˆj ′
e ˆ k ′
si muovono rispetto all’osservatore assoluto.
È immediato provare che:
Teorema 2.19. Se denotiamo con va(P) e vr(P) le velocità del punto P rispetto al sistema fisso (velocità
assoluta) e rispetto al sistema mobile (velocità relativa) allora vale la seguente relazione:
dove
va(P) = dP
dt
è la velocità di trascinamento, v(O ′ ) = dO′
dt
mobile, e
è l’espressione della velocità relativa.
= vr(P)+vτ(P)
vτ(P) = dO′
dt +ω ×(P −O′ ) (2.43)
e ω sono i vettori caratteristici del moto del sistema
vr(P) = ˙x ′ î ′ + ˙y ′ ˆj ′ + ˙z ′ˆ k ′
Da ciò segue che, in generale, ogni atto di moto assoluto si ottiene componendo i due atti
simultanei di moto relativo e di moto di trascinamento.
Teorema 2.20. Se denotiamo con aa(P) e ar(P) le accelerazioni del punto P rispetto al sistema fisso
(accelerazione assoluta) e rispetto al sistema mobile ( accelerazione relativa) allora sussiste la
seguente relazione:
dove
aa(P) = d2 P
dt 2 = ar(P)+aτ(P)+ac(P) (2.44)
aτ(P) = d2 O ′
è l’accelerazione di trascinamento,
dt2 +x′d2 î ′
dt2 +y′d2 ˆj ′
dt2 +z′d2ˆ
′
k
dt2 ar(P) = ¨x ′ î ′ + ¨y ′ ˆj ′ + ¨z ′ˆ k ′
(2.45)
(2.46)
è l’accelerazione relativa e
⎧
⎨
ac(P) = 2
⎩ ˙x′dî′ + ˙y′dˆj′
dt dt + ˙z′dˆ k ′
⎫
⎬
dt ⎭ = 2ω ×vr(P) (2.47)
è l’accelerazione di Coriolis detta anche accelerazione complementare (sempre ortogonale
all’asse del moto di trascinamento e alla velocità relativa).
Da quanto detto in precedenza si ha che l’accelerazione di trascinamento assume anche la forma
aτ(P) = d2O ′
dt2 + ˙ω ×(P −O′ )+ω ×[ω ×(P −O ′ )] (2.48)

36 2 Cinematica
2.3.2 Derivata vettoriale rispetto ad assi in moto
Se un vettore v := v(t) è riferito ad una terna (O;x,y,z) resta definita la derivata vettoriale di v
come quel vettore che ha per componenti, rispetto alla terna fissata, le derivate delle componenti di
v. Tale derivata non varia se calcolata rispetto ad un’altra terna solidale (o anche traslante) con
la prima; essa varia, invece, quando calcolata rispetto ad una terna in moto rispetto a quella data.
Denotiamo con dv
dt
O la derivata (assoluta) di v rispetto alla terna fissa (O;x,y,z) e con dv
dt
O ′
la derivata (relativa) di v rispetto alla terna mobile (O ′ ;x ′ ,y ′ ,z ′ ). Possiamo supporre, al fine
del
calcolo della derivata vettoriale, O = O ′ . Sia P −O = v, quindi i due vettori dv
dt
O e dv
dt
non
O ′
sono altro che la velocità assoluta e relativa di P; quindi, se ω designa la velocità angolare della terna
(O ′ ;x ′ ,y ′ ,z ′ ) rispetto alla terna (O;x,y,z), segue che:
dv
dt
O
=
dv
dt
O ′
+ω ×(P −O ′ ) =
si noti che le due derivate coincidono sempre e solo quando si annulla ω ×v.
Dalla (2.49), applicata al vettore ω, segue che:
dω dω
=
dt dt O O ′
;
dv
dt O ′
+ω ×v (2.49)
cioé nel moto di un sistema rigido la velocità angolare ha la stessa derivata rispetto alla terna
fissa e a quella solidale con il sistema. In particolare, osservando che la derivata di uno scalare è
indipendentente dalla terna di riferimento, segue che
dversω dversω
= ;
dt dt
cioé:
O
Teorema 2.21. Se durante il moto di un sistema rigido l’asse di moto ha direzione fissa entro il
sistema allora ha direzione fissa nello spazio e viceversa.
La(2.49)permetteinoltredidimostrareilseguente:ognimotoelicoidaleuniformeha,perqualsiasi
centro di riduzione, vettori caratteristici costanti rispetto agli assi mobili.
2.3.3 Precessioni regolari
Sia dato un sistema rigido S che ruota uniformemente intorno ad un asse f solidale con esso;
il quale, a sua volta, mantenendosi solidale ed incidente ad un asse fisso p, ruoti uniformemente
intorno a quest’ultimo. Diremo precessione regolare il moto assoluto di S, generato dal moto
di trascinamento di f intorno a p e dal moto relativo di S intorno a f (l’uno e l’altro moti relativi
uniformi). L’asse p, fisso nello spazio, si dice asse di precessione; l’asse f, fisso nel corpo, asse di
figura; il punto O, comune ai due assi, si dice polo della precessione.
Se ω1 è la velocità angolare di S intorno a f (vettore di lunghezza costante e di direzione e verso
costante rispetto al sistema rigido) e ω2 quella di f intorno a p (vettore di lunghezza costante e fisso
nello spazio), allora la velocità angolare ω dell’atto di moto rotatorio della precessione è data ad ogni
istante da ω = ω1 +ω2 e l’asse di istantanea rotazione passa per O.
O ′

2.4 Cinematica dei sistemi 37
Durante la precessione regolare il prodotto scalare ω1 · ω2 rimane costante. Infatti, il parallelogramma,
individuato da ω1 e ω2 supposti applicati in O, pur ruotando uniformemente intorno al
suo lato disposto lungo la p, conserva inalterata la sua configurazione. Inoltre la linea d’azione della
velocità angolare ω della precessione, cioé il rispettivo asse di moto, si mantiene inclinata di un
angolo costante tanto sulla p quanto sulla f. Infatti, se chiamiamo ϕ l’angolo formato dall’asse di
figura e l’asse di moto si avrà
ω ·ω1
cosϕ = =
ωω1
ω2 1 +ω1 ·ω2
, ω =
ωω1
√
ω ·ω = ω2 1 +ω2 2 +2ω1 ·ω2
costante. In modo analogo si prova che l’angolo formato dall’asse di precessione e l’asse di moto è
costante.
Un esempio di precessione regolare è fornito dal moto della terra intorno al suo centro O. Infatti
l’asse polare f non conserva (rispetto alle stelle fisse) direzione invariabile, bensì ruota a sua volta
uniformementeintornoadunarettapdidirezionefissa,passanteperilcentroterrestreO,ortogonale
al piano dell’eclittica.
2.3.4 Esercizi
Esercizio 2.1: Un punto P si muove con legge nota x1 = x1(t) su una retta (O1;x1) che a sua
volta ruota nel piano (O;x,y) attorno ad un asse normale a tale piano passante per O ≡ O1 con
legge assegnata θ = θ(t), dove θ = xOx1. Studiare il moto di P rispetto all’osservatore O facendo
uso dei Teoremi di composizione delle velocità e delle accelerazioni. Discutere poi i casi particolari:
˙x1(t) = c
a) ˙θ(t)
, c e ω costanti positive;
= ω
x1(t) = Acos(Ωt)
b) , A, Ω e ω costanti positive .
θ(t) = ωt
Esercizio 2.2: Un punto P si muove lungo una circonferenza di raggio R e centro O1 con legge
θ = θ(t), a sua volta la circonferenza trasla nel piano con legge
˙x1(t) = ct
a) , c è una costante;
y1(t) = 0
x1(t) = Acos(Ωt)
b) , A, e Ω costanti positive.
y1(t) = 0
dove (x1,y1) sono le coordinate di O1 rispetto all’osservatore O. Studiare il moto di P rispetto
all’osservatore O facendo uso dei Teoremi di composizione delle velocità e delle accelerazioni. Discutere
poi il caso particolare ˙ θ = ω costante.
2.4 Cinematica dei sistemi
2.4.1 Sistemi olonomi
Se un sistema di N punti è soggetto a vincoli o legami questi si esprimono mediante ℓ equazioni
indipendenti della forma

38 2 Cinematica
fk(x1,...,xN,y1,...,yN,z1,...zN;t) = 0, k = 1,2,...,ℓ, (2.50)
le quali esprimono, analiticamente, le relazioni che, istante per istante, intercedono fra le posizioni
simultanee dei singoli punti Ps, s = 1,...,N, del sistema. Esse si dicono vincoli o legami. Allora,
risolvendo le (2.50) rispetto ad ℓ delle 3N coordinate xs,ys,zs e assumendo come parametri
lagrangiani, denotati q1,...,qn, le rimanenti n = 3N −ℓ, si ottiene un sistema della forma (2.51).
Ps = Ps(q1,q2,...,qn;t), s = 1,2,...,N. (2.51)
In conclusione, si consideri, in generale, un sistema costituito da un numero N qualsiasi di punti
Ps, s = 1,2,...,N, i quali, anziché liberamente mobili gli uni rispetto agli altri, siano vincolati ad
assumere istante per istante soltanto le posizioni rappresentabili mediante certe determinate funzioni
di un numero n ≤ 3N di parametri arbitrari q1,q2,...,qn ed, eventualmente, del tempo del tipo
(2.51). Scalarmente avremo quindi 3N equazioni scalari negli argomenti qh ed, eventualmente, t;
che noi supporremo univalenti, finite, continue e derivabili (fino al II◦ ordine almeno) entro un
determinato campo di valori per gli argomenti.
Ad un dato istante t le (2.51), al variare di qh entro il rispettivo campo di valori, forniscono tutte
e sole le possibili configurazioni del sistema nell’istante considerato.
È manifesto che, se i vincoli
dipendono dal tempo, le configurazioni possibili del sistema in un dato istante t1 non coincidono, in
generale, con quelle relative ad un istante diverso t2.
Se la matrice Jacobiana avente 3N colonne e n righe
∂x1
∂qh
, ∂y1
∂qh
, ∂z1
, ...,
∂qh
∂xN
,
∂qh
∂yN
,
∂qh
∂zN
∂qh
, h = 1,...,n, (2.52)
ha rango massimo n per valori generici delle qh allora si dice che la configurazione del sistema varia
se, e solo se, variano le coordinate lagrangiane (assumendo t fissato) e si dice che n è il grado di
libertà del sistema. Quindi il grado di libertà di un sistema olonomo è il numero di parametri
essenziali da cui dipendono le sue configurazioni in un generico istante.
Definizione 2.22. Un sistema soggetto a vincoli della forma (2.50) si dice olonomo. I parametri
arbitrari q1,q2,...,qn si chiamano coordinate generali o lagrangiane del sistema.
Definizione 2.23. Se il tempo t non compare nelle (2.51) o, equivalentemente, nelle (2.50), il sistema
olonomo si dice a vincoli indipendenti dal tempo o scleronomi; altrimenti si dice a
vincoli dipendenti dal tempo o reonomi.
Vediamo alcuni esempi:
i. Una figura rigida mobile su di un piano è un sistema olonomo con 3 gradi di libertà, in quanto
occorrono e bastano 2 parametri per individuare la posizione di un suo punto M nel piano ed un
ulteriore parametro per fissare la sua orientazione attorno ad M;
ii. Il sistema di due aste rigide mobili nel piano collegate a cerniera è un sistema olonomo con 4 gradi
di libertà, perchè la posizione della cerniera dipende da 2 parametri, ed altri 2 ne occorrono e
bastano per individuare le orientazioni delle 2 aste;
iii.Una sbarra nello spazio è un sistema olonomo con 5 gradi di libertà. Per fissare infatti la
configurazione di un tale sistema basta conoscere la posizione di un suo punto O ′ , che dipende da
tre parametri, e la direzione della sbarra, che dipende da due parametri (ad esempio l’angolo di
nutazione e l’angolo di precessione).

2.4 Cinematica dei sistemi 39
iv.Per un sistema rigido nello spazio i gradi di libertà sono 6, cioé tanti quanti quelli di una terna
di assi (solidale con la figura): tre parametri occorrono per fissarne l’origine e tre l’orientazione.
Se il sistema ha un punto fisso allora il numero di gradi di libertà si riduce a 3. Se il
sistema ha un asse fisso invece il numero di gradi di libertà si riduce a 1.
Il moto del sistema risulterà definito quando le coordinate lagrangiane del sistema sono assegnate
in funzione del tempo. Le equazioni
qh = qh(t), h = 1,2,...,n,
cui si dà luogo, si diranno le equazioni orarie del moto in coordinate lagrangiane. Per l’atto di
moto del sistema, cioé per le velocità vs = v(Ps) dei suoi punti Ps, si ha, derivando le (2.51):
vs = dPs
dt =
Coordinate lagrangiane sovrabbondanti
n ∂Ps
h=1
∂qh
˙qh + ∂Ps
∂t
s = 1,2,...,N. (2.53)
Se ad un sistema olonomo S di coordinate lagrangiane q1,q2,...,qn si impongono uno, o più, ulteriori
vincoli olonomi allora questi si traducono in una o più equazioni nelle qh (ed eventualmente nel
tempo):
fk(q1,q2, ...,qn;t) = 0, k = 1,2,...,ℓ ′ ,ℓ ′ ≤ n, (2.54)
che potremo supporre fra loro indipendenti rispetto alle qh. Il nuovo sistema che si ottiene è ancora
olonomo e il suo grado di libertà si riduce a n−ℓ ′ . In particolare per ogni possibile sistema olonomo
di N punti si possono assumere come coordinate sovrabbondanti le 3N coordinate cartesiane xs,ys,zs
dei suoi N punti, le quali, se n è il grado di libertà del sistema, risulteranno legate fra di loro da
ℓ = 3N −n equazioni del tipo (2.50).
2.4.2 Sistemi anolonomi
Se ad un sistema olonomo di coordinate lagrangiane indipendenti qh, si impone un ulteriore vincolo
olonomo
f(q1,q2,...,qn;t) = 0; (2.55)
questo implica una limitazione, non soltanto per le configurazioni del sistema, ma anche per i suoi
spostamenti possibili. In particolare si ha il seguente vincolo di mobilità: n ∂f
h=1 ∂qh ˙qh + ∂f
= 0, ∂t
ottenuto derivando le (2.55).
Introduciamoilconcettodivincolo di mobilitàespressomedianteunaformadifferenzialelineare
del tipo:
o equivalentemente, essendo dqh = ˙qhdt,
n
ahdqh +bdt = 0, (2.56)
h=1

40 2 Cinematica
n
ah˙qh +b = 0,
h=1
dove le ah e b siano funzioni delle coordinate q1, q2, ..., qn ed, eventualmente di t, comunque
prefissate, anche se la (2.56) non sia deducibile per differenzazione da una relazione in termini finiti
(2.55) fra le qh ed, eventualmente, la t.
Definizione 2.24. Ogni vincolo di mobilità (2.56) non deducibile per differenzazione da una relazione
in termini finiti tra le qh ed, eventualmente, t si dice anolonomo. Si dice omogeneo o no, secondo
che la funzione b è o no identicamente nulla. Diremo poi sistema anolonomo ogni sistema soggetto
ad uno o più vincoli anolonomi.
La differenza tra i vincoli olonomi e anolonomi risiede nel fatto che questi ultimi non impongono
alcuna limitazione alle configurazioni del sistema ma implicano soltanto delle
restrizioni per gli spostamenti possibili del sistema, cioé per la sua mobilità.
Interpretazione geometrica dei vincoli olonomi e anolonomi
Come si può facilmente osservare il sistema meccanico a n gradi di libertà ha vincoli olonomi
indipendenti dal tempo se l’insieme delle sue configurazioni è individuato da una sottovarietà
regolare Vn, detto spazio delle configurazioni, Vn × R prende il nome di spazio-tempo delle
configurazioni.
Esempio di vincolo di mobilità integrabile
.
Fig. 2.10. Discocherotolasenza strisciare. Nel
puntodicontattoK lavelocitáditrascinamento
ad ogni istante é nulla.
θ
Consideriamo un disco rigido mobile nel piano (O;x,y)
che si mantenga sempre appoggiato all’asse (O;x) e che sia
vincolato a scorrere senza strisciare su quest’asse. Si
possono assumere quali parametri lagrangiani la coordinata
ascissa x del centro C del disco e l’angolo θ di rotazione.
La condizione di puro rotolamento implica vτ(K) = 0 dove
K è il punto di contatto tra il disco e l’asse; vτ(K) è la
velocità di trascinamento. Questa condizione si traduce
nella relazione
˙x+R ˙ θ = 0
che rappresenta quindi un vincolo di mobilità omogeneo.
Questoèimmediatamenteintegrabileedàlarelazione
x = −Rθ +x0
che rappresenta un vincolo olonomo. Osserviamo che se imponiamo al disco di rotolare senza
strisciare su un piano senza prefissare la traiettoria del punto di contatto allora il vincolo di
puro rotolamento si traduce in due vincoli di mobilità non integrabili, cioé anolonomi.
Vincoli propriamente anolonomi
È possibile poi caratterizzare ulteriormente i vincoli anolonomi.

2.4 Cinematica dei sistemi 41
Definizione 2.25. Diremo propriamente anolonomo un sistema se i vincoli di mobilità (2.56),
cui esso è soggetto, sono tali che non esista nemmeno una relazione
F(q1,q2,...,qn;t) = Cost. (2.57)
il cui differenziale si possa porre sotto forma di una combinazione lineare delle (2.56).
Esempio di sistema propriamente anolonomo
Consideriamo una sfera rigida S costretta a rotolare senza strisciare su di un piano fisso. Si posso
scegliere come coordinate lagrangiane del nostro sistema i cinque parametri: x, y (coordinate della
proiezione del centro C della sfera sul piano) e θ, ψ, φ (angoli di Eulero); ovviamente z = R. Ad
ogni sistema di valori di questi 5 parametri corrisponde una posizione della sfera a contatto con il
piano z = 0. Se queste 5 coordinate sono funzioni del tempo si ottengono le equazioni di un moto
della sfera S a contatto con il piano. Ma questo moto non è, in generale, di puro rotolamento,
bensì implica, istante per istante, uno strisciamento della sfera sul piano. La condizione di puro
rotolamento implica che deve essere costantemente nulla la velocità di trascinamento del punto di
contatto K, il quale, in generale, varia da istante ad istante tanto sul piano fisso quanto sulla sfera.
Denotando con v◦ e ω i vettori caratteristici del moto della sfera rispetto al suo centro C, si dovrà
avere, ad ogni istante, che la velocità di trascinamento di K sia nulla:
Scalarmente:
vτ(K) = v◦ +ω ×(K −C) = 0.
dove π,χ,ρ sono le componenti di ω rispetto agli assi fissi dove
da cui seguono, in particolare,
˙x−Rχ = 0, ˙y +Rπ = 0 (2.58)
π = ˙ θcosψ + ˙ φsinθsinψ, χ = ˙ θsinψ − ˙ φsinθcosψ (2.59)
∂π
∂ψ
= −χ, ∂χ
∂ψ
= π. (2.60)
Le equazioni (2.58) sono le equazioni del vincolo di puro rotolamento ed esse non si possono
integrare. Infatti esse si possono scrivere come
˙x−Rsinψ ˙ θ+Rsinθcosψ ˙ φ = 0
˙y +Rcosψ ˙ θ+Rsinθsinψ ˙ φ = 0
e la condizione necessaria affinchè le (2.58) siano integrabili implica che siano verificate le seguenti
identità:
∂(Rsinθcosψ)
∂θ
= ∂(−Rsinψ)
∂φ
e
∂(Rsinθsinψ)
∂θ
= ∂(Rcosψ)
∂φ
che risultano manifestamente non verificate identicamente. Inoltre, si può verificare che non
esiste nessuna relazione (2.57) in termini finiti, fra le coordinate lagrangiane x,y,θ,φ,ψ e il tempo,
la quale, derivata rispetto a t, conduca ad una combinazione lineare delle (2.58).

42 2 Cinematica
2.4.3 Spostamenti infinitesimi reali e virtuali
Spostamenti infinitesimi reali
Durante il moto del sistema olonomo soggetto alla (2.51) si ha che la velocità del generico punto Ps
vale
v(Ps) =
n ∂Ps
h=1
∂qh
˙qh + ∂Ps
, s = 1,...,N.
∂t
Pertanto il differenziale dPs, che rappresenta lo spostamento infinitesimo reale del punto Ps, vale
dPs =
Spostamenti infinitesimi virtuali
n ∂Ps
dqh +
∂qh
∂Ps
dt, s = 1,...,N.
∂t
h=1
Definizione 2.26. Diremo spostamenti virtuali di un sistema olonomo gli ipotetici spostamenti
(infinitesimi) che sono atti a far passare il sistema da una qualsiasi sua configurazione ad un’altra
(infinitamente vicina) relativa al medesimo istante.
Dato un sistema olonomo, lo spostamento subito da un suo punto Ps in uno spostamento virtuale
dell’intero sistema si indica con δPs e le sue componenti secondo gli assi si denotano con δxs,δys,δzs.
Si trova per gli spostamenti virtuali, nel caso di un sistema olonomo riferito a coordinate lagrangiane
indipendenti, l’espressione generale
n ∂Ps
δPs = δqh s = 1,2,...,N (2.61)
h=1 ∂qh
che risulta lineare omogenea nelle variazioni elementari (arbitrarie e indipendenti) δqh delle coordinate
lagrangiane (anche se i vincoli dipendono dal tempo).
Di fatto gli spostamenti (infinitesimi) sono una forma differenziale lineare rispetto alle n variabili
q1, q2, ...,qn.
Componendo, a partire dalla stessa configurazione del sistema, due o più spostamenti virtuali, si
ottiene ancora uno spostamento virtuale.
Se i vincoli sono indipendenti dal tempo si ha che gli spostamenti virtuali coincidono con i possibili
spostamenti (infinitesimi) reali. In generale questo non è vero; infatti se denotiamo con dP lo
spostamento infinitesimo reale allora
dP =
che differisce da δP per il termine ∂P
∂t dt.
Spostamenti virtuali dei sistemi anolonomi
n
h=1
∂P
∂qh
dqh + ∂P
∂t dt
Seilvincoloanolonomoeradefinitomediantevincolidimobilitàdeltipo(2.56)allorasaràconsiderato
come spostamento virtuale ogni spostamento ipotetico che sia atto a far passare il sistema da

γ
δ
.
δ
σ
π
2.4 Cinematica dei sistemi 43
Fig. 2.11. Durante il moto di un punto P su una superficie σ lo spostamento infinitesimo reale dP sará tangente alla traiettoria
γ. Gli spostamenti infinitesimi virtuali δP hanno luogo sul piano tangente π alla superficie σ in P.
una configurazione C ad un’altra infinitamente vicina C ′ , compatibile con lo stato dei vincoli al
medesimo istante; con l’ulteriore condizione che anche l’ipotetico spostamento obbedisca
a quei medesimi vincoli di mobilità che sono imposti ad ogni moto effettivo del sistema.
Cioé la variazione δqh delle coordinate lagrangiane dovrà essere tale che:
n
ahδqh = 0. (2.62)
h=1
Cioé, per un sistema anolonomo, gli spostamenti virtuali sono dati dalle (2.61) dove i termini δqh
non sono più arbitrari e indipendenti, bensì devono soddisfare i vincoli di mobilità.
Spostamenti invertibili
Dalla(2.61)seguecheunsistemaolonomo,adogniistanteeapartiredaogniconfigurazione,ammette
insieme con ogni suo spostamento virtuale δPi anche il suo opposto −δPi; cioé nei sistemi olonomi
tutti gli spostamenti virtuali sono invertibili. Infatti se le δqh soddisfano le (2.61) allora anche
−δqh le soddisfano.
Spostamenti virtuali di un sistema rigido
I vincoli di rigidità sono espressi da equazioni della forma:
(xi −xj) 2 +(yi −yj) 2 +(zi −zj) 2 = cost, i,j = 1,...,N.
e sono, manifestamente, olonomi e indipendenti dal tempo; quindi in un sistema rigido gli
spostamenti (infinitesimi) virtuali non differiscono dagli spostamenti (infinitesimi) reali o effettivi.
Questi ultimi rientrano nel tipo

44 2 Cinematica
dP = dO ′ +âdθ×(P −O ′ ) (2.63)
dove dO ′ rappresenta lo spostamento (infinitesimo) del centro di riduzione e âdθ la rotazione (infinitesima)
attorno all’asse istantaneo passante per O ′ e, all’istante considerato t, avente verso e
direzione dati da â; completamente arbitrari nel caso di un sistema rigido libero. In tal caso la
(2.63) fornisce la rappresentazione di tutti gli spostamenti virtuali di un sistema rigido:
δP = δO ′ +ω ′ ×(P −O ′ ),
dove designamo âδθ con ω ′ .
Se il sistema rigido, invece che essere libero, ha un punto fisso, conviene prendere tale punto come
centro di riduzione O ′ ; quindi il vettore caratteristico δO ′ è sempre nullo. Il complesso di tutti gli
spostamenti virtuali si riduce quindi a
2.4.4 Sistemi a legami unilaterali
δP = ω ′ ×(P −O ′ ).
Definizione 2.27. Un sistema ad n gradi di libertà
Ps = Ps(q1,...,qn;t), s = 1,2,...,N, (2.64)
si dice soggetto a vincoli unilateri (di posizione), se le rispettive coordinate lagrangiane debbono
soddisfare ad un certo numero di relazioni (dipendenti o no dal tempo) del tipo:
φj(q1,q2,...,qn;t) ≤ 0, j = 1,2,...,r. (2.65)
Viceversa si dicono bilateri i vincoli olonomi considerati precedentemente.
Fra le configurazioni, di cui è suscettibile un sistema (2.64) soggetto a vincoli unilateri, si dicono
ordinarie quelle in cui le relazioni (2.65) sono soddisfatte tutte come vere disuguaglianze, mentre
sidiconoconfigurazionidiconfinequelleincuialmenounadelle(2.65)èsoddisfattaperuguaglianza.
Un esempio tipico è costituita da due punti P1 e P2 collegati tra loro da un filo inestendibile di
lunghezza λ: la relazione (2.65) diventa
(x2 −x1) 2 +(y2 −y1) 2 +(z2 −z1) 2 −λ 2 ≤ 0.
Quando la distanza tra i due punti è minore di λ allora saremo nel caso di configurazioni ordinarie,
quando la distanza è invece esattamente λ allora saremo nel caso di configurazioni di confine.
Estendendo ai sistemi a vincoli unilateri la definizione di spostamento virtuale avremo che, per un
sistema (2.64), sottoposto ai vincoli (2.65), ogni spostamento virtuale, a partire dalla configurazione
di coordinate lagrangiane q1,q2,...,qn, sarà dato da δPs = n ∂Pi
h=1 ∂qh δqh, s = 1,...,N; dove le
variazioni δqh delle coordinate lagrangiane dovranno soddisfare alle relazioni
φj(q1 +δq1,q2 +δq2,...,qh +δqh;t) ≤ 0, j = 1,2,...,r;
ossia, a meno di infinitesimi di ordine superiore al primo, alle
n ∂φj
φj(q1,q2,...,qn;t)+δφj = φj(q1,q2,...,qn;t)+ δqh ≤ 0. (2.66)
h=1 ∂qh

2.4 Cinematica dei sistemi 45
Da ciò segue che, per ragioni di continuità, a partire da una configurazione ordinaria, i vincoli
unilateralinonimpongonoalcunalimitazionedimobilità. Se,invece,sipartedaunaconfigurazionedi
confine, cioé da una configurazione in cui si annulla almeno una delle φj, ad es. φj ′, la corrispondente
relazione (2.66) impone la condizione
δφj ′ =
n ∂φj
h=1
′
δqh ≤ 0. (2.67)
∂qh
Segue che: i vincoli unilaterali implicano delle condizioni per gli spostamenti virtuali
soltanto a partire dalle condizioni di confine. Più precisamente: purché si parta da una configurazione
ordinaria, per un sistema a vincoli unilateri tutti gli spostamenti virtuali sono invertibili.
Non così se si muove da una configurazione di confine, in particolare: a partire da una configurazione
di confine, gli spostamenti virtuali sono in generale non invertibili. Sono invertibili tutti e solo
quelli che con ogni relazione (2.65) soddisfatta per uguaglianza, soddisfano anche la corrispondente
δφj ′ = 0.
Ad esempio: un punto appoggiato al piano (fisso) z = z0 deve soddisfare alla relazione φ(x,y,z) ≤
0, dove φ(x,y,z) = z0−z. La (2.67) assume la forma δφ = −δz. Se prendiamo spostamenti virtuali
che lasciano il punto nel piano (cioé con δx e δy arbitrari e con δz = 0) allora questi sono invertibili
poiché per questi si ha δφ = 0. Se invece prendiamo spostamenti virtuali che ci spostano il punto
dal piano (cioé con δz > 0) allora questi non sono invertibili.
2.4.5 Esercizi
Esercizio 2.1: Si consideri il sistema meccanico costituito da un’asta rigida mobile nel piano
(O;x,y) e soggetta al seguente vincolo: la velocità del punto medio dell’asta deve essere parallela
all’asta stessa (pattino). Dimostrare che questo vincolo è anolonomo, cioé tale vincolo di mobilità si
traduce in una forma differenziale lineare non integrabile.

3
Generalità sui sistemi e grandezze meccaniche
3.1 Concetti e postulati fondamentali della meccanica
3.1.1 Forza
Assumeremo come primitivo il concetto di forza dove intenderemo per forza ogni ente fisico
capace di modificare il moto o lo stato di quiete di un punto materiale rispetto ad un
dato osservatore e lo rappresenteremo matematicamente come un vettore applicato (P,F) in cui
P è il punto di applicazione della forza e F è un vettore. È possibile misurare la forza attraverso un
dinamometro, la direzione del dinamometro coincide con la direzione della forza, ha verso opposto e
l’elongazione del dinamometro è proporzionale alla intensità della forza.
Sovrapposizione degli effetti di forze simultanee
Qualunque sia il numero delle forze agenti sopra un punto materiale (vettori applicati nel punto),
esse sono sempre sostituibili, nei riguardi del moto del punto, con un’unica forza, rappresentata dalla
loro risultante geometrica, che si dice forza totale applicata al punto.
3.1.2 Leggi di Newton
Enunciamo ora le seguenti 3 leggi della Meccanica che hanno evidenza sperimentale. Queste leggi
derivano, sostanzialmente, con quelle poste da Newton (per una analisi delle leggi di Newton, della
definizione di forza e di massa è opportuno approfondire mediante testi opportuni, ad es. E. Mach
”La Meccanica nel suo sviluppo Storico Critico”).
i. Il Primo principio della Meccanica postula l’esistenza di almeno un riferimento (O;x,y,z),
detto riferimento assoluto, tale che un punto materiale che si trovi ”lontano” dagli altri oggetti
dell’universo risulti sottoposto a forza nulla in tale sistema di riferimento. Per definizione di
forza segue che tale punto sarà in quiete rispetto a tale riferimento. Questo riferimento si
identifica sperimentalmente con un riferimento solidale con la terra in prima approssimazione; con
precisione maggiore sono assoluti i sistemi di riferimento solidali con il Sole, con le stelle avente
origine in una ”stella fissa” e con assi orientati verso altre tre ”stelle fisse”, etc.. Si definiscono
usualmente come forze assolute o vere le forze che agiscono su un punto materiale osservato in
questo riferimento.

48 3 Generalità sui sistemi e grandezze meccaniche
ii. Il Secondo principio della Meccanica postula l’esistenza di una costante m > 0, caratteristica
del punto materiale e indipendente dal sistema di riferimento scelto, tale che
ma = F
dove a è l’accelerazione del punto e F è il vettore della forza applicata sul punto misurate da uno
stesso osservatore. Tale equazione prende il nome di equazione di Newton. La costante m prende
il nome di massa (inerziale) del punto è può essere sperimentalmente misurata attraverso una
massa-peso campione.
iii.Il Terzo principio della Meccanica, detto anche principio di azione e reazione, postula
che dati due corpi puntiformi A e B, se su A è applicata una forza (A,F) dovuta a B allora su
B è applicata la forza (B,−F) dovuta a A ed entrambe hanno la stessa linea d’azione (cioè sono
passanti per la congiungente)
A dispetto del nome (leggi di Newton) queste leggi sono enunciate in modo diverso da diversi
autori e la stessa definizione di forza e massa viene data in modo diverso. Secondo alcuni autori (ad
esempio Mach e poi Fasano-Marmi) la massa viene definita a partire dal concetto di accelerazione,
la forza (vedi Fasano-Marmi) viene definita come ma, etc.. Qui si è scelto di seguire la impostazione
di Gallavotti. Vogliamo anche ricordare l’impostazione proposta da Graffi nella quale la prima legge
della Dinamica coincide, essenzialmente, con la nostra definizione di forza.
3.1.3 Forze fittizie
Consideriamo due osservatori (O;x,y,z) e (O ′ ;x ′ ,y ′ ,z ′ ) in moto tra loro con moto qualsiasi e noto,
dove il primo osservatore è un osservatore assoluto. Il secondo principio della Meccanica afferma che
rispetto ai due osservatori sono valide le equazioni
ma = F e ma ′ = F ′
dove a e a ′ sono le accelerazioni di un punto libero P rispetto ai due osservatori e F e F ′ sono le forze
misurate su P dai due osservatori, la forza (F,P) sarà la forza assoluta applicata in P. Cerchiamo
di studiare la relazione che lega F e F ′ . Dal Teorema di composizione delle accelerazioni segue che
Il termine
F ′ = F−maτ(P)−mac(P).
Fτ(P) = −maτ(P)
prende il nome di forza di trascinamento e dipende dalla posizione del punto e, eventualmente,
dal tempo. Il termine
Fc(P) = −mac(P)
prende il nome di forza di Coriolis o complementare e dipende dalla velocità relativa del punto
e, eventualmente, dal tempo. Queste due forze prendono il nome di forze fittizie.
In Dinamica è consuetudine chiamare moto assoluto il moto riferito ad una qualsiasi terna che
conservi posizione invariata rispetto al riferimento assoluto. Quando scriveremo

3.1 Concetti e postulati fondamentali della meccanica 49
ma = F (3.1)
senza specificare altro allora le grandezze vettoriali F e a si pensano misurate in tale riferimento.
L’equazione fondamentale (3.1) si conserva rigorosamente valida quando il moto del punto sia riferito
ad una qualsiasi terna, animata da un moto traslatorio uniforme rispetto al riferimento
stellare poiché in tal caso Fτ(P) = Fc(P) = 0. Tali terne si diranno terne inerziali o galileiane.
Ogni sistema di riferimento che si muove di moto traslatorio uniforme rispetto al riferimento assoluto
si dice inerziale.
3.1.4 Reazioni vincolari
Consideriamo un punto materiale P, comunque vincolato e sollecitato, e supponiamo di saper riconoscere
le varie forze che agirebbero su P se fosse libero, e indichiamone con (P,F) la risultante,
che chiameremo forza attiva o direttamente applicata. È ovvio che il moto del punto vincolato
è dovuto non soltanto alla sollecitazione attiva, ma anche all’azione dei vincoli. In particolare vale il
seguente:
Postulato delle reazioni vincolari. Per un punto materiale comunque vincolato e sollecitato
da forze, l’azione dei vincoli è sostituibile con quella di una forza aggiuntiva, che si dice
reazione o forza vincolare denotata con φ.
In virtù di tale postulato l’equazione fondamentale della Dinamica diventa:
ma = F+φ. (3.2)
Le azioni dei vincoli si manifestano quindi mediante forze; esse però hanno proprietà diverse dalle
forze ordinarie applicate ai corpi, usualmente denotate forze attive per distinguerle dalle reazioni
vincolari. Infatti, mentre nei problemi concreti le forze attive sono, in generale, note, le reazioni vincolari
sono incognite. Molto spesso però si conoscono i punti di applicazione delle reazioni vincolari,
che sono situati dove il vincolo agisce. Ad esempio le reazioni dovute a un punto fisso sono sul punto
stesso, quelle dovute ad un appoggio sui punti del corpo a contatto con l’appoggio. Talvolta è poi
possibile prevedere la direzione e anche il verso della reazione vincolare; più precisamente assumiamo
valido il seguente postulato di evidenza sperimentale:
Postulato: La reazione vincolare applicata in un certo punto ha direzione e verso opposto di uno
spostamento (totalmente) proibito di quel punto.
Per spostamento totalmente proibito da P a P ′ (in un intorno di P) si intende uno spostamento
ipotetico, impedito dalla natura dei vincoli e tale che lo porterebbe in P ′ , P non può avvicinarsi a
P ′ in nessun modo con spostamenti consentiti dai vincoli. Così, ad esempio, per un punto materiale
P appoggiato ad un piano orizzontale gli spostamenti (totalmente) proibiti sono solo quelli che
porterebbero il punto P dentro al piano verticalmente, uno spostamento di P verso il piano (ma non
verticale) può essere infatti realizzata mediante uno spostamento prima orizzontale (che avvicina P
a P ′ ) e poi verticale. In questo caso abbiamo che la reazione vincolare è necessariamente normale al
piano e diretta dal piano verso il punto, cioé è determinata la direzione ed il verso della reazione
vincolare mentre rimane incognita la intensità. Altri casi di notevole interesse sono:
- punto vincolato ad una superficie, in questo caso la reazione vincolare
φ = φN
é normale al piano tangente alla superficie nel punto P;

50 3 Generalità sui sistemi e grandezze meccaniche
.
.
Fig. 3.1. Punto vincolato al piano orizzontale: nella figura di sinistra lo spostamento da P a P ′ é totalmente proibito, nel
secondo caso no poiché P si puó avvicinare a P ′ con uno spostamento ammesso dai vincoli.
- punto vincolato ad una curva, in questo caso la reazione vincolare
φ = φnˆn+φb ˆ b
é normale alla retta tangente alla superficie nel punto P;
- punto fisso, dove tutti gli spostamenti sono (totalmente) proibiti e quindi la reazione è completamente
indeterminata.
3.1.5 Equilibrio di un punto materiale e legge del moto incipiente
Definizione 3.1. Si dice che un punto materiale è in equilibrio, o che le forze che lo sollecitano
si fanno equilibrio, quando l’azione complessiva di queste forze è tale da mantenere in quiete il
punto; cioé non determina sul punto, a partire dalla quiete, alcuna variazione di velocità.
Dalla (3.2) risulta che per l’equilibrio di un punto, vale a dire perché esso abbia un’accelerazione
costantemente nulla, occorre e basta, che si annulli la forza attiva, se si tratta di un punto
libero, o la risultante della forza attiva e della reazione, se si tratta di un punto vincolato. In
quest’ultimo caso condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio è che la forza attiva sia direttamente
opposta alla reazione. Più precisamente:
Teorema 3.2. Condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio di un punto materiale è che esista
un sistema di reazioni vincolari, compatibili con la natura dei vincoli, tale da equilibrare le forze
attive.
Legge del moto incipiente
Supponiamo che un punto P, ad un dato istante t0, cominci a muoversi a partire dalla quiete, sotto
la sollecitazione di un forza non nulla di vettore F. Dovendo essere
.
F(t0)
m = a(t0)
v(t)−v(t0)
= lim
t→t0 t−t0
.
v(t)
= lim
t→t0 t−t0

3.1 Concetti e postulati fondamentali della meccanica 51
segue, per continuità, che la direzione ed il verso del moto nell’istante t immediatamente
successivo a t0 coincidono con quelli di F; in altri termini si ha che
3.1.6 Forze posizionali e forze conservative
v(t) = F(t0)
m (t−t0)+o(t−t0).
Nella Meccanica, in generale, se consideriamo un punto P soggetto a forze dovute alla presenza di
altri corpi e al moto dell’osservatore rispetto ad un riferimento inerziale si osserva che la forza (P,F)
ha vettore F che dipende, oltre che dalla posizione P del punto, anche dal tempo t e dalla velocità
v = ˙ P del punto stesso:
F = F(P, ˙
P;t).
Noi,nelseguito,supporremotaledipendenzaregolare. Seilpuntofosseisolatoel’osservatoreinerziale
tale forza avrebbe vettore F = 0. Se, invece di un punto solo, consideriamo un sistema di N punti Ps,
s = 1,...,N, soggetti alla forza dovuta alla presenza di altri corpi, al moto dell’osservatore rispetto
ad un riferimento inerziale e alla mutua interazione tra i punti Ps si osserva che la forza (Ps,Fs) ha
vettore Fs che dipende dalle posizioni dei punti, dal tempo e dalle velocità dei punti:
Fs = Fs(P1,...,Pn, ˙
P1,..., ˙
PN;t) = Fs(Pr, ˙
Pr;t), r = 1,...,N.
Se, in particolare, tutti i punti Pr, r = s, sono fissi rispetto al riferimento in cui si sta considerando
il moto (tra loro) allora si avrà Fs = Fs(Ps, ˙ Ps;t). Osserviamo poi che le forze tra i punti Ps (e tra
i punti e gli eventuali vincoli) dipendono effettivamente dalle mutue posizioni Ps−Pr e dalle mutue
velocità ˙ Ps− ˙ Pr; quindi possiamo concludere che queste forze interne e le reazioni vincolari non
dipendono dall’osservatore.
Forze posizionali
Definizione 3.3. Una forza applicata nel punto P e di vettore F, si dirà posizionale se F è esprimibile
come vettore funzione di P:
F = F(P).
Ossia, indicando con Fx,Fy,Fz le componenti di F rispetto a tre assi e con x,y,z le coordinate della
posizione di P, sarà:
Fx = Fx(x,y,z), Fy = Fy(x,y,z), Fz = Fz(x,y,z).
Definizione 3.4. La regione spaziale C, in cui è definita una forza posizionale, si dice campo di
forza. Un campo di forza si dice si dice uniforme se la rispettiva forza è costante (di direzione e
di intensità).
Data una forza posizionale e quindi definito un campo di forza diremo linee di forze (o linee del
campo) le curve γ che in ogni punto P risultano tangenti al vettore F della forza applicato in P. Si
ha che per ogni punto passa una, ed una sola, linea di forza (purché la forza non sia nulla) e le linee
di forza risultano definite come le curve integrali del sistema
dx
Fx
= dy
Fy
= dz
.
Fz

52 3 Generalità sui sistemi e grandezze meccaniche
Forze conservative
Tra i campi di forza sono particolarmente interessanti quelli il cui prodotto scalare F·dP della forza
F del campo, applicata in P, per un qualsiasi spostamento elementare dP = dxî + dyˆj + dz ˆ k del
punto di applicazione P è il differenziale esatto di una funzione U di P:
F·dP = Fx(x,y,z)dx+Fy(x,y,z)dy +Fz(x,y,z)dz = dU. (3.3)
Tali campi di forza si dicono conservativi, e la funzione U(x,y,z), che noi supporremo uniforme
(=monodroma, cioé ad un sol valore), finita, continua e derivabile, almeno fino al II ◦ ordine, in tutto
il campo, si dice potenziale del campo ed è definita a meno di una costante additiva.
Scrivendo la (3.3) in forma esplicita
Fxdx+Fydy +Fzdz = ∂U
∂x
∂U ∂U
dx+ dy +
∂y ∂z dz
e, notando che questa identità deve sussistere per qualsiasi scelta dello spostamento elementare
dx,dy,dz deve essere:
Fx = ∂U
∂x , Fy = ∂U
∂y , Fz = ∂U
∂z
cioé F = ∇U. (3.4)
In particolare: la derivata del potenziale secondo una direzione qualsiasi non è altro che
la componente della forza del campo secondo quella direzione.
Dalle (3.4) si trovano le tre relazioni:
∂Fy
∂z
∂Fz ∂Fz
= ,
∂y ∂x
∂Fx ∂Fx
= ,
∂z ∂y
∂Fy
= , (3.5)
∂x
cioé l’esistenza di un potenziale implica condizioni restrittive per le tre funzioni Fx,Fy,Fz di
x,y,z: in altri termini una forza posizionale F non è in generale conservativa.
La condizione (3.5) è sotto alcune condizioni pure sufficiente per definire una forza conservativa.
Più precisamente:
Teorema 3.5. Condizione necessaria affinché una forza (P,F) sia conservativa è che essa sia
posizionale e che la (3.5) sia verificata. Condizione sufficiente affinché una forza (P,F) sia
conservativa è che essa sia posizionale e che la (3.5) sia verificata su un dominio C semplicemente
connesso.
Dimostrazione. Rimane da dimostrare la parte sufficiente: supponiamo, per semplicità, che il punto
P si muova nel piano (O;x,y) e che sia Fz ≡ 0; quindi Fx = Fx(x,y), Fy = Fy(x,y) e la (3.5) si
riduce alla condizione
∂Fx
∂y
= ∂Fy
∂x
vera per ogni (x,y) ∈ C nel piano. Il dominio C, essendo semplicemente connesso e piano, allora non
contiene ”buchi” e, per fissare le idee, assumiamo sia del tipo C = [a1,a2]×[b1,b2]. Sia (x0,y0) ∈ C
fissato e sia (x,y) ∈ C qualunque, definiamo

e proviamo che
U(x,y) =
x
x0
Fx(ξ,y)dξ +
∂U
∂x = Fx e ∂U
∂y
3.1 Concetti e postulati fondamentali della meccanica 53
y
y0
= Fy.
Fy(x0,η)dη (3.6)
La prima verifica è immediata. Per ciò che riguarda la seconda verifica assumendo che Fx sia
sufficientemente regolare 1 in modo da potere derivare sotto il segno di integrale; così facendo si
ottiene che
∂U
∂y =
x
∂Fx(ξ,y)
x ∂Fy(ξ,y)
dξ +Fy(x0,y) = dξ +Fy(x0,y)
x0 ∂y
x0 ∂x
= Fy(x,y)−Fy(x0,y)+Fy(x0,y) = Fy(x,y)
completando così la dimostrazione. Nel caso generale in cui la forza dipenda anche dalla variabile z
il ragionamento può essere facilmente esteso quando C = [a1,a2]×[b1,b2]×[c1,c2] e dove prendiamo
U(x,y,z) =
x
x0
Fx(ξ,y,z)dξ +
y
y0
Fy(x0,η,z)dη +
z
z0
Fz(x0,y0,ζ)dζ.
Osserviamo che questo caso, a differenza del caso in cui C è piano, non è il più generale poiché
nello spazio è possibile avere insiemi semplicemente connessi con ”buchi”. Osserviamo anche che la
dimostrazione fornita è di tipo costruttivo, ovvero viene fornita con la (3.6) l’espressione esplicita del
potenziale.
In un campo di forze conservativo di potenziale U, si dicono superfici equipotenziali le superfici
definite dalla condizione U(x,y,z) = Cost.. Se al punto di applicazione della forza si fa subire uno
spostamento elementare dP sulla superficie equipotenziale allora, in quanto U si mantiene costante,
F·dP = 0, quindi la F è ortogonale a dP. Poiché ciò vale qualunque sia lo spostamento elementare
dP sulla superficie equipotenziale, allora in un campo conservativo le linee di forza sono le
traiettorie ortogonali alle superfici equipotenziali.
Esempi di campi conservativi
i. È conservativo ogni campo uniforme. Se F è il vettore della forza (costante di intensità, verso
e direzione) allora (con una opportuna scelta degli assi) F = Fˆ k e F·dP = Fdz è un differenziale
esatto, integrando si ottiene U = Fz +U0, dove U0 è una costante additiva arbitraria.
ii. La forza ha direzione fissa e intensità dipendente esclusivamente dalla distanza del punto di
applicazione da un certo piano fisso, ortogonale alla direzione della forza. Scelto questo piano
come piano di riferimento z = 0 allora F = φ(z) ˆ k, quindi F·dP = φ(z)dz è un integrale esatto,
integrando si ottiene U(z) = z φ(τ)dτ +U0. z0
iii.La forza è, in ogni punto P, diretta verso un certo punto fisso O ed ha intensità dipendente
esclusivamente dalla distanza ρ = OP, del punto di applicazione dal centro O (forza centrale):
1
Più precisamente si assume che, vedi Teorema 9.1 a pag. 257 del Giusti, la funzione Fx(ξ,y) sia integrabile rispetto a ξ e
di classe C 1 rispetto a y, inoltre assumiamo che esistano due funzioni g0(x) e g1(x) integrabili tali che |Fx(ξ,η)| ≤ g1(ξ) e
≤ g1(ξ).
∂Fx(ξ,η)
∂ξ

54 3 Generalità sui sistemi e grandezze meccaniche
F = φ(ρ)ˆr, ˆr = 1
(P −O).
ρ
Il prodotto scalare F·dP si può esprimere come prodotto delle componenti F e di dP secondo la
stessa direzione P −O:
F·dP = φ(ρ)ˆr·d(ρˆr) = φ(ρ)ˆr·[dρˆr+ρdˆr] = φ(ρ)dρ
poiché ˆr ⊥ dˆr. Quindi F·dP = φ(ρ)dρ è un differenziale esatto e integrando si ottiene:
U(ρ) =
ρ
ρ0
φ(τ)dτ +U0.
Le superfici equipotenziali U(ρ) = Cost. sono le sfere concentriche in O: ρ = Cost..
iv.Diamo un esempio di potenziale non univalente (=polidroma, cioé a più valori) in due dimensioni.
Immaginiamo introdotte le coordinate polari e sia la forza (P,F) del campo, in un generico
punto del piano P, distinto dall’origine O, così definita: F ha direzione normale al raggio vettore
P −O, verso delle anomalie crescenti, intensità k/ρ con k costante. Abbiamo escluso l’origine. Il
prodotto scalare F·dP = kdθ, e quindi kθ si può considerare come potenziale del campo. Si noti
che U non è funzione univalente del posto; infatti, partendo da un punto P e girando attorno
all’origine con continuità si torna a P con U incrementato (o decrementato) di 2πk. Osserviamo
che, in componenti cartesiane, si ha
y
Fx = k
x2 +y2 x
e Fy = −k
x2 +y2 e che la condizione (3.5) viene verificata; osserviamo però che ciò vale sul dominio R 2 −{(0,0)}
che non è semplicemente connesso.
3.1.7 Lavoro
Sia (P,F) una forza variabile qualsiasi, cioé, per considerare il caso più generale, dipendente dal
tempo, dalla posizione del suo punto di applicazione P, e della rispettiva velocità ˙ P. Sia definito
per il punto P un moto qualsiasi
P = P(t) ossia x = x(t), y = y(t), z = z(t). (3.7)
Pertanto, durante tale moto del punto di applicazione, il vettore
F = F[ ˙
P(t),P(t),t]
risulta definita come funzione esclusivamente del tempo.
Definizione 3.6. Diremo lavoro compiuto dalla forza (P,F) corrispondente al moto (3.7) del punto
di applicazione fradue istanti genericit1 e t2, o dalla posizione P(t1) alla posizione P(t2), la grandezza
scalare:
L =
t2
t1
F·vdt =
dove, a secondo membro, compare un integrale definito ordinario.
t2
t1
(Fx˙x+Fy˙y +Fz˙z)dt, (3.8)
Da ciò segue che, nel caso più generale, il lavoro dipende dalla traiettoria e dalla legge
oraria con cui la traiettoria viene percorsa dal punto, inoltre il lavoro dipende anche dal
tempo t.

Lavoro delle forze posizionali
3.1 Concetti e postulati fondamentali della meccanica 55
In questo caso non è necessaria la conoscenza delle equazioni del moto del punto di applicazione del
punto P, ma basta conoscere la traiettoria. Infatti, se
P = P(s), ossia x = x(s), y = y(s), z = z(s) (3.9)
sono le equazioni di tale traiettoria allora la forza posizionale ha vettore
F = F(P)
che, mentre P percorre tale traiettoria, risulta definito come funzione della sola variabile s. Tenendo
presente che dP = vdt segue che il lavoro compiuto dalla forza (F,P) lungo la curva (3.9) fra due
punti generici P1 = P(s1) e P2 = P(s2) sarà determinato dall’integrale curvilineo
t2
L = F·vdt = F·dP = dL (3.10)
t1
γP 1 ,P 2
dove dL = F · dP prende il nome di lavoro infinitesimo e dove abbiamo operato il cambio di
variabile t → P(t), γP1,P2 è la traiettoria percorsa dal punto P nell’intervallo [t1,t2]. Osservando che
v = ˙sˆt e dP = dsˆt allora si può esprimere il lavoro finito L come
s2 s2 dx
L = Ftds = Fx
ds +Fy
dy
ds +Fz
dz
ds
ds
s1
s1
dove Ft è la componente del vettore della forza riguardo alla direzione tangente alla traiettoria in P
nel verso delle s crescenti.
Dalla (3.10) si può dedurre che se si inverte il verso del cammino del punto di applicazione, il
lavoro di una forza posizionale cambia verso.
Nel caso di forze posizionali è allora evidente che il lavoro non dipende esplicitamente dal tempo
t, inoltre dalla (3.10) appare anche evidente che il lavoro non dipende dalla legge oraria ma solo
dalla traiettoria.
Lavoro delle forze conservative
Per questa classe di forze posizionali si verifica la circostanza che per il calcolo del lavoro non si
richiede nemmeno la conoscenza della traiettoria del punto di applicazione della forza, ma basta ne
siano assegnati gli estremi P1 e P2. Infatti:
dL = F·dP = dU
dove U(x,y,z) rappresenta il potenziale. Integrando la (3.10), si ottiene per il lavoro L lungo un
qualsiasi cammino del punto di applicazione da P1(x1,y1,z1) a P2(x2,y2,z2) il valore
Pertanto abbiamo il seguente risultato.
γP 1 ,P 2
L = U(x2.y2,z2)−U(x1,y1,z1). (3.11)
Teorema 3.7. Qualunque sia il cammino descritto dal punto di applicazione di una forza conservativa
entro il suo campo, il lavoro da essa compiuto è uguale alla differenza di potenziale fra la
posizione di arrivo e quella di partenza del punto di applicazione.

56 3 Generalità sui sistemi e grandezze meccaniche
In particolare:
Corollario: Il lavoro compiuto da una forza conservativa lungo una curva chiusa è nullo.
Tale proprietà è caratteristica per le forze conservative (e da alcuni autori è posta come
definizione di forza conservativa). Cioé se per una forza F il lavoro compiuto per un qualsiasi
cammino del punto di applicazione, fra due punti generici P1 e P2 di una certa regione
spaziale C, dipende esclusivamente dalle posizioni estreme P1, P2 (e non dalla traiettoria),
la F è conservativa. Infatti, sia P0, di coordinate (x0,y0,z0), fissato e sia P, di coordinate
(x,y,z), variabile in C; possiamo quindi definire la seguente funzione scalare univalente
U(x,y,z) = U(x,y,z)−U(x0,y0,z0) = LP0,P
dove si è scelta la costante additiva del potenziale tale che U si annulli in P0. Dato P e dato lo
spostamento infinitesimo dP abbiamo che tale relazione diventa, a meno di infinitesimi di ordine
superiore,
LP0,P +F·dP = LP0,P +LP,P+dP = LP0,P+dP
= U(x+dx,y +dy,z +dz) = U(x,y,z)+dU
dove abbiamo usato il fatto che LP,P+dP = dL = F·dP. Da ciò risulta che deve essere
F·dP = dU
e quindi la forza è conservativa.
Se consideriamo il lavoro di una forza come una forma di energia fisica, ceduta o eventualmente
sottrattaalsuopuntodiapplicazione,constatiamochequesta energia è complessivamente nulla
per un generico ciclo; vi è dunque, nel senso accennato, conservazione di energia.
3.1.8 Lavoro ed energia cinetica
Definizione 3.8. Definiamo energia cinetica di un punto materiale P il semi-prodotto
T = 1
2 mv2
dove m è la massa e v è il modulo della velocità v di P.
(3.12)
Il lavoro elementare compiuto dalla forza (F,P) per uno spostamento elementare da essa impresso
al punto materiale cui è applicata è dato da
dL = dT (3.13)
dove dT denota il differenziale (calcolato rispetto al tempo) dell’energia cinetica. Infatti abbiamo
separatamente che
dL = F·dP e dT = d
1
dt 2 mv2
dt = ma·vdt = ma·dP
e queste due quantità coincidono dovendo essere F = ma per l’equazione fondamentale della Dinamica.
Osserviamo che, stavolta, abbiamo assunto che il moto (3.7) non è qualsiasi ma è il moto
impresso dalla forza F al punto P. La (3.13) giustifica il seguente Teorema:

3.1 Concetti e postulati fondamentali della meccanica 57
Teorema 3.9 (Teorema della forza viva). Durante il moto determinato da una forza su
di un punto materiale libero, il lavoro elementare della forza è, per ogni intervallo infinitesimo
dt, uguale (in valore e segno) all’incremento subito nel medesimo intervallo dall’energia cinetica del
punto.
In termini più precisi questo teorema afferma che il differenziale (rispetto al tempo) dell’energia
cinetica durante il moto coincide con il lavoro infinitesimo reale dL = F·dP dove dP è lo spostamento
infinitesimo reale.
Si consideri ora il lavoro L compiuto da F su P nell’intervallo di tempo da un istante fisso t0 ad
un istante variabile t. Integrando la (3.13) da t0 a t, otterremo:
L = T −T0, (3.14)
dove T0 indica la energia cinetica del punto nell’istante t0; cioé: la variazione che, in un qualsiasi
intervallo di tempo, subisce l’energia cinetica di un punto libero sollecitato è uguale al
lavoro compiuto in quell’intervallo di tempo dalla forza totale sollecitante. In particolare
T − L = T0 = Cost., cioé la somma tra l’energia T, che il mobile possiede ad ogni istante sotto
forma di energia cinetica, e l’energia −L, che da un generico istante t0 in poi esso è andato cedendo
all’esterno sotto forma di lavoro, rimane costante (energia totale). Nel caso di forze conservative,
essendo l’energia −L uguale al potenziale U cambiato di segno (a meno di costanti additive), allora
l’energia meccanica totale, denotata con E, ha espressione
T −U = E
(equazione delle forza viva). La −U si chiama energia potenziale (usualmente denotata con
V). Si ha quindi che:
Teorema 3.10 (Principio di conservazione dell’energia meccanica). Durante il moto determinato
da una forza conservativa su di un punto materiale libero la grandezza meccanica
si mantiene costante.
T +V = E (3.15)
Osserviamo che la (3.15) afferma che, essendo P = P(t) la legge del moto, allora si deve avere che
3.1.9 Esercizi
Esercizio 3.1: Calcolare i seguenti potenziali:
1
2 mv2 (t)+V[P(t)] = E, ∀t ≥ t0.
i. potenziale della forza peso di vettore −mgˆj;
ii. potenziale della forza costante di vettore aî+bˆj+c ˆ k;
iii.potenziale di una forza centrale di vettore f(ρ)ˆr dove ˆr è un versore diretto dal punto di applicazione
ad un punto fisso e dove ρ è la distanza tra il punto di applicazione e il punto fisso;
iv.potenziale della forza di attrazione gravitazionale.

58 3 Generalità sui sistemi e grandezze meccaniche
Esercizio 3.2: Sia data la forza posizionale (P,F = 3yî + 2xˆj), dove P ha coordinate (x,y,z);
calcolare il lavoro compiuto da questa forza quando:
i. il punto P di applicazione della forza percorre la parabola y = Kx 2 , K costante positiva, partendo
dall’origine fino al punto di ascissa a;
ii. il punto P di applicazione della forza percorre il segmento rettilineo di estremi l’origine ed il punto
(a,Ka 2 );
iii.confrontando i due risultati rispondere alla domanda: la forza data è conservativa?
Esercizio 3.3: Sia data la forza posizionale
con a e c costanti. Si domanda:
(P,F = ayî+axˆj+c ˆ k)
i. verificare che la forza data ammette la funzione U(x,y,z) = axy +cz come potenziale;
ii. facendo uso della funzione potenziale U calcolare il lavoro della forza quando il punto P di applicazione
passa da P1(0,0,0) a P2(R,R,0);
iii.per altra via determinare il lavoro della forza quando il punto P passa da P1 a P2 lungo:
- un arco di circonferenza di centro C(R,0,0) e raggio R,
- un segmento rettilineo che congiunge direttamente P1 con P2,
- due segmenti rettilinei, il primo che congiunge P1 con C ed il secondo che congiunge C con P2.
Esercizio 3.4: Dimostrare che la forza
(P,F = (3x 2 y −y 2 )î+(x 3 −2xy +1)ˆj)
è conservativa, calcolarne la funzione potenziale e il lavoro della forza quando il suo punto di applicazione
passa da P1(3,−2,0) a P2(1,3,0).
3.2 Geometria delle masse
Abbandoniamo per un attimo la visione particellare della Meccanica e ammettiamo che la massa di
un corpo non sia necessariamente concentrata in un punto ma sia distribuita in modo continuo su
tutta una regione dello spazio.
3.2.1 Densità
Icorpifisicamenteomogeneisonocaratterizzatidallaproprietàche le masse delle loro parti sono
proporzionali ai rispettivi volumi. Indicando con V il volume di un qualsiasi corpo omogeneo
C, con m la sua massa e con ∆V e ∆m il volume e la massa di una qualsiasi sua parte, avremo
µ = ∆m m = dove questo rapporto è costante e indipendente dalla porzione ∆V scelta. Diremo
∆V V
questo rapporto densità del corpo omogeneo C.
Passando al limite avremo
µ = dm
dV
(3.16)

3.2 Geometria delle masse 59
cioé µ fornisce il rapporto tra la massa dm di una porzione infinitesima del nostro corpo e il corrispondente
volume infinitesimo dV. Scriveremo
e la massa m dell’intero corpo C si potrà rappresentare con l’integrale
m = µdV = µV
dm = µdV (3.17)
V
esteso a tutta la regione V di spazio occupata da C ritrovando, in accordo con quanto già visto,
µ = m
V .
Generalizziamo tali concetti ad un corpo non omogeneo: definiremo densità del corpo la fun-
zione µ(P), dipendente solo dal punto P ∈ V, tale che
∆m = µdV (3.18)
∆V
dove ∆V è il volume di una parte qualunque del corpo e ∆m la sua massa. Cioé ammetteremo
come caratteristica di un generico corpo naturale C l’esistenza della densità locale µ e
quindi, in particolare, integrabile nei punti P del campo V occupato dal corpo. La funzione µ ha le
dimensioni di una massa su un volume: mℓ−3 . La massa m è data da
m = µdV. (3.19)
V
Nel caso in cui la massa sia distribuita su una superficie σ o su una curva γ allora, in analogia al caso
precedente, si introduce una densità superficiale (di dimensione mℓ −2 ) o una densità lineare (di
dimensione mℓ −1 ) e la (3.19) deve essere sostituita, rispettivamente, da un integrale superficiale o
curvilineo
m =
σ
µdσ o m =
La densità µ rappresenta, dal punto di vista matematico, una misura; nel caso in cui questa si
riduca alle misure atomiche del tipo δ di Dirac allora ritroviamo la usuale rappresentazione particellare.
3.2.2 Baricentro di un sistema discreto di punti materiali
Definizione 3.11. Diremo baricentro o centro di gravità del sistema, costituito da un numero
finito N di punti Ps di massa ms, il punto G individuato dall’equazione vettoriale
γ
µds.
Ns=1ms(Ps −O)
N
G−O = , dove m = ms
m
s=1
(3.20)
è la massa totale del sistema e ms sono le masse dei punti materiali Ps costituenti il sistema; O è
un qualsiasi punto (geometrico) di riferimento.
Osserviamo che dalla (3.20) segue immediatamente che

60 3 Generalità sui sistemi e grandezze meccaniche
N
ms(Ps −G) = 0.
s=1
La (3.20) si può proiettare lungo assi assegnati:
xG =
Ns=1msxs
m
, yG =
Ns=1msys
m
, zG =
Ns=1mszs
dove xG,yG,zG designano le coordinate del baricentro e xs,ys,zs quelle dei punti Ps.
Diamo alcune ovvie proprietà:
m
, (3.21)
i. Se tutti i punti Ps appartengono ad un medesimo piano o ad una medesima retta, lo stesso avviene
per il loro baricentro.
ii. Definiamo momento statico di un punto P di massa m rispetto ad un piano π, il prodotto
di m per la sua distanza dal piano (distanza con segno in base al riferimento fissato). Allora,
facendo coincidere il piano π con il piano z = 0, dalla terza delle (3.21) segue che: la somma dei
momenti statici delle masse di un sistema, rispetto ad un generico piano π, coincide
con il momento statico della massa totale, supposta localizzata nel baricentro.
iii.Proprietà distributiva del baricentro: siano S ′ ed S ′′ due sistemi materiali (costituiti da un numero
finito N ′ ed N ′′ di punti). Il baricentro del sistema S formato dai punti di S ′ e di S ′′ può essere
calcolato come il baricentro tra due punti P ′ e P ′′ posti nei baricentri di S ′ ed S ′′ e aventi masse
m ′ ed m ′′ uguali alle masse totali dei due sistemi S ′ ed S ′′ .
iv.Se tutti i punti Ps sono contenuti in un insieme convesso allora il baricentro stesso vi appartiene.
Mentre le i., ii. e iii. sono evidenti la iv. necessita di una dimostrazione. Supponiamo per assurdo
che il baricentro sia esterno. Poiché un dominio convesso (assumendo per semplicità che il suo
contorno sia regolare) si può ottenere come l’inviluppo di tutti i suoi piani tangenti allora esiste un
piano che divide il baricentro dal dominio. Il momento statico del baricentro, rispetto a tale piano,
avrà quindi segno opposto a quello del sistema cadendo quindi in assurdo.
Osserviamo che tale dimostrazione si basa sul fatto che il contorno del dominio è regolare.
È pos-
sibile dare una dimostrazione alternativa diretta che non necessita di ipotesi sul contorno del dominio
ma che fa uso della seguente proprietà degli insiemi convessi: dati due punti qualsiasi appartenenti
all’insieme allora anche ogni punto del segmento congiungente vi appartiene. Consideriamo ora del
sistema di punti S contenuti nel convesso i primi due punti e calcoliamone il loro baricentro. Esso
appartiene al segmento congiungente e quindi è interno al convesso. Calcoliamo ora il baricentro
tra un terzo punto P3 di S ed il baricentro dei primi due punti appena trovato al quale assegniamo
massa m1 + m2. Anche questo nuovo baricentro apparterrà al convesso. Insomma, procedendo in
N −1 passi alla fine si troverà il baricentro totale di S e questo sarà ancora interno al convesso.
Piani diametrali di simmetria
Si dice che un sistema S di punti materiali possiede un piano diametrale π, coniugato ad una
assegnata direzione r (non parallela al piano), quando ad ogni punto di S ne fa riscontro un altro,
di egual massa, situato sulla parallela ad r passante per il primo, alla stessa distanza dal piano
π e dalla banda opposta. I punti, che così si corrispondono, si chiamano coniugati. Un piano
diametrale π si chiama in particolare piano di simmetria (geometrico-materiale) quando la
direzione coniugata r è perpendicolare al piano.

3.2 Geometria delle masse 61
Segue che: se un sistema possiede un piano diametrale, o in particolare un piano di
simmetria, il baricentro giace in questo piano. Infatti,lecoppiedipunticoniugatihannoilloro
baricentro nel punto medio del segmento congiungente, cioé sul piano diametrale. In particolare: se
un sistema ammette più piani diametrali, questi hanno necessariamente almeno un punto in comune,
cioé il baricentro del sistema.
Momento polare
Definizione 3.12. Definiamo come momento polare di un sistema S, rispetto ad un punto O, la
somma dei prodotti delle masse ms dei punti Ps di S per i quadrati delle loro distanze da O, cioé il
numero:
N
MO = ms|O−Ps|
s=1
2 .
Teorema 3.13 (Teorema del Lagrange). Si può caratterizzare il baricentro di un generico sistema
come quel punto dello spazio per cui il momento polare risulta minimo.
Dimostrazione. Infatti si prova direttamente che
poiché N s=1ms(G−Ps) = 0.
N
MO = ms|O−Ps|
s=1
2
N
= ms|O−G|
s=1
2 N
+ ms|G−Ps|
s=1
2 N
+2 ms(G−Ps)·(O −G)
= MG +m|O−G|
s=1
2
3.2.3 Baricentro di un corpo, di una superficie e di una linea materiale
Nel caso di sistemi continui il baricentro di un corpo è definito dall’espressione vettoriale
G−O = 1
(P −O)µdV, M = µdV , (3.22)
M V
V
dove V è la regione dello spazio occupata dal corpo e µ ne è la sua densità. Dalla (3.22), proiettata
sugli assi, si ottengono per le coordinate xG,yG,zG di G, le espressioni
xG = 1
xµdV, yG =
M S
1
yµdV, zG =
M V
1
zµdV . (3.23)
M V
Tali formule restano valide anche per un qualsiasi superficie o linea materiale, quando si intenda
µ la densità superficiale o lineare e al campo di integrazione a tre dimensioni una superficie o,
rispettivamente, una curva.
I risultati già visti nel caso di un sistema discreto di punti continuano a sussistere.
Consideriamo il baricentro di alcune figure elementari:

62 3 Generalità sui sistemi e grandezze meccaniche
Lamina triangolare omogenea
Osservandocheciascunamedianaèlineadiametraleconiugataalladirezionedellatocheessadimezza
allora il baricentro appartiene ad ogni mediana e quindi il baricentro è dato dalla intersezione tra le
mediane (più precisamente si ha che, fissato un lato come base, il baricentro si trova sulla corrispondente
mediana, ad un terzo della sua lunghezza a partire dalla base).
Arco di circonferenza omogenea
.
α θ
Fig. 3.2. Baricentro di un arco di circonferenza.
yG = 1
rα
= r
α
Sia AB l’arco avente un angolo al vertice α e raggio r, O
il centro della circonferenza ed M il punto medio dell’arco.
LarettaOM èmanifestamenteunassedisimmetria,quindi
il baricentro sta su tale retta. Per precisare la posizione di
G su tale retta si procede al seguente calcolo: introducendo
un sistema di coordinate cartesiane aventi centro O e l’asse
OM quale asse (O;y) allora abbiamo che
xG = 0 e yG = 1
µyds
m AB
dove m è la massa dell’arco e µ la sua densità data da
µ = m/rα. Introducendo l’angolo θ = POM, dove P è un
generico punto sull’arco, l’integrale prende la forma
α/2
−α/2
α/2
−α/2
rcosθrdθ
cosθdθ = 2r
α sin(α/2).
Questo risultato può essere anche rivisto nel seguente modo: assumendo 0 ≤ α ≤ 2π ed essendo
AB = 2rsin(α/2) la lunghezza della corda congiungente A e B e S = rα la lunghezza dell’arco,
allora segue che
3.2.4 Momenti di inerzia
OG = r AB
S .
Definizione 3.14. Sia P un punto materiale di massa m, r una retta generica, d la distanza di P
da r. Per momento di inerzia di P rispetto all’asse r, si intende il prodotto md 2 della massa di
P per il quadrato della sua distanza dall’asse. In generale, dato un sistema S, costituito da N punti
materiali Ps di massa ms, si chiamerà momento di inerzia Ir del sistema rispetto all’asse r,
la somma dei momenti di inerzia dei singoli suoi punti:
N
Ir = msd
s=1
2 s, (3.24)
dove indichiamo con ms la massa del punto generico Ps del sistema e con ds la sua distanza da r.
Nel caso di masse distribuite con continuità nel volume S il momento di inerzia è dato da:

Ir =
S
d 2 µdS
3.2 Geometria delle masse 63
dove d è la distanza dall’asse del generico elemento dS di campo intorno a un punto P e µ denota
la densità.
Fig. 3.3. Teorema di Huyghens: scelta dei sistemi di refiremento.
Nel seguito discuteremo le proprietà principali dei momenti di inerzia supponendo di operare con una
distribuzione discreta di corpi puntiformi. I risultati ottenuti valgono anche nel caso più generale di
distribuzione continua dove, nelle dimostrazioni, basta sostituire alle somme gli integrali.
Momenti di inerzia rispetto ad assi paralleli
Teorema 3.15 (Teorema di Huyghens). Il momento di inerzia Ir di un sistema S rispetto ad un
asse r è uguale al momento di inerzia Ir0 rispetto all’asse parallelo r0, passante per il baricentro,
aumentato del prodotto della massa totale m per il quadrato della distanza d tra questi due assi:
Ir = Ir0 +md 2 .
Segue che, tra tutti gli assi paralleli a una direzione data, quello per cui il momento di inerzia è
minimo passa per il baricentro.
Dimostrazione. Scegliamo un sistema di riferimento (O;x,y,z) in cui O coincide con il baricentro,
l’asse (O;z) con l’asse r0 e l’asse r con l’asse di equazioni y = 0 e x = d. Rispetto a questo sistema
di riferimento e assumendo che il sistema sia costituito da un numero discreto di punti avremo che
che sviluppata dà
N
Ir0 = ms(x
s=1
2 s +y 2 N
s) e Ir = ms((xs −d)
s=1
2 +y 2 s)

64 3 Generalità sui sistemi e grandezze meccaniche
N
Ir = ms(x
s=1
2 s +y 2 s +d 2 −2dxs)
N
= ms(x
s=1
2 s +y 2 s)+d 2
N N
ms −2d msxs = Ir0 +md
s=1 s=1
2
essendo N s=1msxs = mxG = 0 poiché G = O.
Momenti di inerzia rispetto ad assi concorrenti
Teorema 3.16. Sia data una retta r, sia (O;x,y,z) un sistema di riferimento ortogonale destro
con O appartenente alla retta r, siano α, β, γ i coseni direttori della retta r (comunque orientata)
rispetto agli assi coordinati. Si prova che il momento di inerzia di un dato sistema S rispetto alla
retta r vale:
dove si è posto:
Ir = Aα 2 +Bβ 2 +Cγ 2 −2A ′ αβ −2B ′ αγ −2C ′ βγ (3.25)
⎧
⎪⎨ A = Ix =
⎪⎩
N s=1ms(y2 s +z2 s)
B = Iy = N s=1ms(x2 s +z2 s)
C = Iy = N s=1ms(y2 s +x2 s)
e
⎧
⎪⎨ A
⎪⎩
′ = N s=1msxsys
B ′ = N s=1msxszs
C ′ = N s=1msyszs
(3.26)
Dimostrazione. la dimostrazione si effettua con un calcolo diretto osservando che la distanza ds di
un punto Ps da un asse passante per O avente direzione individuata da un versore ˆr = αî+βˆj+γ ˆ k
è data da
⎛
î ˆj
⎜
ds = |(Ps −O)׈r| = det⎝
ˆ ⎞
k
⎟
xs ys zs⎠
α β γ
= (ysγ −zsβ) 2 +(xsγ −zsα) 2 +(xsβ −ysα) 2 .
Quindi
N
Ir = msd
s=1
2 N
s = ms (xsβ −ysα)
s=1
2 +(xsγ −zsα) 2 +(ysγ −zsβ) 2
N
= ms (x
s=1
2 s +z 2 s)β 2 +(y 2 s +z 2 s)α 2 +(x 2 s +y 2 s)γ 2 +
−2xsy2αβ −2x2z2γα−2yszsβγ]
completando così la dimostrazione.
La (3.25) determina il momento di inerzia, rispetto ad ogni direzione α,β,γ, passante per O, in
funzione delle sei costanti A, B, C, A ′ , B ′ e C ′ , che dipendono dalla natura del sistema ma
non del particolare asse r. Si noti che la (3.25) è una funzione quadratica e omogenea nelle
α,β,γ; in particolare rimane inalterata quando invertiamo α, β e γ con −α, −β e −γ.

3.2 Geometria delle masse 65
I coefficienti A, B, C hanno un significato ovvio, sono i momenti di inerzia di S rispetto
agli assi coordinati. Gli altri tre coefficienti A ′ , B ′ , C ′ si chiamano prodotti di inerzia o anche
momenti di deviazione.
Si noti che il calcolo dei tre momenti d’inerzia si può effettuare come:
A = s2 +s3, B = s1 +s3, C = s2 +s1, (3.27)
dove s1, s2, s3 sono i momenti di inerzia del sistema S rispetto ai piani coordinati:
3.2.5 Ellissoide d’inerzia e assi principali
N
s1 = msx
s=1
2 N
s, s2 = msy
s=1
2 N
s, s3 = msz
s=1
2 s. (3.28)
Immaginiamo di portare su ciascun raggio (determinato da α, β, γ) uscente da O il segmento di
lunghezza (perdendone il significato dimensionale)
OL = 1
√ , cioé x = α/ Ir, y = β/ Ir e z = γ/ Ir,
Ir
dove Ir è la funzione quadratica di α, β, γ definita dalla (3.25). Escludendo il caso particolare
che tutti i punti appartengano ad una medesima retta passante per O, il momento di inerzia
1
Ir = Ir(α, β, γ) non può essere mai nullo. Perciò √Ir è, in corrispondenza ad ogni raggio,
un numero finito ed il luogo dei punti L costituisce una superficie chiusa simmetrica rispetto al
punto O. Designando ora con x,y,z le coordinate di un generico punto L e essendo α = x √ Ir, β =
y √ Ir, γ = z √ Ir; la (3.25) diventa:
Ax 2 +By 2 +Cz 2 −2A ′ yz −2B ′ zx−2C ′ xy = 1; (3.29)
che è l’equazione di una quadrica che, essendo chiusa, è un ellissoide il cui centro è O.
Definizione 3.17. L’ellissoide di equazione (3.29) si chiama ellissoide d’inerzia relativo al
punto O.
Noto tale ellissoide si ha subito il momento di inerzia rispetto ad ogni retta r passante per O.
Infatti, essendo L uno dei due punti in cui r incontra l’ellissoide, sarà Ir = 1
OL2. Da qui risulta
che, tra tutti gli assi condotti per O, quello che dà il più piccolo momento di inerzia è l’asse
maggiore dell’ellissoide, quello che dà il più grande momento di inerzia è l’asse minore
dell’ellissoide. Gli assi dell’ellissoide di inerzia si chiamano assi principali di inerzia relativi al
punto considerato e, assumendoli, come assi coordinati, la (3.29) si riduce alla forma particolare
Ax 2 +By 2 +Cz 2 = 1,
in questo caso A, B, C prendono il nome di momenti di inerzia relativi agli assi principali o
momenti principali di inerzia.

66 3 Generalità sui sistemi e grandezze meccaniche
Calcolo di ellissoidi d’inerzia
.
.
Fig. 3.4. Ellissoide d’inerzia di centro O.
Premettiamo le seguenti osservazioni che facilitano il calcolo dell’ellissoide d’inerzia:
i. Se un sistema S ammette un piano di simmetria, ogni perpendicolare a questo piano è asse
principale di inerzia rispetto al suo piede, cioé rispetto all’ellissoide di inerzia avente centro dato
dalla intersezione tra l’asse ed il piano. Infatti, sia z = 0 questo piano; quindi ad ogni punto Ps di
coordinate (xs,ys,zs) e massa ms corrisponde attraverso la simmetria un punto Ps ′ di coordinate
(xs ′ = xs,ys ′ = ys,zs ′ = −zs) e massa ms ′ = ms. Da ciò segue che i momenti di deviazione
B ′ N
= msxszs e C
s=1
′ N
= msyszs
s=1
sono nulli poiché le somme si possono organizzare come una serie di somme di due elementi aventi
stessa massa, stesse coordinate xs e ys e coordinata zs opposta. Inoltre se un sistema possiede
due piani ortogonali di simmetria, questi sono necessariamente piani principali dell’ellissoide di
inerzia relativo ad un punto qualsiasi della loro intersezione.
ii. Sia il sistema S appartenente ad un piano e sia il centro O dell’ellissoide appartenente anch’esso al
piano. Scegliamo il sistema di coordinate (O;x,y,z) con z ortogonale al piano. Il piano (O;x,y),
in quanto contenente la figura, è manifestamente un piano di simmetria materiale e quindi l’asse
z è un asse principale d’inerzia: B ′ = C ′ = 0. Inoltre vale anche la seguente proprietà, essendo
zs = 0 per ogni punto Ps allora:
Vediamo alcuni esempi:
Lamina rettangolare omogenea
C =
ms(x 2 s +y 2 s) =
ms(x 2 s +z 2 s)+
ms(y 2 s +z 2 s) = A+B.
s
s
Volendo calcolare l’equazione dell’ellissoide d’inerzia di centro O, dove O coincide con uno dei vertici
della lamina, sia (O;x,y,z) scelto in modo che la lamina sia contenuta nel piano (O;x,y) e che gli assi
s

3.2 Geometria delle masse 67
Fig. 3.5. Matrice d’inerzia per una lamina rettangolare omogenea (figura a sinistra) e per un disco pieno omogeneo (figura a
destra).
(O;x) e (O;y) siano paralleli ai lati del rettangolo in modo che lamina sia tutta nel primo quadrante.
Siano i lati di lunghezza a e b. Essendo µ = m/ab si ha che:
A = µy
lamina
2 dxdy = m
a b
dx y
ab 0 0
2 dy = 1
3 mb2 .
Analogamente segue che B = 1
3ma2 e quindi C = A + B = 1
momento di deviazione abbiamo che B ′ = C ′ = 0 e che
a
Disco piano omogeneo
A ′ =
lamina
µxydxdy = m
ab
0
3 m(a2 + b 2 ). Per ciò che riguarda il
b
xdx ydy =
0
1
4 mab.
Calcoliamo l’equazione dell’ellissoide d’inerzia di centro O, dove O coincide con il centro del disco.
Sia (O;x,y,z) scelto in modo che il disco sia contenuto nel piano (O;x,y). L’asse z è un asse
principale d’inerzia e inoltre, poiché ogni asse passante per il centro e appartenente al piano (O;x,y)
èdisimmetria,seguecheanchegliassixey sonoprincipalidiinerzia;infinesiosservicheruotandodi
π/2ildiscoilsistemamaterialesipresentainvariatoalloraseguecheA = B echequindiA = B = 1
2C. Rimane dunque da calcolare solo C, sia R il raggio del disco e µ = m/πR2 , si ha che:
C = µ(x
disco
2 +y 2 )dxdy = m
πR2 2π R
dθ r
0 0
2 rdr = 1
2 mR2 .
3.2.6 Matrice d’inerzia
Matrice d’inerzia
Fissata una terna (O;x,y,z) si definisce la matrice d’inerzia
⎛ ⎞
⎜
I = ⎝
I11 I12 I13
⎟
I21 I22 I23⎠
I31 I32 I33

68 3 Generalità sui sistemi e grandezze meccaniche
dove
e
I11 = A, I22 = B, I33 = C
I12 = I21 = −A ′ , I13 = I31 = −B ′ , I23 = I32 = −C ′ .
Quindi si ha che l’equazione dell’ellissoide di inerzia può essere anche scritta come
⎛ ⎞
x
⎜ ⎟
(x,y,z)I ⎝y
⎠ = 1 o, in modo più, sintetico v
z
T ⎛ ⎞
x
⎜ ⎟
Iv = 1, v = ⎝y
⎠.
z
Usando le notazioni introdotte nel primo capitolo si ha che, assegnata la base (O;x,y,z) gli
elementi della matrice d’inerzia sono Iij e cambiando il sistema di riferimento mediante una matrice
ortogonale A allora la nuova matrice d’inerzia assume la forma
I ′ = AIA T .
Gli assi principali d’inerzia sono gli autospazi della matrice d’inerzia ed i corrispondenti momenti
di inerzia ne sono gli autovalori λ1, λ2 e λ3 (supposti distinti). La ricerca delle terne principali di
inerzia equivale alla diagonalizzazione della matrice d’inerzia. Nel riferimento principale la matrice
d’inerzia ha infatti rappresentazione
⎛ ⎞
λ1 0 0
⎜ ⎟
I = ⎝0
λ2 0 ⎠
0 0 λ3
Determinazione di due assi principali d’inerzia noto il terzo
Scegliamo un sistema di riferimento (O;x,y,z) dove O è il centro dell’ellissoide e (O;z) coincide con
l’asse principale d’inerzia noto. La corrispondente matrice d’inerzia ha quindi la forma
⎛ ⎞
I11 I12 0
⎜ ⎟
I = ⎝I21
I22 0 ⎠
0 0 λ3
dove assumiamo I12 = 0 (poiché altrimenti il problema è già risolto). Effettuiamo una rotazione
del piano (O;x,y) su sè stesso in modo da lasciare l’asse (O;z) invariato; la matrice ortogonale che
definisce questa rotazione è data da
⎛ ⎞
cosϕ sinϕ 0
⎜ ⎟
A = ⎝−sinϕ
cosϕ 0⎠
0 0 1
dove ϕ denota l’angolo x ′ Ox. Rispetto al nuovo sistema di riferimento la matrice d’inerzia assume
la forma
⎛ ⎞
I ′ = AIA T I
⎜
= ⎝
′ 11 I ′ 12 0
I ′ 21 I ′ 22 0
⎟
⎠ dove I
0 0 λ3
′ 12 = I22 −I11
sin2ϕ+I12cos2ϕ.
2
Gli assi principali d’inerzia hanno direzione tale che I ′ 12(ϕ) = 0, cioé:

3.2 Geometria delle masse 69
i. se I11 = I22 allora deve essere cos2ϕ = 0, ϕ = ±π/2 e gli assi principali d’inerzia coincidono con
le bisettrici del piano (O;x,y);
ii. se I11 = I22 allora deve essere tan2ϕ = 2 I12 ed i due valori che soddisfano questa equazione
I11−I22
danno i due assi principali d’inerzia.
3.2.7 Ellissoide centrale di inerzia
Definizione 3.18. L’ellissoide di inerzia avente come centro il baricentro G del sistema si dice ellissoide
centrale di inerzia.
Si ha che:
Teorema 3.19. Ogni asse principale di inerzia dell’ellissoide centrale di inerzia è asse principale
di inerzia anche rispetto ad ogni altro suo punto.
Infatti sia, per l’ipotesi, l’asse (G;z) principale di inerzia:
B ′ =
msxszs = 0 e C ′ =
msyszs = 0.
s
Prendendo ora un altro punto O sull’asse (G;z), distante d dal baricentro, come centro dell’ellissoide
di inerzia (lasciando gli assi inalterati) e calcolando i prodotti d’inerzia rispetto a questo nuovo
sistema di riferimento abbiamo che
B ′ N
N N
1 = msys(zs −d) = msyszs −d msys = B
s=1
s=1 s=1
′ −mdyG = 0
dove sono nulli sia B ′ che la coordinata yG del baricentro in quanto questo appartiene all’asse z.
Analogamente si prova che C ′ 1 = 0.
Viceversa:
Corollario: Se una retta è asse principale d’inerzia rispetto ad un suo punto, e passa per il
baricentro, allora è asse principale di inerzia rispetto al baricentro (e quindi rispetto ad ogni
altro suo punto).
Si noti che, assegnati (oltre alla massa totale) gli assi e i momenti principali relativi al baricentro,
allora si riesce a caratterizzare in modo completo la distribuzione dei momenti di inerzia di un dato
sistema.
3.2.8 Esercizi
Esercizio 3.1: Calcolare il baricentro del sistema costituito da un’asta OP omogenea lunga 2ℓ e
massa 2m avente nell’estremo P una pallina di massa m e collegata ad angolo retto in O con l’asta
OA omogenea lunga 4ℓ e massa 5m.
Esercizio 3.2: Calcolare le coordinate del baricentro di un arco omogeneo di raggio R e massa
m corrispondente ad un angolo al centro di ampiezza α.
Esercizio 3.3: Calcolare il baricentro di un settore circolare omogeneo di raggio R e con angolo
al centro α.
s

70 3 Generalità sui sistemi e grandezze meccaniche
Esercizio 3.4: Calcolare il baricentro di un settore omogeneo di corona circolare corrispondente
ad un angolo al centro α e di raggi r1 < r2.
Esercizio 3.5: Calcolare le coordinate del baricentro di un disco omogeneo (di densità µ nota) di
raggio r2 e centro O a cui è stato tolto un disco di raggio r1 < 1
2r2 avente centro C distante 1
2r2 da
O.
Esercizio 3.6: Calcolare il baricentro di una zona di superficie sferica omogenea essendo noti il
raggio r della sfera e le quote z1 < z2 della zona sferica.
Esercizio 3.7: Calcolare il baricentro di una semisfera omogenea di raggio R.
Esercizio 3.8: Calcolare il baricentro di una asta rigida AB di lunghezza ℓ non omogenea e di
densità µ(P) = m
ℓ2(|AP|+ℓ). Esercizio 3.9: Calcolare il baricentro di una colonna cilindrica d’aria di altezza h e raggio R
sapendo che la densità dell’aria dipende dall’altezza z secondo la legge µ(z) = µ0e−Kz , µ0 e K
costanti.
Esercizio 3.10: Calcolare il momento di inerzia I di un’asta AB omogenea, di massa m e
lunghezza ℓ, rispetto a:
i. una retta r passante per il baricentro dell’asta e inclinata di un angolo α rispetto all’asta, determinare,
in particolare, il momento per α = π/2;
ii. una retta r ′ passante per un estremo dell’asta e inclinata di un angolo α rispetto all’asta facendo
uso del risultato trovato in i) e del Teorema di Huyghens, determinare, in particolare, il momento
per α = π/2.
Esercizio 3.11: sia dato il sistema di riferimento (O;x,y,z) e sia data una lamina rettangolare
ABCD, rigida, omogenea, di massa m e con lunghezze dei lati a e b. I vertici di tale lamina hanno
coordinate A(0,0,0), B(a,0,0), C(a,b,0) e D(0,b,0). Si domanda:
i. determinare i momenti d’inerzia ed i momenti di deviazione rispetto agli assi coordinati;
ii. facendo uso dell’equazione dell’ellissoide di inerzia, determinare il momento d’inerzia Ir per la
lamina rispetto alla retta r congiungente i vertici A e C;
iii.facendo uso dell’equazione dell’ellissoide di inerzia, determinare il momento d’inerzia Ir ′ per la
lamina rispetto alla retta r ′ bisettrice del primo quadrante;
iv.facendo uso del risultato trovato in iii. e del Teorema di Huyghens trovare il momento d’inerzia Ir ′′
per la lamina rispetto alla retta r ′′ passante per il baricentro della lamina e parallela alla bisettrice
del primo quadrante;
v. determinare gli assi principali di inerzia ed i momenti principali di inerzia sia calcolando gli
autovalori e autovettori della matrice d’inerzia, sia attraverso una rotazione del piano (O;x,y) in
sè stesso.
Esercizio 3.12: sia dato il sistema di riferimento (O;x,y,z) e sia data una lamina triangolare
ABC, rigida, omogenea, di massa m e con lunghezze dei cateti a e b. I vertici di tale lamina hanno
coordinate A(0,0,0), B(a,0,0) e C(0,b,0). Si domanda:
i. determinare i momenti d’inerzia ed i momenti di deviazione rispetto agli assi coordinati;
ii. determinare gli assi principali di inerzia ed i momenti principali di inerzia sia calcolando gli
autovalori e autovettori della matrice d’inerzia, sia attraverso una rotazione del piano (O;x,y) in
sè stesso.

3.2 Geometria delle masse 71
Esercizio 3.13: Sia dato il sistema di riferimento (O;x,y,z); calcolare i momenti d’inerzia e di
deviazione rispetto agli assi coordinati di:
i. un filo circolare omogeneo, di massa m, raggio R, centrato in O e contenuto nel piano (O;x,y), a
tal fine è sufficiente osservare che i momenti di deviazione sono nulli, che Ix = Iy per ragioni di
simmetria, che Iz = Ix +Iy poiché la figura è contenuta nel piano (O;x,y) e infine che Iz = mR 2
poiché tutti i punti del filo distano R da O;
ii. un disco omogeneo, di massa m, raggio R, centrato in O e contenuto nel piano (O;x,y).
Esercizio 3.14: Calcolare il momento d’inerzia di una sfera omogenea di raggio R e massa m,
rispetto ad un qualsiasi diametro r, a tal fine conviene osservare che Ix = Iy = Iz = Ir per ogni
diametro r e quindi che Ir = 2
3 IO dove IO è il momento di inerzia polare.

4
Statica
4.1 Statica del punto e attrito
4.1.1 Attrito per un punto appoggiato su di una superficie
Si è visto che affinché un punto materiale, in un certo intervallo di tempo, si mantenga in equilibrio
è necessario e sufficiente che, ad ogni istante, si annulli il risultante di tutte le forze agenti sul punto;
vale a dire di tutte le forze attive
F = 0
se si tratta di un punto libero, delle forze attive e delle reazioni vincolari
se si tratta di un punto vincolato. Studiamo ora alcuni casi.
Punto su piano orizzontale
F+φ = 0 (4.1)
Se consideriamo un corpo puntiforme P appoggiato ad un piano orizzontale e soggetto alla sola forza
peso esso resta in quiete e, in base alla condizione di equilibrio (4.1), la reazione è direttamente
opposta al peso; cioé si esplica normalmente al piano di appoggio. Se sottoponiamo poi il punto
ad una trazione orizzontale, oltre che alla forza peso, diremo trazione limite la massima intensità
τ0 di una forza orizzontale che applicata in P lo lascia in quiete. Se p è il peso del punto P, τ0 la
corrispondente trazione limite, allora si osserva sperimentalmente che il rapporto τ0/p non dipende
dal peso considerato o dalla forma ed estensione della superficie di appoggio, ma solo dalla natura
fisica del punto P e del suolo. Il rapporto τ0/p si chiama coefficiente di attrito (statico) e si
suole indicare con f (o fs per precisare che è un coefficiente di attrito statico).
Possiamoquindiassumerevalida,comedaevidenzasperimentale,laseguentelegge:per l’equilibrio
di un punto materiale P di peso p, appoggiato su di un piano orizzontale e sollecitato
da una trazione orizzontale di intensità τ, occorre e basta che τ non superi la trazione
limite τ0, ossia che, indicando con fs il coefficiente di attrito fra le sostanze costitutive
del punto e del piano orizzontale si abbia τ ≤ fsp.

74 4 Statica
Punto appoggiato ad un piano qualsiasi (non necessariamente orizzontale)
Sia il punto P appoggiato ad una parete piana e sia soggetto alla sollecitazione di certe forze attive
di cui sia F la risultante (incluso il peso se P è un punto materiale pesante); indichiamo con ˆ N la
normale interna in P alla parete, cioé la perpendicolare al piano orientata nel verso in cui al punto
è vietato il moto dal vincolo. Segue quindi come condizione necessaria per l’equilibrio in P la
relazione
F· ˆ N = FN ≥ 0. (4.2)
Denotiamo con Ft = F − FN ˆ N la componente della forza F secondo il piano; indicando con fs il
coefficiente di attrito del punto P rispetto alla parete, la condizione necessaria e sufficiente per
l’equilibrio è data, sotto l’ipotesi (4.2), dalla relazione
|Ft| ≤ fsFN. (4.3)
È ovvio che sotto la condizione FN < 0 il vincolo, per la sua natura unilaterale, non è atto a limitare
in alcun modo la libertà del punto (quindi si comporta come un punto materiale libero soggetto alla
forza F).
Punto appoggiato ad una superficie σ qualsiasi
Sefs èilcoefficientediattritodiP sullasuperficieσ edFN eFt sonorispettivamenteleintensitàdelle
componenti di F secondo la normale interna e il piano tangente, le condizioni necessarie e sufficienti
per l’equilibrio sono date dalle (4.2) e (4.3). La (4.3) si può scrivere come
|Ft|
FN
= tgα ≤ fs,
dove α è l’angolo formato dal vettore F e la normale alla superficie. Se indichiamo con φ l’angolo
la cui tangente è f allora la (4.3) diventa α ≤ φ. Chiamando angolo di attrito questo angolo φ
e falda interna del cono di attrito il luogo delle semirette uscenti da P che formano l’angolo φ
con la normale interna, concludiamo che per l’ equilibrio di un punto materiale appoggiato
ad una superficie è necessario e sufficiente che la forza attiva totale non sia esterna alla
falda interna del cono di attrito.
Commento sull’attrito: sapendo che la condizione di equilibrio del punto deve essere F+φ =
0 e chiamando falda esterna del cono di attrito la falda opposta al vertice della falda interna,
possiamo affermare che: la reazione φ, che una superficie materiale σ esplica su di un
punto materiale P in contatto con essa, dipende dalla sollecitazione totale attiva F di
P. In condizioni statiche, la φ è sempre rivolta verso l’esterno ed è non esterna alla
falda esterna del cono di attrito. La componente tangenziale della reazione φ, in condizioni
statiche, si dice attrito radente o statico. A differenza di quanto considerato, secondo alcuni autori
l’attritovieneconsideratocomeunaforzaattiva(peròincognita!);questainterpretazioneègiustificata
dall’osservazione che l’attrito interviene sul punto come una azione in grado di modificarne il moto
ed ha quindi tutte le caratteristiche di una forza resistente; mentre non può essere interpretato come
una reazione vincolare poiché non limita a priori in alcun modo gli spostamenti e le velocità del
punto.

φ
.
φ
σ
4.1 Statica del punto e attrito 75
Fig. 4.1. Nel caso in cui la reazione vincolare φ 1 cade internamente al cono di attrito si ha equilibrio. Non si ha invece equilibrio
quando la reazione vincolare φ 2 cade esternamente al cono di attrito. Il versore ˆ N denota la normale alla superficie σ in P
Superficie priva di attrito
Quando fs = 0, si dice che l’appoggio o il contatto sono realizzati senza attrito, o anche che la
superficie σ è priva d’attrito. Il cono di attrito si riduce alla normale e la (4.3) si riduce alla sola
condizione
Ft = 0. (4.4)
Si esige dunque, per l’equilibrio, che la forza attiva F sia puramente normale; nel caso di un vincolo
unilaterale di appoggio è poi necessario, in virtù della (4.2), che questa sollecitazione normale sia
rivolta verso l’interno del corpo che realizza l’appoggio o il contatto con P.
Nel caso ideale di una superficie priva di attrito, la componente tangenziale della reazione è nulla
o, in altre parole, la reazione si esplica tutta secondo la normale esterna.
Osserviamo che: nelle questioni statiche, prescindendo dall’attrito, si agisce in favore
della sicurezza. Cioé se le forze esterne attive rimangono equilibrate da reazioni normali allora lo
sono anche da forze appartenenti alle falde dei coni d’attrito (qualunque siano questi coni). Occorre
rilevare che possono darsi casi di equilibrio, non soltanto favoriti, ma traenti addirittura dall’attrito
la possibilità di sussistere.
4.1.2 Punto vincolato a muoversi su di una superficie o su una curva.
Consideriamo un punto materiale P costretto a muoversi su una data superficie σ (vincolo bilaterale),
realizzato immaginando che il punto sia costretto a muoversi su due superfici uguali vicinissime l’una
all’altra. Ragionando come nel caso di un punto appoggiato ad una superficie chiamiamo cono
di attrito l’insieme delle due falde di cono relative ai due vincoli unilaterali costituenti il vincolo
bilaterale. Avremo che:
Teorema 4.1. Condizione necessaria e sufficiente affinché un punto materiale, vincolato a muoversi
su di una superficie, resti in equilibrio sotto la sollecitazione di una forza è che questa non sia esterna
al cono di attrito.

76 4 Statica
In particolare, se la superficie è priva di attrito, sarà necessario e sufficiente che la forza sia
diretta secondo la normale alla superficie. La reazione φ, in condizioni statiche, risulta univocamente
determinata, come direttamente opposta alla forza sollecitante. Estendendo poi questo
ragionamento ad una curva γ abbiamo il seguente risultato.
Teorema 4.2. Condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio di un punto materiale P costretto
a restare sopra una curva γ è che il valore assoluto della componente tangenziale Ft della forza attiva
non superi una certa frazione fs del valore assoluto FN della componente normale:
|Ft| ≤ fsFN = fs |Fn| 2 +|Fb| 2 .
Cioé che la forza non sia interna ad un certo cono rotondo che ha la tangente per asse. Il caso di
un vincolo privo di attrito implica Ft = 0, cioé una sollecitazione puramente normale alla curva.
4.2 Equazioni cardinali della statica
4.2.1 Commento sui sistemi di forze
Nella nostra trattazione consideriamo un qualunque sistema meccanico come costituito da un numero
finito di punti discreti di massa finita (e non nulla) sui quali si pensano applicate le eventuali forze
attive e vincolari.
Di fatto le forze attive possono essere concentrate, rappresentate appunto da vettori Fs applicati
nei punti Ps, o di massa, rappresentate da una forza specifica fm = fm(r, ˙r,t) dove r ∈ S e dove
S è la porzione di spazio occupata dal sistema meccanico (ad esempio la forza peso). I vettori
caratteristici (vettore risultante e momento risultante) saranno definiti come
e
N
R = Fs + ρ(s)fmds
s=1
S
N
Ω(O) = Fs ×(O−Ps)+ ρ(s)fm ×(O−P(s))ds.
s=1
S
Le reazioni vincolari sono quelle che si esplicano a seguito del mutuo contatto di due o più solidi
ed hanno la loro origine fisica nelle forze di interazione tra le molecole dei solidi in prossimità delle
superfici di contatto. Ricordando che queste mutueinterazioni hanno un raggio di azione molto breve
allora si può concludere che queste si possono riguardare come forze di superficie; supporremo che
ancheperquestesiapossibiledefinireunaforzaperunitàdisuperficiefs = fs(r, ˙r,t),continuarispetto
ai suoi argomenti. Si deve osservare che queste forze sono profondamente influenzate, per la loro
stessanatura,dalledeformazionichesubisconoicorpinelleregioniadiacentiallesuperficidicontatto.
L’ipotesi di rigidità, non considerando queste deformazioni, rende impossibile la determinazione della
funzione fs che risulterà quindi incognita (al contrario delle forze attive per le quali sono note le leggi
di forza). Talvolta accade che il contatto tra due solidi, ad esempio, avvenga su superfici σ di
estensione sufficientemente piccola in modo da potere confondere queste superfici con un solo loro
punto (vedremo poi che, almeno per certe analisi, è necessario aggiungere alla reazione che si desta
in questo punto una coppia di momento incognito). In questo caso avremo un sistema di reazioni

4.2 Equazioni cardinali della statica 77
vincolari di vettori φs applicate nei punti Or, r = 1,...,N ′ , ed i vettori caratteristici saranno dati
da
e
N
Φe =
′
φr +
r=1
∂S
N
Ψ(O) =
′
φr ×(O −Or)+
r=1
fsdσ
fs ×(O−Ps)dσ
∂S
dove gli integrali si intendono estesi alla superficie del corpo.
Osserviamo che la impossibilità di assegnare le leggi di forza non rende ”a priori” arbitrari i vettori
φs e il campo vettoriale fs, ad esempio è sperimentalmente noto che una superficie perfettamente
levigata può esplicare soltanto le reazioni vincolari ad essa normali. Se i contatti non sono lisci e
cioé sono scabri, le condizioni precedenti vanno sostituite con altre più complesse, diverse a seconda
che il sistema meccanico sia in quiete o in moto.
Premesso ciò nel seguito assumeremo che il sistema di forze, sia attive che vincolari, sia costituito
da forze applicate su singoli punti del sistema materiale e quindi rappresentato da un insieme di
vettori applicati {(Ps,Fs),s = 1,...,N}
4.2.2 Vettori applicati
Definizione 4.3. Diremo vettore applicato la coppia (P,F) dove P denota un punto nello spazio
e F un vettore.
Risultante e momento risultante di un sistema di vettori applicati
Definizione 4.4. Dato un vettore applicato (P,F) ed un punto O si chiama momento di polo O
del vettore F applicato in P il vettore
M(O) = (P −O)×F = F×(O−P).
Definizione 4.5. Dato un sistema Σ di vettori applicati
si dirà vettore risultante del sistema il vettore
Σ = {(P1,F1), (P2,F2), ..., (PN,FN)}
N
R = Fs
s=1
Scelto poi un qualunque punto O si denota momento risultante di polo O del sistema il vettore
Vale la seguente proprietà:
N
M(O) = Fs ×(O −Ps).
s=1

78 4 Statica
Teorema 4.6. Dati due punti qualunque O e O ′ nello spazio si ha che
M(O ′ ) = M(O)+R×(O ′ −O).
Dimostrazione. La verifica è immediata:
M(O ′ N
) = Fs ×(O ′ −Ps) =
s=1
N
Fs ×[(O ′ −O)+(O−Ps)]
s=1
= R×(O ′ −O)+M(O). (4.5)
Daquestaproprietàseguechese il vettore risultante R è nullo allora il momento risultante
è indipendente dalla scelta del polo, e viceversa.
Definizione 4.7. Dato un sistema Σ di vettori applicati avente risultante R e momento risultante,
rispetto ad un polo O, M(O), chiameremo invariante la grandezza scalare
I = M(O)·R.
Proprietà tipica dell’invariante è che esso non dipende dal polo O. Infatti, siano dati due
punti qualunque O e O ′ , allora dalla (4.5) segue che:
M(O ′ )·R = [R×(O ′ −O)+M(O)]·R = M(O)·R.
In particolare, l’invariante rappresenta la componente del momento risultante proiettata
sull’asse avente direzione data dal vettore risultante. Questa componente risulta costante ed
è data da I/R dove R = |R|.
Asse centrale
Dato un sistema Σ di vettori applicati aventi vettore risultante R non nullo cerchiamo il luogo
geometrico dei punti O ′ rispetto ai quali il momento risultante M(O ′ ) è parallelo al vettore risultante
R. Si dimostra che questo luogo geometrico è una retta avente la stessa direzione di R.
Infatti, fissato un punto O generico introduciamo un sistema di riferimento centrato in O e con
(O;z) parallelo ed equiverso ad R = R ˆ k. In questo caso la (4.5) proiettata lungo gli assi x, y e z
prende la forma delle seguenti tre equazioni scalari
M ′ x = Mx −yR, M ′ y = My +xR, M ′ z = Mz
dove Mx,My,Mz sono le componenti di M(O), M ′ x,M ′ y,M ′ z sono le componenti di M(O ′ ) e dove
x,y,z sono le coordinate di O ′ . Scegliamo ora O ′ tale che M ′ x = M ′ y = 0, cioé
x = − My Mx
, y =
R R .
Il luogo cercato è quindi una retta parallela al vettore risultante R e passante per O ′ di coordinate
(−My/R,Mx/R,z), z ∈ R.
In particolare, il momento risultante calcolato per i punti di tale retta risulta avere
modulo minimo rispetto alla scelta del polo; infatti per i punti appartenenti a tale retta la
componente ortogonale all’asse stesso è nulla mentre, per ogni punto, la componente parallela è
costante: M ′ z = Mz. Tale grandezza è detta momento minimo e coincide con |I|/R.
Nel caso notevole in cui I = 0 e R = 0 segue che M(O ′ ) = 0 per tutti i punti appartenenti a tale
retta; cioé

Teorema 4.8. Quando R = 0 e l’invariante è nullo
I = 0
4.2 Equazioni cardinali della statica 79
allora il luogo geometrico dei punti O ′ rispetto ai quali il momento risultante è nullo M(O ′ ) = 0 è
una retta, detta asse centrale, parallela al vettore risultante R.
Sistemi equivalenti di vettori applicati e loro riduzione
Definizione 4.9. Due sistemi di vettori applicati Σ e Σ ′ si dicono equivalenti quando hanno uguale
vettore risultante e momento risultante rispetto ad un dato polo O:
R = R ′ e ∃O | M(O) = M ′ (O). (4.6)
Dalla (4.5) segue che se la (4.6) è vera per un polo O allora è vera per ogni polo.
Esempi:
i. un sistema Σ di vettori applicati ad un medesimo punto
Σ = {(O,F1), (O,F2), ..., (O,FN)}
è equivalente al loro risultante R = N s=1Fs applicato nel medesimo punto;
ii. sono equivalenti tra loro due vettori equipollenti e applicati sulla retta parallela ai vettori stessi.
Definizione 4.10. Diremo coppia ogni sistema formato da due vettori applicati opposti (cioé paralleli
e di verso opposto) (P,F) e (B,−F). La distanza delle rispettive linee d’azione (cioé della retta
passante per il punto di applicazione del vettore e parallela al vettore stesso) si dirà braccio della
coppia.
Essendo il vettore risultante di una coppia nullo allora il momento risultante è indipendente dalla
scelta del polo ed è dato, in modulo, dal prodotto tra il modulo di F e del braccio della coppia.
Inoltre è ovvio dimostrare che dato un vettore M si possono costruire infinite coppie avente M come
momento.
Vale il seguente risultato:
Teorema 4.11 (Formulazione geometrica del Teorema di Mozzi). Un sistema di vettori applicati
Σ avente invariante non nullo I = 0 equivale sempre ad un sistema Σ ′ costituito da
un vettore applicato e da una coppia. Nel caso in cui l’invariante sia nullo I = 0 allora il
sistema è equivalente a:
— un unico vettore applicato (O ′ ,R) se e soltanto se R = 0, dove R è il vettore risultante di Σ
e dove il punto di applicazione O ′ è un punto qualunque dell’asse centrale;
— alla sola coppia se e soltanto se R = 0 e M(O) = 0, dove M(O) è il momento risultante di Σ
rispetto ad un dato polo O;
— al sistema nullo se, e soltanto se, R = M(O) = 0; in quest’ultimo caso si dirà anche che il
sistema di vettori applicati è equilibrato.

80 4 Statica
Dimostrazione. Consideriamo, per primo, il caso in cui sia l’invariante I nullo:
I = 0 ⇐⇒ (R = 0)∨(M(O) = 0)∨(R ⊥ M(O)).
Se M(O) = 0 allora il sistema equivale al sistema elementare costituito dal solo vettore applicato
(O,R); se M(O) = 0 e R = 0 allora esistono infinite coppie di momento M ed il sistema equivale
ad una di queste coppie; infine se M(O) = 0, R = 0 e M(O) ⊥ R allora esiste un vettore w tale che
M(O) = R×w
Sia ora O ′ tale che O −O ′ = w, per costruzione segue che
M(O ′ ) = M(O)+R×(O ′ −O) = M(O)−R×w = 0
e quindi il sistema equivale ad una unico vettore R applicato in O ′ .
Consideriamo ora il caso in cui l’invariante I sia non nullo e denotiamo con M⊥(O) la componente
perpendicolare a R e con M(O) la componente non nulla (altrimenti l’invariante sarebbe nullo)
parallela a R:
M(O) = M⊥(O)+M(O)
Se M⊥(O) = 0 allora il sistema equivale ad un vettore applicato (O,R) e alla coppia di momento
M(O); se invece M⊥(O) = 0 allora, cambiando il polo O in modo opportuno, il sistema equivale ad
un vettore applicato (O ′ ,R) e alla coppia di momento M(O) dove O ′ e tale che
Sistemi di vettori applicati paralleli
M(O) = R×(O−O ′ ).
Definizione 4.12. Si dice sistema di vettori applicati paralleli un sistema Σ di vettori applicati
(Ps,Fs), s = 1,2,...,N, dove
per un qualche versore â.
Fs = Fsâ, s = 1,2,...,N
Osserviamo che per un sistema di vettori paralleli il vettore risultante, quando non nullo, risulta
essere parallelo al versore â:
N
N
R = Fsâ = Râ, R = Fs
s=1
s=1
Teorema 4.13. Un sistema Σ di vettori applicati paralleli è equivalente ad un unico vettore o ad
una coppia.
Dimostrazione. La dimostrazione è immediata e segue dal fatto che l’invariante
N
N
I = R·M(O) = Fs â· Fsâ×(O−Ps)
s=1 s=1
N
N
= Fs â·â× Fs(O−Ps) = 0
s=1
s=1

4.2 Equazioni cardinali della statica 81
è nullo. Nel caso particolare in cui R = 0 allora segue, da quanto detto, che il sistema equivale ad
un unico vettore applicato in un punto qualunque all’asse centrale; se invece R = 0 allora il sistema
è equivalente ad una coppia di momento M(O).
Osserviamo che al variare della direzione â varia anche l’asse centrale. Si dimostra che:
Teorema 4.14. Sia dato un sistema Σ di vettori applicati paralleli
(Ps,Fs), Fs = Fsâ, s = 1,...,N.
Se R = Râ = 0 allora esiste un unico punto C, detto centro dei vettori paralleli, tale che il
sistema di vettori Σ è equivalente all’unico vettore applicato (C,R) e tale che C non muta se si
cambia la direzione comune dei vettori stessi ma si conservano i punti di applicazione e le lunghezze
dei vettori. Assumendo O l’origine del sistema di riferimento si ha che
C −O =
Ns=1Fs(Ps −O)
.
R
Dimostrazione. La dimostrazione è immediata: infatti C deve essere la soluzione della equazione
M(C) = 0, che deve avere soluzione indipendente da â. Tale equazione ha la forma
N
N
0 = Fsâ×(C −Ps) = â× Fs(C −Ps)
s=1
s=1
che risulta soddisfatta indipendentemente da â se, e soltanto se,
da cui segue la tesi.
4.2.3 Sistemi di vettori applicati riducibili
Operazioni elementari
N
0 = Fs(C −Ps)
s=1
Dato un sistema di vettori applicati Σ chiameremo operazioni elementari le seguenti:
a) Composizione o decomposizione di vettori applicati: ossia la sostituzione di vettori, applicati
nel medesimo punto, con il loro risultante, e viceversa.
b) Scorrimento di vettori lungo la linea d’azione: ossia la sostituzione sulla linea d’azione di un
vettore applicato qualsiasi con un altro equipollente situato in un altro punto della linea d’azione.
Taleoperazioneequivalealla aggiunta o soppressione di due vettori direttamente opposti.
ÈovviocheunsistemadivettoriΣ ′ ottenutaapartiredaΣ medianteunasuccessionedioperazioni
elementari è equivalente al sistema iniziale; infatti le operazioni di composizione o decomposizione
e di scorrimento non alterano i vettori caratteristici di Σ. Vale anche il viceversa: cioé due
sistemi equivalenti sono riducibili l’uno all’altro mediante una successione di operazioni
elementari.
Questa proprietà discende dal seguente Teorema:

82 4 Statica
π
Fig. 4.2. Riduzione di un sistema di 3 forze a 2 forze.
Teorema 4.15. Ogni sistema Σ di vettori applicati è riducibile ad un sistema Σ ′ costituito da due
soli vettori applicati.
Dimostrazione. Dimostriamo prima il teorema nel caso in cui Σ sia costituito dai soli tre vettori
applicati (P1,F1), (P2,F2) e (P3,F3). Se, come caso particolare, le linee di azione di due vettori
applicati, diciamo (P1,F1) e (P2,F2), sono incidenti in un punto P allora mediante una operazione
elementare di scorrimento e poi di composizione segue che questi due vettori applicati sono riducibili
all’unico vettore (P,F1 + F2). Se poi i tre vettori applicati sono paralleli e contenuti in un piano
π, cioé P1,P2,P3 ∈ π e Fi = Fiâ con â che giace in π, allora scomponendo F1 = F ′ 1 + F ′′
π
1, con F ′ 1
e F ′′
1 non paralleli ad â, otteniamo un nuovo sistema di quattro vettori applicati (P1,F ′ 1), (P2,F2),
(P1,F ′′
1) e (P3,F3) costituito da due coppie di vettori incidenti in un punto e quindi riducibile a
due vettori applicati. Rimane quindi da dimostrare il caso generale in cui le linee di azione non
sono tutte parallele tra loro e i punti non appartenenti ad un unico piano o incidenti in un unico
punto. Sia ora r la retta intersezione tra il piano π, avente asse (P2,F2) e passante per P1, ed
il piano π ′ , avente asse (P3,F3) e passante per P1, e sia P un qualunque punto appartenente a
r e distinto da P1. Scomponiamo (P2,F2) lungo le linee PP2 e P1P2 ottenendo un nuovo sistema
(P2,F ′ 2), (P2,F ′′
2) riducibile a (P2,F2); analogamente scomponiamo (P3,F3) lungo le linee PP3 e P1P3
ottenendo un nuovo sistema (P3,F ′ 3), (P3,F ′′
3) riducibile a (P3,F3). Facciamo ora scorrere ciascuno
di questi vettori applicati lungo le proprie linee d’azione in modo da ottenere il sistema costituito
dai 5 vettori applicati (P1,F1), (P1,F ′ 2), (P1,F ′ 3), (P,F ′′
2) e (P,F ′′
3) riducibili al sistema costituito da
due vettori applicati (P1,F1 +F ′ 2 +F ′ 3) e (P,F ′′
2 +F ′′
3). Se il sistema è costituito da n > 3 vettori
applicati allora, isolandone tre e riducendo questi a due, si riduce il sistema a n−1 vettori applicati
seguendo lo schema appena descritto; ripetendo questo procedimento n−2 volte alla fine si riduce il
sistema originario a due soli vettori applicati.
Segue il corollario:
Corollario 4.16. Ogni sistema equivalente ad un sistema nullo è riducibile ad un sistema assolutamente
nullo, cioé costituito solo da vettori nulli.

4.2 Equazioni cardinali della statica 83
Dimostrazione. Il Corollario segue immediatamente dal Teorema precedente, infatti i due vettori
che costituiscono Σ ′ devono essere equivalenti al sistema nullo, cioé devono costituire una coppia di
braccio nullo che può essere ridotta al vettore nullo.
4.2.4 Sistemi equivalenti di forze
Un sistema di forze è rappresentato come un insieme di vettori applicati (Ps,Fs), s = 1,...,N.
In analogia con quanto già visto nel primo capitolo possiamo introdurre i vettori caratteristici del
sistema di forze: il vettore risultante: R = N s=1Fs ed il momento risultante rispetto ad un
dato polo O: Ω(O) = N s=1Fs ×(O−Ps). Riassumendo, valgono i seguenti risultati:
i. Due sistemi di forze sono tra loro equivalenti se, rispetto ad un dato polo, hanno uguali vettori
caratteristici e sarà inoltre possibile provare che due sistemi di forze sono riducibili l’uno all’altro,
mediante operazioni elementari di composizione, decomposizione e scorrimento, se, e solo se, essi
sono equivalenti tra loro.
ii. Unsistemadiforzeèequivalenteadunsistemacostituitodaunaforzaedaunacoppia,ingenerale;
in alcuni casi particolari esso può essere equivalente ad una coppia sola, ad una sola forza e al
sistema nullo. Nel caso in cui il sistema sia equivalente ad una sola forza questa prende il nome
di forza risultante.
iii.Introducendo l’invariante I = R·Ω(O) si ha che:
- se I = 0 allora il sistema equivale ad una coppia ed una forza;
- se I = 0 e R = 0 allora il sistema equivale ad una sola forza;
- se I = 0, R = 0 e Ω(O) = 0 allora il sistema equivale ad una sola coppia;
- se I = 0, R = Ω(O) = 0 allora il sistema equivale al sistema nullo.
iv.Nel caso di sistemi di forze parallele (Ps,Fs) in cui Fs = Fsâ allora si prova che l’invariante I è
sempre nullo; quindi se n s=1Fs = 0 allora il sistema di forze parallele equivale ad una sola forza
di vettore R = ( n s=1Fs)â. Tale forza può essere applicata su un punto C, detto centro delle
forze parallele, che risulta essere indipendente dalla direzione â delle forze e che ha equazione
ns=1Fs(Ps −O)
C −O = ns=1Fs .
v. Nel caso particolare in cui queste forze parallele siano le forze peso allora Fs = ps = msg ed il
centro delle forze parallele ha equazione
ns=1ms(Ps −O)
C −O = ns=1ms cioé coincide con il baricentro.
4.2.5 Condizioni necessarie per l’equilibrio di un sistema meccanico
Forze interne ed esterne
Sia S un sistema materiale qualsiasi considerato come un certo insieme di punti materiali soggetto
alle sollecitazioni di un sistema di forze, fra le quali anche le reazioni che rappresentano le azioni
di eventuali vincoli che limitano la libera mobilità dei singoli punti materiali di S. Fissato in S un
punto materiale Ps distingueremo le forze applicate in Ps in due categorie:

84 4 Statica
i. Forze esercitate su Ps dagli altri punti dello stesso sistema S; queste si dicono forze interne,
attive e vincolari, e le denoteremo rispettivamente Fs,i e φs,i.
ii. Forze di altra origine, esterne al sistema; queste si dicono forze esterne, attive e vincolari, e le
denoteremo rispettivamente Fs,e e φs,e.
Le forze interne, considerate nel loro insieme, sono a due a due, direttamente opposte e dirette
lungo la congiungente in virtú del III◦ principio della Dinamica, quindi in ogni sistema materiale
sollecitato le forze interne sono, per la loro stessa natura, tali che i vettori applicati, che
le rappresentano, costituiscono un sistema equivalente ad zero o equilibrato; cioé aventi
nulli il risultante
N N
Ri +Φi = 0 dove Ri = Fs,i e Φi =
ed il momento risultante (rispetto ad ogni centro di riduzione):
dove
s=1
Ωi(O)+Ψi(O) = 0
φs,i
s=1
N
N
Ωi(O) = Fs,i ×(O−Ps) e Ψi(O) = φs,i ×(O−Ps).
s=1
s=1
Si noti che questa osservazione è applicabile ad ogni sistema S ′ ottenuto isolando idealmente ogni
parte di S dove ora le forze dovute ai punti di S esterni ad S ′ vanno riguardate come forze esterne.
Equazioni cardinali dell’equilibrio: condizione necessaria
Teorema 4.17 (Equazioni cardinali dell’equilibrio). Se un qualsiasi sistema materiale sollecitato
è in equilibrio, il sistema di vettori applicati che rappresentano le forze esterne, agenti sul
sistema, è equivalente a zero. Se, rispetto ad un qualsiasi centro di riduzione O, sono Re, Φe e
Ωe(O), Ψe(O) il vettore risultante e il momento risultante delle forze esterne attive e vincolari, la
condizione di equilibrio comporta le seguenti equazioni vettoriali:
Re +Φe = 0
(4.7)
Ωe(O)+Ψe(O) = 0
dette equazioni cardinali della statica.
Dimostrazione. Poiché tutti i punti sono supposti in equilibrio allora per ogni punto Ps deve essere
0 = Fs,i +Fs,e +φs,i +φs,e, s = 1,2,...,N, (4.8)
dove Fs,i rappresenta il vettore della forza risultante di tutte le forze attive interne applicate a Ps,
Fs,e rappresenta il vettore della forza risultante di tutte le forze attive esterne applicate a Ps, φs,i
rappresenta il vettore della forza risultante di tutte le reazioni vincolari interne applicate a Ps e φs,e
rappresenta il vettore della forza risultante di tutte le reazioni vincolari esterne applicate a Ps. Sommando
le (4.8) rispetto ad s e ricordando che le forze interne (sia vincolari che attive) costituiscono
un sistema equivalente al sistema nullo allora si ottiene la prima delle (4.7). Moltiplicando (vettorialmente)
le (4.8) per O − Ps e poi sommando rispetto ad s e ricordando che le forze interne (sia
vincolari che attive) costituiscono un sistema equivalente al sistema nullo allora si ottiene la seconda
delle (4.7) completando così la dimostrazione.

4.2 Equazioni cardinali della statica 85
Le equazioni (4.7), condizioni necessarie per l’ equilibrio, non sono, in generale, condizioni sufficienticomecisipuòrenderecontopensandoalcasodiduepuntiliberisoggettiallamutuaattrazione
gravitazionale.
Vediamo due esempi:
i. Consideriamo una catena pesante, in equilibrio ed appesa per gli estremi a due ganci A e B. Le
forze esterne sono le reazioni (A,φA) e (B,φB) applicate nei due ganci e i pesi sui singoli anelli
che possono essere sostituiti con il peso totale (G,p) della catena applicato sulla verticale del
baricentro G. La condizione necessaria per l’equilibrio (4.7) implica che i tre vettori φA, φB e
p costituiscano un sistema equilibrato, cioé che siano complanari e che le linee di azione delle
reazioni vincolari si incontrino sulla verticale passante per il baricentro.
ii. Consideriamo un sistema pesante S appoggiato ad un suolo orizzontale in più punti. Le reazioni
vincolari nei punti di appoggio, comunque disposti, devono esercitare una forza di intensità −p
per sostenere il sistema pesante S, dove p denota il vettore della forza peso.
4.2.6 Postulato caratteristico dei solidi e sufficienza delle equazioni cardinali della statica
Le equazioni cardinali (4.7) che, per un sistema materiale qualsiasi, risultano soltanto necessarie
per l’equilibrio, diventano anche sufficienti nel caso dei solidi. Dove diremo solido ogni sistema
materiale che, di fronte a qualsiasi sollecitazione ed in qualsiasi condizione di moto, si comporti come
assolutamente rigido; cioé le mutue distanze tra i punti rimangono inalterate.
Enunciamo il seguente principio di evidenza sperimentale:
Postulato caratteristico dei solidi. L’equilibrio di un solido non si altera, quando a due suoi
punti, quali si vogliano, si applicano due forze direttamente opposte (cioé di vettori −F e F
dirette lungo la congiungente).
Da tale principio, dai risultati su sistemi di forze equivalenti già visti e ricordando che l’equilibrio
di un solido S non risulta turbato se a due o più forze, applicate ad un medesimo punto del
sistema, si sostituisce la rispettiva risultante o, viceversa, se una forza agente su di un punto di
S si decompone comunque in una o più forze, applicate a quel medesimo punto, allora possiamo
affermare che: l’equilibrio di un solido non si altera quando al sistema delle forze (attive
e vincolari) effettivamente agenti su di esso si sostituisca un qualsiasi altro sistema di
forze, equivalente al primitivo; cioé avente il medesimo vettore risultante ed il medesimo
momento risultante rispetto ad ogni punto. In particolare se le (4.7) sono soddisfatte allora
possiamo sostituire alle forze effettivamente agenti sul solido un sistema di forze nulle. Da quanto
enunciato segue che: nel caso dei solidi le condizioni cardinali dell’equilibrio (4.7) non sono
soltanto necessarie ma anche sufficienti. Così possiamo affermare che:
Teorema 4.18 (Equazioni cardinali della statica). Condizionenecessaria e sufficiente affinché
un corpo rigido sia in quiete è che esista esista un sistema di reazioni vincolari, compatibile con la
natura dei vincoli, tale che le equazioni
Re +Φe = 0
(4.9)
Ωe(O)+Ψe(O) = 0
risultano soddisfatte. Queste equazioni prendono il nome di equazioni cardinali della statica.
Re ed Ωe(O) sono il vettore risultante ed il momento risultante rispetto ad un polo qualunque della
forze attive esterne; Φe ed Ψe(O) sono il vettore risultante ed il momento risultante della reazioni
vincolari esterne.

86 4 Statica
Osserviamo che le (4.9) (così come nelle (4.7)) le incognite sono, oltre ai parametri lagrangiani,
anche le reazioni vincolari.
4.2.7 Esempi
Solido con un punto fisso O
Se al solido S sono applicate certe date forze di vettore risultante Re, per avere tutte le forze esterne
agenti su S dobbiamo aggiungere alle forze attive le reazioni vincolari applicate nel punto fisso O e
di vettore risultante Φe. Denotando con Ωe(O) il momento risultante rispetto ad O delle sole forze
attive abbiamo come condizioni necessarie e sufficienti per l’equilibrio del solido le due equazioni:
Re +Φe = 0, Ωe(O) = 0. (4.10)
La equazione Re+Φe = 0 non costituisce alcuna restrizione per le forze attive, ma serve a individuare
la reazione Φe del punto fisso O. Condizione necessaria e sufficienteperl’equilibrioèla
Ωe(O) = 0, ossia l’annullarsi del momento risultante di tutte le forze direttamente applicate rispetto
al punto tenuto fisso. Osserviamo che un corpo rigido con punto fisso è un sistema a tre gradi di
libertà e possiamo assumere gli angoli di Eulero quali parametri lagrangiani. L’equazione Ωe(O) = 0
è un’equazione vettoriale che equivale a tre equazioni scalari nelle tre incognite rappresentate dai
parametri lagrangiani.
. Φ
.
.
.
Fig. 4.3. Figura a sinistra: corpo rigido con punto fisso O. Le reazioni vincolari esterne sono tutte applicate in O e hanno
verso e direzione totalmente incognite. Figura a destra: corpo rigido con asse a fisso. Le reazioni vincolari esterne sono tutte
applicate in punti Os, s = 1,2,...,N con N ≥ 2, dell’asse e hanno verso e direzione totalmente incognite.
Solido con asse fisso
Sia S un solido girevole intorno ad un asse fisso a, con cui sia rigidamente connesso. Indichiamo
con Re il vettore risultante delle forze esterne attive che lo sollecitano. Oltre a queste agiranno su
S certe reazioni vincolari (O1,φ1),...,(ON,φN), di vettore risultante Φe = N s=1φs, che saranno
tutte applicate in punti dell’asse, quindi avranno ciascuna momento nullo rispetto alla retta a, cioé
Φ
Φ
Φ

4.2 Equazioni cardinali della statica 87
Ψe(O)·â = 0 dove O è un punto dell’asse. Ma per l’equilibrio è necessario che si annulli il momento
risultante di tutte le forze esterne rispetto ad un qualsiasi punto e, quindi, anche rispetto ad una
retta qualsiasi, e in particolare all’asse. Quindi, indicando con Ωa il momento risultante delle forze
attive proiettato sull’asse a, concludiamo che condizione necessaria per l’equilibrio è:
Ωa = Ωe(O)·â = 0 (4.11)
dove O è un punto dell’asse e â è il versore che individua l’asse. La condizione (4.11) è anche
sufficiente; per mostrare ciò bisogna premettere la seguente osservazione: data una retta a e prefissati
ad arbitrio due vettori Φe ed Ψe(O), sotto la condizione che il secondo sia ortogonale ad a, esistono
infiniti sistemi (fra loro equivalenti) di vettori applicati in punti assegnati della retta data aventi Re
ed Ψe(O) rispettivamente come risultante e come momento risultante rispetto al punto O. Quindi,
ammessa la (4.11), esistono infiniti sistemi di vettori equivalenti al sistema delle forze attive, e
applicati a quei punti di a che, per ipotesi sono materialmente fissati. Quindi, assegnati i punti di
a materialmente fissati, esiste un sistema di reazioni vincolari compatibile con la natura dei vincoli
che rendono vere le (4.9). Abbiamo pertanto che: affinché le forze direttamente applicate ad
un solido, avente un asse fisso, si facciano equilibrio è necessario e sufficiente che esse
abbiano momento risultante nullo rispetto a quest’asse.
Nel caso di un solido avente asse fisso le equazioni cardinali dell’equilibrio, per ciò che riguarda le
reazioni, dicono soltanto che il loro risultante e il loro momento risultante (rispetto ad un dato punto)
devono essere direttamente opposti al risultante e all’analogo momento risultante delle forze attive,
e lasciano indeterminata (subordinatamente a queste condizioni d’insieme) la distribuzione
locale delle reazioni nei singoli punti dell’asse, che son tenuti fissi. Più precisamente, le
equazionicardinaliportanoaconcluderecheincondizionistatichel’azionedeivincolisipuòsostituire,
indifferentemente, con uno qualsiasi dei sistemi (fra loro vettorialmente equivalenti) di reazioni,
applicate nei punti tenuti fissi, e aventi risultante e momento risultante direttamente opposti a quelli
delle forze attive.
Nel caso in cui i punti dell’asse a, effettivamente fissati, sono soltanto due, O e O ′ . Le reazioni cui
l’asse a è realmente soggetto sono, allora, due sole: una φ applicata in O e l’altra φ ′ applicata in O ′ .
Ora, essendo il solido in equilibrio, si conosce il risultante di queste forze e il loro momento risultante.
Concludiamo che la indeterminazione di φ e φ ′ si riduce, in questo caso, a due componenti assiali,
direttamente opposti. Se si sapesse, per esempio, che φ ′ è normale all’asse fisso, entrambe le reazioni
rimarrebbero completamente determinate.
Quando é possibile determinare la distribuzione delle singole reazioni vincolari esterne allora
si parla di sistema staticamente determinato; altrimenti si parla di sistema staticamente
indeterminato o iperstatico.
Solido con asse scorrevole su se stesso
La condizione di equilibrio diventa:
Ra = Re ·â = 0, Ωa = Ωe(O)·â = 0 (4.12)
dove â è il versore che individua la direzione dell’asse e dove O è un punto qualunque dell’asse. Cioé:
condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio di un solido con asse scorrevole su
se stesso è che si annullino, rispetto all’asse, la componente del vettore risultante e il
momento risultante delle forze attive.

88 4 Statica
4.2.8 Equilibrio di solidi appoggiati
Corpo pesante su un piano orizzontale
Sia S un solido pesante appoggiato in piú punti ad
un piano orizzontale. Se i punti di appoggio sono in un
numero finito, diremo perimetro d’appoggio quello di
un poligono convesso, avente tutti i suoi vertici in punti
d’appoggio, e tale che nessun appoggio resti al di fuori di
esso. La nozione di perimetro di appoggio si estende al caso
generale mistilineo (formato da segmenti e archi di curva),
con la condizione che ogni vertice sia un punto di appoggio.
In ogni appoggio Ps, s = 1,2,...,N, si avrá una certa
reazioneφs direttadall’appoggioversoilcorpoe,adottando
l’ipotesiidealedell’assenzadiattrito,illorosistemaéequivalente
(vettorialmente) al loro risultante applicato in un
certo punto Q (centro delle reazioni) interno, o almeno non
esterno, al perimetro di appoggio; infatti il sistema delle
reazioni vincolari (Ps,Φs) é costituito da un insieme di vettori
paralleli ed equiversi. Tale reazione, per soddisfare le
condizioni di equilibrio, deve essere equilibrata dal peso to-
Φ
.
.
Φ
.
.
.
.
.
.
.
Φ
Fig. 4.4. Il perimetro d’appoggio é un
poligono convesso, avente vertici coincidenti con
punti d’appoggio e gli eventuali ulteriori punti
d’appoggio sono non esterni al poligono.
tale p applicato nel baricentro G, quindi la verticale del baricentro deve passare per Q. Cioé: per
l’equilibrio di un solido pesante su un sostegno piano orizzontale é necessario che la
proiezione del baricentro su tale piano sia interna, o almeno non esterna, al perimetro
di appoggio. Cioé il baricentro sia sostenuto.
Tale condizione é pure sufficiente: infatti, dato un vettore (Q,−p) applicato in un punto interno
al perimetro di appoggio con p normale al piano e assegnati i punti Ps di appoggio, s = 1,...,N
(N ≥ 3), esiste almeno un sistema di vettori (Ps,φs), con φs parallelo a p, equivalente a (Q,−p) (in
generale ne esistono infiniti quando N > 3).
In particolare per tre appoggi P1, P2, P3 si determinano anche le reazioni mentre, per un numero
di appoggi maggiore di tre, la distribuzione delle reazioni non risulta individuata; rimane una
indeterminazione tanto maggiore, quanto piú grande é il numero degli appoggi. Più in dettaglio:
supponiamo di avere N ≥ 3 appoggi Ps sopra un piano orizzontale di coordinate Ps = Ps(xs,ys,0),
s = 1,2,...,N, rispetto ad un sistema di riferimento avente come centro la proiezione del baricentro
nel piano. Assumendo l’assenza di attrito avremo che le reazioni vincolari sono normali al piano
di appoggio, più precisamente deve essere φs = φs ˆ k, φs ≥ 0. Le equazioni cardinali della statica,
proiettate lungo gli assi prendendo come origine degli assi O la proiezione del baricentro sul piano e
scegliendo come polo di riduzione questo punto, assumono la forma
⎧
⎪⎨ 0 =
⎪⎩
N s=1φs −p
0 = N s=1xsφs
0 = N s=1ysφs
(4.13)
dove p = −pˆ k. È immediato osservare che se N = 3 allora questo sistema ammette una unica
soluzione e si può provare che
φs = p ∆s
, s = 1,2,3,
∆

4.3 Principio dei lavori virtuali e statica generale 89
dove ∆ è l’area del triangolo P1P2P3 e ∆s è l’area del triangolo avente per vertice O e appoggi residui
ottenuti eliminando Ps, ad esempio ∆1 è l’area del triangolo di vertici OP2P3. Infatti il sistema
(4.13) ha soluzione
p
1 1
1
1 1
1 1 1
dove
0 x2 x3 0 x2 x3 xG x2 x3
0
y2 y3
0
y2 y3
yG
y2 y3
φ1 =
1 1 1 = p
1 1 1 = p
1 1 1
x1
x2 x3
x1
x2 x3
x1
x2 x3
y1
y2 y3
y1
y2 y3
y1
y2 y3
= p ∆1
∆
1 1 1
1 0 0
0 0 1
x1
x2 x3
= x1
x2 −x1 x3 −x1 = x2
−x1 y2 −y1 0
y1
y2 y3
y1
y2 −y1 y3 −y1 x3
−x1 y3 −y1 0
= ˆ k·[(P2 −P1)×(P3 −P1)] = area (P1P2P3).
Nel caso in cui sia N > 3 è manifesto che il sistema non ammette una unica soluzione e quindi
non siamo in grado di determinare univocamente la distribuzione delle reazioni ma solamente i
suoi vettori caratteristici; in questo caso si dice che siamo in un caso iperstatico o staticamente
indeterminato, in cui il numero di vincoli è sovrabbondante.
Legge di Hooke
Indichiamo ora un criterio che permette di eliminare l’indeterminazione nel caso iperstatico supponendo
ancora che il corpo sia perfettamente rigido e assumendo che si abbiano delle piccole deformazione
dell’appoggio. Più precisamente assumeremo (legge di Hooke) che lo sprofondamento zs
del punto di appoggio sia direttamente proporzionale alla porzione di peso che va a scaricarsi su Ps:
zs = − 1
k φs dove 1/k è un coefficiente (positivo) di proporzionalità. Se si ammette, inoltre, che il
cedimento degli appoggi non sia collegato con alcuna deformazione del corpo sovrastante allora gli N
punti, con cui il corpo stesso sarebbe stato idealmente in contatto con il piano z = 0, si troveranno,
anche ad equilibrio stabilito, in un medesimo piano di equazione z = λx+µy +ν assai prossimo al
piano zs = 0 e dove i coefficienti λ, µ, ν sono a priori indeterminati. Otteniamo quindi un nuovo
sistema di N equazioni
φs = −k(λxs +µys +ν), s = 1,2,...,N , (4.14)
da aggiungere alle tre precedenti. Complessivamente abbiamo un sistema di N +3 equazioni nelle
N +3 incognite φs e λ, µ, ν. In particolare, sostituendo le (4.14) nelle (4.13) si ottiene un sistema
che permette di determinare le λ, µ, ν; una volta determinate queste e sostituite nelle (4.14) si arriva
a determinare le reazioni vincolari.
4.3 Principio dei lavori virtuali e statica generale
4.3.1 Principio dei lavori virtuali
Il principio dei lavori virtuali, nella sua forma più generale, applicabile tanto ai problemi statici
quanto a quelli dinamici, si può enunciare nei seguenti termini:

90 4 Statica
Principio dei lavori virtuali. Le reazioni (Ps,φs), s = 1,...,N, provenienti da legami privi
di attrito sono tali che il lavoro virtuale complessivo δρ = N s=1φs ·δPs da esse effettuato è nullo
per ogni spostamento virtuale reversibile, positivo o nullo per ogni spostamento virtuale
irreversibile.
Trascurando i sistemi a legami unilaterali il principio dei lavori virtuali richiede che si annulli il
lavoro virtuale delle reazioni per ogni spostamento virtuale conciliabile con i legami. Il principio
dei lavori virtuali si legittima per induzione facendo vedere che esso risulta verificato in tanti casi
particolari:
Φ
.
δ
σ
π
Fig. 4.5. Caso di un punto vincolato a scorrere (a sinistra) e vincolato a stare appoggiato (a destra) su una superficie
priva di attrito.
i. Nel caso di un punto costretto a restare sopra una superficie o sopra una curva (priva
d’attrito). Consideriamo, adesempio,ilcasodiunapuntoP vincolato a muoversi su una superficie
liscia e fissata; in questo caso ogni spostamento virtuale δP sarà tangentealla superficie
in P, d’altra parte la reazione vincolare, essendo la superficie liscia, ha direzione necessariamente
normale alla superficie stessa e quindi
Φ
.
δ
δρ = φ·δP = 0. (4.15)
ii. Nel caso di un vincolo unilaterale, ad es. un punto che può oltrepassare una certa superficie,
pur non essendo impedito di staccarsene dalla banda opposta. In questo caso la (4.15) prende la
forma δρ = φ·δP = 0 per spostamenti invertibili del punto e δρ ≥ 0 per spostamenti virtuali di
distacco.
iii.Nel caso dei sistemi rigidi basta osservare che le reazioni vincolari (quelle di rigidità) sono forze
interne e quindi a due a due uguali e direttamente opposte. Il lavoro complessivo si può perciò
considerare come somma dei lavori effettuati da ciascuna di queste coppie, e risulterà dimostrato
l’asserto se si proverà nullo il lavoro corrispondente ad una coppia generica. Più in dettaglio
consideriamo un sistema meccanico costituito da due corpi puntiformi collegati da una asta
di lunghezza fissa ℓ e massa trascurabile. Le reazioni vincolari applicate nei due punti
saranno rappresentate da due vettori φ1 e φ2 uguali (di intensità) e opposti e diretti lungo la
congiungente (in virtù della terza legge di Newton) per cui possiamo scrivere
σ
π

δρ = φ1 ·δP1 +φ2 ·δP2 = φ1 ·δ(P1 −P2).
Ponendo P2 −P1 = ℓˆr, φ1 = φ1ˆr e ricordando che ˆr ⊥ δˆr segue infine che
δρ = φ1ℓˆr·δˆr = 0.
4.3 Principio dei lavori virtuali e statica generale 91
iv.Seunsolidoèulteriormentevincolato,presentandounpuntofisso,ounarettafissaoappoggi(privi
diattrito)sualtricorpi,siriconoscesubitocheillavorovirtualedellereazioniprovenientidaquesti
vincoliènulloneiprimiduecasi,positivoonullonelterzo. Adesempio,se due corpi rigidi sono
connessi da una cerniera in un punto A allora, trascurando la massa e le dimensioni della
cerniera, si può asserire che le reazioni che un corpo esercita sull’altro sono entrambe applicate in
A e sono uguali ed opposte e quindi il lavoro complessivo sarà nullo. Consideriamo ora il caso se
due corpi rigidi hanno le loro superfici in contatto idealmente lisce, anche in questo caso
le due reazioni sono uguali ed opposte e dirette normalmente al piano tangente comune alle due
superfici nel punto di contatto. I possibili spostamenti virtuali (che lasciano le superfici ancora
in contatto) sono tali per cui lo spostamento virtuale relativo del punto di contatto deve avvenire
sul piano tangente e quindi avremo ancora δρ = 0. Nel caso poi di appoggio allora le reazioni
vincolari sono dirette da un corpo verso l’altro (oltre che normali al comune piano tangente) e
quindi avremo δρ ≥ 0 per spostamenti virtuali di distacco e δρ = 0 per gli altri.
Α −Φ Α
Fig. 4.6. Caso di due aste incernierate agli estremi: sulle due aste separatamente sono applicate due reazioni uguali e opposte
nel punto A corrispondente alla cerniera.
4.3.2 Condizione generale d’equilibrio. Relazione simbolica della Statica
Nel seguito faremo l’ipotesi di vincoli privi di attrito. Ciò premesso, consideriamo un generico
sistema di punti materiali Ps, s = 1,...,N, soggetti a vincoli privi di attrito, e cerchiamone le
condizioni di equilibrio, vale a dire le condizioni necessarie e sufficienti, affinché le forze Fs,
direttamente applicate ai singoli punti Ps, siano atte a mantenerli in quiete. In base al principio
dei lavori virtuali, nella sua accezione più generale, si conclude che per l’equilibrio del sistema è
necessario e sufficiente che le forze attive rendano soddisfatta, per tutti gli spostamenti virtuali,
la relazione
Φ

92 4 Statica
Più precisamente:
δL =
N
Fs ·δPs = −δρ ≤ 0, essendo δρ ≥ 0. (4.16)
s=1
Teorema 4.19 (Teorema dei lavori virtuali). Condizionenecessariaesufficiente per l’equilibrio
di un sistema materiale a vincoli privi di attrito (e indipendenti dal tempo) è che le forze
attive compiano un lavoro virtuale totale negativo o nullo per ogni spostamento virtuale a partire
dalla configurazione di equilibrio.
Dimostrazione. Per dimostrare la parte necessaria supponiamo il sistema in equilibrio; quindi ogni
punto è in equilibrio e pertanto deve essere
Fs +φs = 0, s = 1,2,...,N.
Moltiplicando scalarmente ambo i membri per δPs, sommando rispetto a s e facendo uso del principio
dei lavori virtuali segue δL ≤ 0. La dimostrazione della parte sufficiente viene data in seguito
attraverso le equazioni di Lagrange.
Come si vede, una tale conclusione è indipendente dalle modalità di realizzazione dei vincoli, in
quantolacondizioneinessaenunciatafaintervenireglispostamentivirtuali,cherispecchianol’effetto
geometrico e cinematico dei vincoli, ma non i particolari dispositivi che li attuano.
La (4.16) prende il nome di relazione simbolica della Statica. Se il sistema non ammette
spostamenti virtuali irreversibili, il che accade se non vi sono vincoli unilaterali, essa si riduce alla
e si chiama equazione simbolica della statica.
Dalla (4.16) possiamo dedurre due corollari:
δL = 0 (4.17)
i. Se ad un sistema Σ di forze attive, atte a mantenere in equilibrio un dato punto materiale S, si
aggiunge una seconda sollecitazione Σ ′ , pure atta a mantenere S in equilibrio, la sollecitazione
risultante Σ +Σ ′ verifica anch’essa la condizione di equilibrio.
ii. Se un sistema materiale S ′ differisce da un sistema S per l’aggiunta di alcuni legami, e se una
certa sollecitazione Σ mantiene S in equilibrio, a maggior ragione manterrà in equilibrio S ′ .
Quando poi tutti i vincoli sono bilaterali (o più generalmente, quando non si tratta di una configurazione
di confine) si rileva dalla (4.17): se un sistema di forze attive applicate ad un sistema
materiale è in equilibrio, lo è pure il sistema costituito dalle stesse forze prese in verso opposto.
Esempio: solido fissato in un suo punto
SeO èilpuntofissatoallorabastascegliereinquestopuntoilpolo,perchéilpiùgeneralespostamento
virtuale del punto Ps sia dato da
e conseguentemente si abbia
δPs = ω ′ ×(Ps −O), s = 1,2,...N,
δL = ω ′ ·Ωe(O).

4.3 Principio dei lavori virtuali e statica generale 93
Poiché il vettore infinitesimo ω ′ è completamente arbitrario e poiché i vincoli di rigidità non consentono
spostamenti virtuali irreversibili, segue che l’annullamento di questo δL equivale appunto
alla condizione Ωe(O) = 0, già riconosciuta necessaria e sufficiente per l’equilibrio.
Non sarà inutile fare notare che, mentre le forze cui si riferisce il lavoro virtuale δL nella condizione
simbolica della Statica sono tutte e sole le forze attive, nelle equazioni cardinali della Statica si
applicano prima le equazioni cardinali alle forze esterne e poi si cerca di eliminare tutto ciò che
proviene dalle reazioni vincolari, in modo che le condizioni finali si riferiscano solo a forze, che
sono ad un tempo attive (cioé non prevenienti da legami) e di origini esterna.
Esempio: statica dei sistemi pesanti. Teorema di Torricelli.
Consideriamo un sistema materiale S, comunque costituito, in cui le forze attive si riducano ai pesi
dei singoli elementi. Sia l’asse z verticale e diretto verso l’alto e sia ms la massa di un generico
elemento Ps, la forza di vettore Fs applicata in Ps avrà per componenti (0,0,−msg). In un generico
spostamento virtuale del sistema siano δxs,δys,δzs le componenti dello spostamento δPs subito da
Ps. Il lavoro virtuale delle forze attive si riduce a
dove
N N
δL = Fs ·δPs = −g msδzs = −mgδzG
s=1 s=1
zG =
Ns=1mszs
è la quota del baricentro e m la massa totale del sistema. La condizione di equilibrio δL ≤ 0
assume di conseguenza l’aspetto δzG ≥ 0, valendo l’uguaglianza per gli spostamenti reversibili. Da
quanto sopra detto: condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio di un sistema pesante è
che il suo baricentro non sia suscettibile di innalzamento per effetto di alcun spostamento virtuale
infinitesimo del sistema. Ad esempio, nel caso di legami tutti reversibili, la condizione diventa
δzG = 0, cioé l’equilibrio può sussistere senza che l’altezza del baricentro sia minima, in particolare
quando essa è massima.
4.3.3 Statica dei sistemi olonomi: condizioni di equilibrio in coordinate lagrangiane
Si consideri un sistema a n gradi di libertà olonomo a vincoli lisci e bilaterali costituito da N
punti Ps, s = 1,...,N. Riferendolo ad un generico sistema di coordinate lagrangiane (indipendenti)
qh, h = 1,...,n, segue che:
e ogni spostamento virtuale assume la forma
m
Ps = Ps(q1,q2,...,qn;t), s = 1,...,N, (4.18)
n ∂Ps
δPs = δqh
h=1 ∂qh
(4.19)
(dove le δqh sono arbitrarie e indipendenti) e risulta reversibile. Allora le condizioni necessarie e
sufficienti perché il sistema, sotto una data sollecitazione (Ps,Fs), s = 1,2,...,N, sia in equilibrio
saranno fornite dall’equazione simbolica della Statica

94 4 Statica
δL =
N
Fs ·δPs = 0, (4.20)
s=1
dove, tenendo conto delle (4.19), assume la forma:
n
N
Qhδqh = 0 ponendo Qh = Fs ·
h=1
s=1
∂Ps
, h = 1,...,n. (4.21)
∂qh
Dalla (4.21), dovendo sussistere per ogni possibile scelta delle arbitrarie δqh, ne segue che in
condizioni statiche devono valere simultaneamente le n equazioni
Q1 = 0, Q2 = 0, ..., Qn = 0; (4.22)
e viceversa. Le quantità scalari Q1, Q2, ..., Qn si usano chiamare le componenti della sollecitazione
del dato sistema secondo le coordinate lagrangiane qh o anche forze generalizzate
di Lagrange.
Se si tiene conto delle (4.18) e delle espressioni che ne conseguono per le velocità dei vari punti
Ps:
n ∂Ps
vs = v(Ps) = qh ˙ +
h=1 ∂qh
∂Ps
, s = 1,2,...,N,
∂t
si riconosce che la sollecitazione è nota quando ciascuno dei vettori Fs è dato in funzione delle qh,
delle qh ˙ ed, eventualmente, del tempo; di conseguenza, in generale,
Qk = Qk(q1,...,qn, ˙q1,..., ˙qn,t), k = 1,2,...,n.
Ai fini dello studio del problema dell’equilibrio sarà naturale porre ˙qh = 0 e richiedere, inoltre, che
le forze non dipendano dal tempo in modo che le Q1, Q2,...,Qn dipendano solamente dalle qh.
Quindi, possiamo riassumere quanto detto nel seguente risultato.
Teorema 4.20. Le condizioni necessarie e sufficienti per l’equilibrio del sistema olonomo a vincoli
lisci e bilaterali considerato sono date dalle n equazioni (4.22).
Le condizioni di equilibrio (4.22) forniscono n equazioni fra le n coordinate lagrangiane qh, le quali
caratterizzano le configurazioni di equilibrio del sistema, analogamente a quanto accade nel caso di
un punto libero sollecitato da una forza posizionale, per le equazioni che si ottengono eguagliando a
zero le tre componenti cartesiane della forza attiva.
Se le forze (Ps,Fs), s = 1, ..., N, sono tutte conservative allora esistono N funzioni Us = Us(Ps)
tali che
Fs = ∇Us = ∂Us
xs
î+ ∂Us
ys
ˆj+ ∂Usˆk
zs
Se poniamo U = U(qh) = N s=1Us[Ps(qh)], poiché Ps = Ps(qh) (assumiamo, in Statica, di operare con
vincoli indipendenti dal tempo), allora la funzione U, determinata a meno di una costante additiva
arbitraria, si dice, come nel caso di una unica forza conservativa, potenziale della sollecitazione ed
è tale che

Quindi, si conclude
o equivalentemente
∂U
∂qh
N N ∂Us
= = ∇Us ·
s=1 ∂qh s=1
∂Ps
N
= Fs ·
∂qh s=1
∂Ps
∂qh
Q1 = ∂U
, ..., Qn =
∂q1
∂U
∂qn
N
Qhδqh = δU.
h=1
4.3 Principio dei lavori virtuali e statica generale 95
= Qh.
(4.23)
Possiamo estendere la definizione di forze conservative (intese come ”campi di forza”) a sistemi di
forzeneiqualisitengonocontoanchedeilegamipostidaivincoli;questiultimisidirannoconservativi
se la forma differenziale lineare n h=1Qhδqh è esatta, cioé si può esprimere come il differenziale
(virtuale) di una funzione data U detta potenziale.
Tutte le volte che le componenti lagrangiane Qh ammettono un potenziale, si desume dalle condizioni
di equilibrio (4.22) e dalle identità (4.23) che ad ogni punto di stazionarietà del potenziale
corrisponde per il sistema olonomo una configurazione di equilibrio. Sepoisiestende,
come vedremo nel seguito, all’equilibrio dei sistemi olonomi il criterio qualitativo di stabilità si
riconosce che anche per questi sistemi sono configurazioni di equilibrio stabile quelle cui
corrisponde per potenziale un valore massimo (relativo).
4.3.4 Complemento: metodo dei moltiplicatori di Lagrange e calcolo delle reazioni
Per metterci nelle condizioni di maggior generalità, consideriamo un sistema S di N punti Ps soggetti
solamente (per fissare le idee) a vincoli bilaterali, di posizione e di mobilità. Gli spostamenti virtuali
δPs del sistema, riferiti ad una terna di assi (O;x,y,z), sono caratterizzati da certe r equazioni,
corrispondenti ai vincoli (sia olonomi che anolonomi) bilaterali della forma:
Bk =
N
aks ·δPs = 0, k = 1,2,...,r, (4.24)
s=1
cui devono soddisfare le 3N variazioni δxs, δys e δzs e dove gli aks denotano rN vettori determinati
(puramente posizionali) di componenti ax ks,a y
ks ,azks. Assumeremo r ≤ 3N e che le equazioni Bk = 0 siano tra loro indipendenti.
Per l’equilibrio del sistema S, sollecitato dalle forze Fs applicate nei generici punti Ps, sarà necessario
e sufficiente che, per tutti gli spostamenti virtuali, a partire dalla configurazione di equilibrio,
soddisfacenti alle (4.24) le Fs soddisfano alla condizione
δL =
N
Fs ·δPs = 0. (4.25)
Assegniamo per le Fs delle espressioni che dipendono linearmente dalle aks:
s=1
r
Fs = − λkaks
k=1
(4.26)

96 4 Statica
e verifichiamo poi, dalle (4.24) e (4.25), a che condizioni devono sottostare le costanti λk. Il lavoro
complessivo δL di queste forze Fs, per un qualsiasi spostamento δPs, si può esprimere come:
r
δL = − λkBk;
k=1
quindi si conclude che, per tutti gli spostamenti virtuali del sistema S, caratterizzati dalle (4.24), le
Fs definite dalle (4.26) soddisfano veramente alla condizione di equilibrio (4.25), comunque si siano
scelte le λk. I coefficienti arbitrari λk si chiamano moltiplicatori di Lagrange.
Si dimostra che:
Teorema 4.21. Si ha che:
i. Nelle espressioni (4.26) i moltiplicatori λk sono essenziali, nel senso che al variare di essi varia
anche la corrispondente sollecitazione equilibrante.
ii. Le (4.26) forniscono la più generale sollecitazione atta a mantenere in equilibrio il sistema S per
una opportuna scelta dei moltiplicatori λk.
Dimostrazione. La proprietà i. segue immediatamente dal fatto che si sono supposte le equazioni
Bk = 0 indipendenti tra loro (ed in numero complessivo minore o uguale a 3N) Dimostriamo la
proprietà ii.. Le equazioni Bk = 0 indipendenti tra loro ammettono ℓ = 3N−r soluzioni linearmente
indipendenti in modo che i possibili spostamenti virtuali soddisfacenti a queste hanno forma del tipo
ℓ
δPs = νjτ
j=1
s j, s = 1,...,N,
dove i vettori τs j sono tra loro linearmente indipendenti e i coefficienti νj sono completamente arbitrari.
La più generale sollecitazione che lascia in quiete il sistema dovrà quindi essere tale che
N ℓ
N
0 = δL = Fs ·δPs =
s=1
νj
j=1
e quindi, per la arbitrarietà dei coefficienti νj, sarà tale che
Fs ·τ
s=1
s j
N
Fs ·τ s j = 0, j = 1,...,ℓ.
s=1
Le sollecitazioni che soddisfano a questo sistema sono del tipo (4.26). Infatti l’insieme di soluzioni del
sistema Bk = 0 è uno spazio vettoriale V di dimensione ℓ = 3N−r avente i vettori τj = (τ 1 j,...,τ N j )
come base. Inoltre i vettori di tale spazio sono ortogonali tanto ai vettori ak = (ak1,...,akN) e
(che formano una base di uno spazio di dimensione r) quanto ai vettori costruiti dalle forze attive
(F1,...,FN) che soddisfano alla condizione δL = 0; quindi il vettore (F1,...,FN) deve appartenere
allo spazio vettoriale generato dalla base costituita dai vettori ak = (ak1,...,akN). La dimostrazione
è così completata.
Questa conclusione ci pone in grado di riconoscere se una sollecitazione data a priori sia equilibrante
o no per il nostro sistema: basta verificare se essa rientri nelle (4.26) per una opportuna scelta
dei moltiplicatori λk. Dalle osservazioni precedenti si consegue che, in tal caso, questi moltiplicatori
risultano determinati univocamente. Le (4.26) forniscono in ultima analisi la risoluzione parametrica
della relazione (4.25) subordinatamente alle (4.24); tenendo conto dell’osservazione fatta
che esse costituiscono le condizioni di equilibrio di S sotto forma parametrica.

4.3.5 Esempi
Punto P vincolato a muoversi su di una superficie priva di attrito
4.3 Principio dei lavori virtuali e statica generale 97
Siaf(x,y,z;t) = 0l’equazionedellasuperficie. Glispostamentivirtualisonocaratterizzatidall’unica
condizione
∂f
∂x
δx+ ∂f
∂y
∂f
δy + δz = 0.
∂z
Quindi si tratta di una sola equazione del tipo B e, quindi, avremo un solo vettore a, definito dalle
componenti ∂f ∂f ∂f
, , . Perciò la condizione parametrica dell’equilibrio, se F è la forza attiva totale,
∂x ∂y ∂z
sarà espressa sotto forma vettoriale
F = −λa, λ ∈ R.
Punto P vincolato a restare su di una curva priva di attrito
La curva ha equazione
f1(x,y,z;t) = 0, f2(x,y,z;t) = 0
avremo due equazioni del tipo B e, quindi, due vettori a e due moltiplicatori λ. Le condizioni di
equilibrio saranno date da
4.3.6 Calcolo delle reazioni
∂f1
Fx = −λ1
∂x −λ2
∂f2
∂x , Fy
∂f1
= −λ1
∂y −λ2
∂f2
∂y , Fz
∂f1
= −λ1
∂z −λ2
∂f2
∂z .
Riferiamoci esclusivamente al caso in cui per ogni sollecitazione atta a mantenere in quiete il sistema,
i moltiplicatori λk risultano univocamente individuati. Sappiamo che in questa ipotesi la rappresentazione
parametrica delle forze attive (4.26) è equivalente alla relazione simbolica della Statica.
Introducendo le reazioni complessive phis = −Fs provenienti sui singoli punti Ps dall’insieme degli
r vincoli e tenendo conto della (4.26), otteniamo per le reazioni le espressioni generali
r
φs = λkaks
k=1
(4.27)
chemettonoinluce,perognisingolareazione,unadecomposizionenellasommadir componenti. Fissando
l’attenzione, ad esempio, sul vincolo bilaterale B1 = 0 notiamo che le condizioni parametriche
d’equilibrio (4.26) del nostro sistema si possono anche scrivere
r
Fs +λ1a1s = −
k=2
λkaks. (4.28)
Le equazioni (4.28) si possono interpretare come le condizioni parametriche dell’equilibrio di un
sistema sistema S1, soggetto a tutti i vincoli di S, tolto B1 = 0, e sollecitato, anziché dalle Fs, dalle
forze attive Fs + λa1s. In tal modo le N forze addizionali λ1a1s, si presentano come l’equivalente,

98 4 Statica
in condizioni statiche, dell’azione esercitata sui singoli punti Ps dal vincolo soppresso B1 = 0 e
forniscono, perciò, le reazioni provenienti da questo vincolo, astrazione fatta dai rimanenti.
Avendo riconosciuto ai vettori λkaks il carattere di reazioni esercitate sul generico punto Ps dai
singoli legami, Bk = 0 rispettivamente, possiamo dare una interpretazione significativa della forma
parametrica (4.26) delle condizioni di equilibrio. Scritte sotto la forma
r
Fs = − λkaks
k=1
(4.29)
esse ci dicono che per l’equilibrio di un sistema comunque vincolato (a vincoli privi di
attrito) è necessario e sufficiente che le forze direttamente applicate si possano, punto
per punto, equilibrare con reazioni, quali i vincoli sono atti ad offrire.
Calcolo effettivo delle reazioni provenienti dai singoli vincoli
Poiché i vettori aks sono supposti noti, il calcolo delle reazioni λkaks, che nei vari punti Ps provengono
daundeterminatovincolo(Bk = 0)siriducealladeterminazionedelcorrispondentemoltiplicatoreλk.
Consideriamo ora il sistema S1 che si ottiene dal dato sopprimendo il vincolo B1 = 0 e annoverando
tra le forze attive, oltre le Fs, le reazioni λ1a1,s provenienti del vincolo soppresso. Per un tale sistema
gli spostamenti virtuali reversibili (a partire da una configurazione di equilibrio) sono definiti dalle
Bk = 0, k = 2,3,...,r
quindi il più generale spostamento δPs è uno spostamento virtuale reversibile di S con la condizione
di non essere compatibile con il vincolo soppresso.
Ora, applicando al sistema S1 l’equazione simbolica della Statica, con riguardo ad un tale spostamento
δPs e sotto la sollecitazione attiva Fs +λ1a1s, otteniamo l’equazione
N
(Fs +λ1a1s)·δPs = 0,
s=1
considerando spostamenti virtuali δPs a partire dalle configurazioni di equilibrio (supposte già determinate
in precedenza) non compatibili con il vincolo soppresso (cioé tali che B1 = 0), si perviene
alla determinazione di λ1.
Abbiamo quindi provato che: per determinare, in date condizioni di sollecitazione, le
reazioni provenienti da un dato vincolo si aggiunge alla sollecitazione attiva le corrispondenti
reazioni e si applica l’equazione simbolica della Statica per un qualsiasi
spostamento virtuale del nuovo sistema che sia incompatibile con il vincolo soppresso.
4.4 Nozione di stabilità dell’equilibrio
4.4.1 Stabilità per un punto
È intuitivo ritenere stabile uno stato di equilibrio per un punto se, quando lo si perturbi (spostando
il punto, o il sistema, dalla posizione di equilibrio verso un’altra vicina, pur essa compatibile
con i vincoli) le forze tendono a riportare il punto (o il sistema) alla sua posizione di
equilibrio. In termini del lavoro compiuto da tali forze nasce la seguente definizione precisa di
stabilità dell’equilibrio per un punto:

4.4 Nozione di stabilità dell’equilibrio 99
Definizione 4.22. Considerato un qualunque spostamento, compatibile con i vincoli, che faccia
passare il punto dalla posizione di equilibrio P0 ad un’altra posizione P, sia LP0P il lavoro totale
effettuato dalle forze attive agenti sul punto durante lo spostamento. Se esiste un intorno della
posizione di equilibrio P0 tale che il lavoro LP0P, per qualsiasi spostamento in tale intorno
compatibile con i vincoli, risulta negativo, l’equilibrio si dice stabile. Se, in ogni intorno
della configurazione di equilibrio, esiste anche un solo spostamento per cui LP0P > 0 l’equilibrio si
dice instabile; mentre se è sempre LP0P = 0 l’equilibrio si dice indifferente.
Queste definizioni, si noti, presuppongono la conoscenza di ogni forza F non solo in corrispondenza
alla data posizione di equilibrio ma anche in ogni altra posizione compatibile con i vincoli. Per forze
posizionali ciò è implicito; in caso diverso bisognerà rendersene conto preventivamente a norma delle
speciali circostanze di fatto.
È il caso, ad esempio, delle reazioni vincolari quando abbiamo vincoli
non lisci; in questo caso si osserva comunque che la componente normale alla traiettoria della reazione
vincolare non compie lavoro e che la componente tangente, tipicamente dovuta all’attrito radente,
favorisce l’equilibrio. In questi casi si ha che le configurazioni di equilibrio trovate stabili in assenza
di attrito rimangono stabili quando teniamo conto anche dell’effetto degli attriti (non è in generale
vero il viceversa).
4.4.2 Punto libero sollecitato da forze conservativo
Sia U(x,y,z) il potenziale delle forze attive, P0 una posizione di equilibrio ed P un’altra posizione
qualsiasi vicino ad P0. La condizione di stabilità si traduce nella seguente:
LP0P = UP −UP0 < 0, (4.30)
per ogni P appartenete ad un certo intorno di P0 (e non coincidente con P0). Ciò equivale a dire che
il potenziale U deve ammettere un massimo relativo nella posizione P0. Reciprocamente: se
U ha in P0 un massimo relativo allora a questa posizione corrisponde uno stato di equilibrio stabile.
Anzitutto si ha equilibrio poiché la forza attiva F = ∇U si annulla in P0. L’equilibrio è poi stabile
in virtù della (4.30).
4.4.3 Stabilità per un sistema meccanico
È immediato estendere la definizione ed il criterio di stabilità ad un sistema meccanico a n gradi di
libertà e avente unaconfigurazione di equilibrio corrispondenteaC 0 = (q 0 1,...,q 0 n). La configurazione
di equilibrio C 0 si dice stabile se esiste un intorno U(C 0 ) tale che per ogni spostamento finito in
U da C 0 ad un qualunque C ∈ U −{C0} il lavoro delle forze attive durante tale spostamento risulti
negativo:
N
Ps(C)
LC0C =
s=1
Ps(C0 dLs < 0.
)
Diversamente la configurazione si dice instabile.
Se le forze attive derivano da un potenziale U(q1,...,qn) allora segue che condizione necessaria
e sufficiente affinché C 0 sia stabile è che C 0 sia un massimo relativo per U.

100 4 Statica
Esempio: solido pesante con un punto fisso O
Notiamo che le forze interne e le reazioni in O non compiono alcun lavoro in uno spostamento che
mantenga O fisso. Ciò è evidente per le reazioni vincolari, in quanto applicate in O; quanto alle
forze interne, esse equivalgono a zero e, come dimostreremo, questa equivalenza a zero di un
sistema di forze basta nel caso dei solidi perché sia nullo il lavoro da esse compiuto.
Qui ammettiamolo ed osserviamo che, se per il nostro solido fissato in O, le forze attive si riducono
al peso, dovrà la sua linea di azione passare per O in corrispondenza ad una configurazione di
equilibrio, cioé nella posizione di equilibrio, il baricentro G dovrà trovarsi sulla verticale del punto
fisso O. Distinguiamo tre casi:
i. G coincide con O; in questo caso, per ogni spostamento del solido compatibile con i vincoli, anche
il baricentro G rimane fisso, e quindi il peso fa lavoro nullo. Si tratta, di conseguenza, di un
equilibrio indifferente.
ii. G sta sotto O; in questo caso, comunque si muova il corpo, il baricentro G si eleva (escludiamo
il caso di rotazioni attorno all’asse OG). Ne consegue che, a partire dalla configurazione di
equilibrio fino ad una generica posizione, il peso del corpo fa un lavoro negativo. L’equilibrio è
dunque stabile.
iii.G sta sopra O; in modo analogo al caso ii. si prova che l’equilibrio è instabile.
4.5 Statica relativa
4.5.1 Nozione di equilibrio relativo
Consideriamo un sistema di riferimento (O ′ ;x ′ ,y ′ ,z ′ ), animato da un moto comunque assegnato
rispetto ad un osservatore (O;x,y,z), e proponiamoci di trovare le condizioni cui debbono sottostare
le forze direttamente applicate ad un sistema materiale affinché esso, malgrado la sollecitazione,
rimanga in quiete rispetto alla terna (O ′ ;x ′ ,y ′ ,z ′ ). È questo che si chiama equilibrio relativo,
attribuendo, in caso di ambiguità, la qualifica di equilibrio assoluto a quello di cui ci siamo occupati
finora.
Equilibrio relativo per un punto libero
Nel caso di un unico punto materiale la condizione di equilibrio relativo sarà data da vr ≡ 0 e,
di conseguenza, ar ≡ 0 e ac ≡ 0, dove vr denota la velocità relativa e ar e ac, rispettivamente,
l’accelerazione relativa e l’accelerazione di Coriolis. Sia F la risultante di tutte le forze che sollecitano
P misurate rispetto all’osservatore (O;x,y,z), dal teorema del Coriolis e dalla legge fondamentale
del moto (assoluto), avremo che se il punto P è in equilibrio relativo allora deve essere:
F−maτ = 0. (4.31)
È questa la condizione cui deve necessariamente soddisfare la forza F, quando il punto si trova
in equilibrio relativo. Essa è anche sufficiente; cioé se la (4.31) è verificata per un dato P0, e se il
punto P è all’istante t = t0 in quiete in P0 rispetto all’osservatore relativo allora l’equilibrio sussiste.
Infatti, la forza F ′ misurata dall’osservatore (O ′ ;x ′ ,y ′ ,z ′ ) è data da
F ′ = F−maτ(P)−mac(P).

4.5 Statica relativa 101
In virtù della (4.31) la funzione P = P(t) ≡ P0 è tale da annullare identicamente la F ′ e quindi è
una soluzione della equazione differenziale mar = F ′ che soddisfa alle condizioni iniziali. Segue che
la (4.31) è dunque condizione necessaria e sufficiente perché il punto P sia in equilibrio
relativo rispetto alla terna (O ′ ;x ′ ,y ′ ,z ′ ).
La (4.31) può interpretarsi come la condizione di equilibrio assoluto per un punto materiale
sollecitato, oltre che dalla forza F (effettivamente applicata) anche da una forza addizionale Fτ =
−maτ. Questa forza fittizia si suole chiamare forza di trascinamento. Da ciò: tutte le questioni
di equilibrio relativo del punto si discutono come se si trattasse di equilibrio assoluto,
avendo però cura di annoverare tra le forze esterne direttamente applicate anche la
forza di trascinamento.
Equilibrio relativo per un sistema meccanico qualunque
LaregoladiStaticarelativa, soprastabilitanelcasodelpunto,siestendeasistemimaterialidinatura
qualsiasi e risulta senz’altro applicabile a tutti quei casi (solidi liberi, vincolati, ecc.) per i quali già
si conoscono le condizioni di equilibrio assoluto. Per giustificare questa asserzione basta, se si tratta
di vincoli privi di attrito, invocare il principio dei lavori virtuali, cioé la relazione
δρ =
φs ·δPs ≥ 0
e notare che, nel caso dell’equilibrio relativo ogni reazione φs è precisamente uguale a
s
φs = −[ forza attiva + forza di trascinamento ].
Si arriva quindi allo stesso enunciato della condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio assoluto
con la sola avvertenza che, nel caso dell’equilibrio relativo, vanno annoverate fra le forze attive anche
quelle di trascinamento.
4.5.2 Casi particolari notevoli
Traslazioni
Gli assi di riferimento (O ′ ;x ′ ,y ′ ,z ′ ) sono animati da un moto traslatorio. Denotando con aO ′
l’accelerazione dell’origine O ′ del sistema (O ′ ;x ′ ,y ′ ,z ′ ) avremo così la forza di trascinamento Fτ =
−maO ′. In particolare: una traslazione uniforme (aO ′ = 0) non ha alcuna influenza sulle
condizioni statiche: esse sono identiche a quelle valide per l’equilibrio assoluto.
Rotazioni uniformi
Gliassidiriferimentosonoanimatidaunmoto rotatorio uniforme. Essendoω lavelocitàangolare
(costante) e Q la proiezione sull’asse di rotazione del generico punto P che si considera, sappiamo
che:
aτ = ω 2 (Q−P), da ciò Fτ = mω 2 (P −Q). (4.32)
A questa forza di trascinamento si dà il nome di forza centrifuga.
Si prova che:

102 4 Statica
Teorema 4.23. La forza centrifuga ha carattere di forza conservativa; il suo potenziale unitario vale
1
2 mω2 |PQ| 2 .
Dimostrazione. La dimostrazione segue dal fatto che il vettore Fτ ha componenti date da
Fτ,x ′ = mω2x ′ , Fτ,y ′ = mω2y ′ , Fτ,z ′ = 0
dove abbiamo scelto, per comodità, un sistema di riferimento (O ′ ;x ′ ,y ′ ,z ′ ) con (O ′ ;z ′ ) coincidente
con l’asse di rotazione e dove m denota la massa del punto P. Quindi, per ispezione diretta, segue
che Fτ = ∇U dove
Inoltre si trova che:
U = 1
2 mω2 |PQ| 2 = 1
2 mω2 [(x ′ ) 2 +(y ′ ) 2 ].
Teorema 4.24. La forza centrifuga per un corpo rigido ha potenziale dato da 1
2 Irω 2 dove Ir è il
momento di inerzia rispetto all’asse di rotazione.
Dimostrazione. Se consideriamo il corpo rigido costituito da un sistema di punti Ps di massa ms
allora sia Us = 1
2 msω 2 r 2 s il potenziale della forza centrifuga sul punto Ps distante rs dall’asse di
rotazione. Quindi
4.5.3 Peso e attrazione terrestre
N N 1
U = Us =
s=1 s=1 2 msω 2 r 2 s = 1
2 ω2
N
s=1
msr 2 s = 1
2 Irω 2 .
Definizione 4.25. Definiamo peso di un punto pesante P in prossimità della superficie della terra
la forza che occorre vincere per impedirne la caduta; cioé per mantenerlo in equilibrio relativo rispetto
alla terra.
Per l’enorme distanza é lecito, in prima approssimazione, trascurare le attrazioni dei vari corpi
celestiinconfrontoall’attrazioneterrestreG(cherisultadirettaversoilcentrodellaterra,assumendo
che la terra sia perfettamente sferica ed omogenea, e di intensitá f nM
R2 dove m é la massa di P, M la
massa della terra ed R il raggio della terra). Così quest’ultima è sensibilmente la sola forza agente
su P. Sarebbe quindi necessario e sufficiente bilanciare G per mantenerlo in equilibrio assoluto.
Se si vuole invece studiare l’equilibrio relativo rispetto ad assi solidali con il nostro globo, si sarà
condotti ad associare a G la forza di trascinamento Fτ, proveniente dal moto di questi assi (rispetto
alle stelle fisse). In ultima analisi la concezione Newtoniana porta ad identificare il peso
(forza da vincere per l’equilibrio relativo del generico P) con la somma G+Fτ della attrazione
terrestre e della forza di trascinamento.
Specificazione di Fτ
Il movimento della Terra si intenderà composto di una rotazione uniforme intorno all’asse polare
(rotazione diurna) e di una traslazione di insieme, per cui (conformemente alle leggi di Keplero) la
Terra descrive, in un anno, un’ellisse attorno al sole, come fuoco. La forza di trascinamento Fτ
risulterà di conseguenza dalla somma di due addendi: l’uno Fτ,1 dovuto alla rotazione, l’altro Fτ,2

4.5 Statica relativa 103
dovuto alla traslazione. Se si pensa che in quest’ultimo movimento si richiede un intero anno
a compiere un giro e che quindi (per intervalli di tempo piccoli di fronte al periodo) il moto può
sensibilmente considerarsi come rettilineo uniforme, si è tratti a trascurare senz’altro Fτ,2 (non solo,
la forza Fτ,2 è dovuta al moto della terna attorno al sole, moto che è dovuto alla forza di attrazione
del sole; di fatto la Fτ,2 si elide con la forza di attrazione del sole). Quando si tiene conto di Fτ ≈ Fτ,1
si ha la equazione vettoriale
p = mg = G+Fτ,1
(4.33)
la quale spiega, a prima vista, il fatto qualitativo che l’accelerazione di gravità g va aumentando
dall’equatore verso i poli. Il vettore G è diretto dal punto P verso il centro della terra ed ha
intensità G = f mM
R2 (dove R è il raggio terrestre, M la massa della terra ed m la massa del punto);
il vettore Fτ,1 è normale e uscente dall’asse di rotazione ed ha intensità mω2Rcosλ dove λ indica la
latitudine di P e dove ω = 2π
24·3600 .

5
Dinamica: equazioni differenziali del moto
5.1 Dinamica del punto
Lo studio del moto di un sistema meccanico è basato sulla II ◦ legge di Newton
ma = F+φ (5.1)
che mette in relazione la massa m, l’accelerazione a di un singolo punto e le forze, esterne e interne,
attive (di vettore F) e vincolari (di vettore φ), cui esso è soggetto. Inizialmente ci dedicheremo allo
studio del moto di un singolo punto P e, in seguito, analizzeremo il problema della dinamica per
sistemi materiali costituiti da più punti.
5.1.1 Dinamica del punto libero
Nel caso del moto di un punto materiale libero l’equazione di Newton prende la forma
ma = F(P, ˙
P,t)
che rappresenta, dal punto di vista matematico, una equazione differenziale del II◦ ordine in
forma vettoriale. Se proiettiamo tale equazione lungo gli assi coordinati essa si riduce ad un sistema
di 3 equazioni differenziali del II◦ ordine poste in forma normale
⎧
⎪⎨ m¨x = Fx(x,y,z, ˙x, ˙y, ˙z,t)
m¨y = Fy(x,y,z, ˙x, ˙y, ˙z,t)
⎪⎩ m¨z = Fz(x,y,z, ˙x, ˙y, ˙z,t)
nelle incognite
x = x(t), y = y(t), z = z(t)
Assumendo la dipendenza regolare della forza attiva dai suoi argomenti e associandovi le condizioni
iniziali
x(t0) = x0, y(t0) = y0, z(t0) = z0
e
˙x(t0) = ˙x0, ˙y(t0) = ˙y0, ˙z(t0) = ˙z0
allora il problema di Cauchy ammette una, ed una sola, soluzione che rappresenta la legge oraria del
moto.

106 5 Dinamica: equazioni differenziali del moto
5.1.2 Dinamica del punto su traiettoria prestabilita
Nel caso in cui il moto del punto non sia libero occorre
una analisi basata sulla natura dei vincoli. Supponendo
nota a priori la traiettoria γ di un punto P allora per caratterizzare
il moto non rimane che determinare la legge oraria
s = s(t) dove s è la lunghezza dell’arco γ fra una arbitraria
origine e P, misurata positivamente in un prefissato verso
(ascissa curvilinea di P). La (5.1) proiettata, in ciascun
punto della γ, sulla rispettiva tangente, orientata nel verso
delle s crescenti, diventa:
m¨s = Ft +Φt
(5.2)
dove la componente tangenziale Φt di Φ è, per lo più, incognita.
TuttaviavisonodeicasiincuilaΦt èpreventivamente
assegnabile. In particolare: un punto vincolato su una
curva priva di attrito si muove su di essa come se
γ
Φ
.
.
Fig. 5.1. Nel caso di moto di un punto vincolato
ad una traiettoria prestabilita γ liscia la reazione
vincolare Φ é normale alla retta tangente.
fosse esclusivamente soggetto all’azione della forza attiva (tangenziale), cioé Φt = 0. La
(5.2) in questo caso si riduce alla
m¨s = Ft. (5.3)
Se la componente tangenziale Ft della forza totale è una funzione f(˙s,s;t) nota la (5.3) assumerà la
forma
m¨s = f(˙s,s;t) (5.4)
e, nell’ipotesi di limitatezza, continuità e derivabilità nei tre argomenti della f, la (5.4) ammette
una, ed una sola, soluzione (nel dominio considerato) soddisfacente alle condizioni iniziali assegnate.
Quindi la (5.3) (più precisamente nella forma (5.4)) è sufficiente per caratterizzare univocamente il
moto.
Proiettando la (5.1), per ogni punto della traiettoria, sulla rispettiva normale principale ˆn (orientata
verso il centro di curvatura della traiettoria) si ottiene, ricordando l’espressione an = v 2 /ρc della
accelerazione normale,
Φn = m v2
−Fn
ρc
dove ρc è il raggio di curvatura e v = |˙s| il modulo della velocità. La componente Φn dell’azione
complessiva Φ esercitata dai vincoli si chiama reazione centripeta della traiettoria. Proiettando
la (5.1) sulla binormale infine si ottiene che 0 = Fb +Φb, cioé Φb = −Fb.
Esempio: anello della morte
Consideriamo un anello della morte di raggio R = 3 metri e calcoliamo quale è la velocità minima
che deve essere mantenuta per evitare di cadere nel vuoto. La condizione di ”non distacco” è data
da Φn > 0 e si ha distacco quando Φn = 0. Quindi la velocità minima vmin è tale che
m v2 min
ρc
−Fn = 0 dove ρc = R e Fn = −mgcosα,
t
(5.5)

α ∈ [0,2π) denota l’angolo formato tra la normale e la verticale. Quindi deve essere
v > vmin = Rg ≈ √ 30m/sec ≈ 3.6 √ 30km/h ≈ 20km/h.
5.1.3 Dinamica del punto soggetto a forze posizionali
Nel caso di forze posizionali sarà Ft = f(s), quindi la (5.4) assumerà la forma
5.1 Dinamica del punto 107
m¨s = f(s) (5.6)
Permostrarecomela(5.6)siriducaconunaquadraturaadunaequazionedelI ◦ ordinericordiamoche
l’energia cinetica T è definita da 1
2m˙s2 , da cui risulta: dT = m˙s¨s. Osservando che, essendo f funzione
dt
della sola s, questa è necessariamente conservativa e quindi la funzione potenziale U(s) = f(s)ds è
= f(s). In virtù della (5.6) segue che
tale che dU
ds
dT dU
= ˙s. (5.7)
dt ds
Il secondo membro, in quanto si consideri U come funzione di t, tramite l’arco s, non è altro che la
derivata di U = U[s(t)] rispetto a t; integrando la (5.7) rispetto a t e designando con E la costante
di integrazione, si ricava:
T −U = E. (5.8)
Questarelazioneinterminifiniti,fralaenergiacineticaT elasuaposizionesullacurva(caratterizzata
dallafunzioneU(s)),sichiamaintegrale delle forze vive. Questointegraleprimodelmotofornisce,
in ultima analisi, una relazione fra s e ˙s: 1
2m˙s2 −U(s) = E.
Nel caso attuale, in cui si suppone prestabilita la traiettoria, si perviene alla (5.8) senza bisogno
di introdurre l’ipotesi che la forza totale sia conservativa, basta infatti che essa sia posizionale
perchè la (5.7) valga limitatamente alla mobilità del punto sopra la curva γ. Nel caso poi in cui la
forza derivi da un potenziale allora la U che compare nella (5.8) si ottiene restringendo il potenziale
della forza alla curva γ.
Ponendo
u(s) = 2
[U(s)+E], (5.9)
m
l’equazione delle forze vive (5.8) si può scrivere
ds
dt
2
= u(s), da cui ds
dt
= ± u(s), (5.10)
dove va preso il segno positivo o negativo secondo che la velocità scalare ds sia positiva o negativa. La
dt
(5.10) è una equazione differenziale del I◦ ordine, sostanzialmente equivalente all’originaria equazione
(5.6), chepuòessere integratamedianteunaquadraturaefornisce la cercata relazione in termini finiti
tra s e t:
ds
t−t0 =
u(s) .
Le due costanti arbitrarie da cui essa deve dipendere sono date l’una dalla costante additiva
dell’ultima quadratura, l’altra dalla costante E che compare nella (5.8).

108 5 Dinamica: equazioni differenziali del moto
5.1.4 Comportamento dell’attrito durante il moto
Consideriamo un punto appoggiato ad una curva (o ad una superficie) e sia Φ la reazione vincolare
che l’appoggio offre al punto. Denominando con ΦN il valore assoluto della componente normale
ΦN = Φ−Φt di Φ, e Φt la componente tangenziale di Φ. Quest’ultimo, Φt, si denomina attrito.
Si hanno le seguenti regole (di evidenza empirica):
i. L’attrito è direttamente opposto alla velocità del moto. Se questa eventualmente si annulla
durante il corso del moto, tornano a valere le leggi dell’attrito statico.
ii. L’intensità Φt dell’attrito dinamico è direttamente proporzionale alla reazione normale ΦN:
Φt = fdΦN.
Il coefficiente fd di proporzionalità non dipende dalla velocità del mobile. Questo coefficiente di
proporzionalità si chiama coefficiente di attrito dinamico e talvolta viene anche indicato con
fd. In particolare il coefficiente di attrito dinamico è sempre inferiore al coefficiente di attrito
statico, cioé fs < fd.
In virtù di queste leggi, proiettando nella direzione tangente ˆt l’equazione
ma = F+Φ,
si ha che l’equazione del moto diventa
m¨s = Ft −fΦN, per ˙s > 0
m¨s = Ft +fΦN, per ˙s < 0
, (5.11)
il caso ˙s = 0 va trattato a parte (seguendo le leggi dell’attrito statico). Essendo Φn = m v2
ρc −Fn e
Φb = −Fb allora
ΦN =
Φ 2 n +Φ 2 b =
m v2
ρc
5.1.5 Moto di un punto su una superficie priva di attrito
−Fn
2 +F 2 b .
Consideriamo il moto di un punto materiale P che, sotto la sollecitazione di forze attive, di risultante
F, sia costretto a muoversi su di una superficie σ priva di attrito avente equazione
L’equazione del moto è data da
f(x,y,z;t) = 0. (5.12)
ma = F+Φ (5.13)
dove Φ è la reazione vincolare offerta dalla superficie al punto.
Nell’ipotesi che σ sia priva di attrito (sia poi σ indipendente o no dal tempo) allora la reazione
Φ = Φ ˆ N, incognita, sarà ortogonale alla superficie, pertanto avrà componenti
λ ∂f
∂x
, λ∂f
∂y
Φ
, λ∂f , λ =
∂z |∇f|
∈ R

5.1 Dinamica del punto 109
dove λ designa un fattore di proporzionalità a priori incognito. Proiettando la (5.13) sugli assi si
ottengono le tre equazioni
⎧
⎪⎨ m¨x = Fx +λ
⎪⎩
∂f
∂x
m¨y = Fy +λ ∂f
∂y
m¨z = Fz +λ ∂f
∂z
(5.14)
che insieme alla (5.12) formano un sistema di quattro equazioni nelle quattro incognite x,y,z (fondamentali)
e λ (ausiliaria).
5.1.6 Esercizi
Esercizio 5.1: Studiare il moto di un punto libero P di massa m soggetto alla sola forza peso
note le condizioni iniziali x0 = y0 = z0 = 0 e v0 = v0cosαî+v0sinα ˆ k (problema della balistica senza
attrito). Calcolare inoltre l’energia meccanica totale.
Esercizio 5.2: Studiare il moto di un punto libero P di massa m soggetto alla forza peso (P,F1 =
−mg ˆ k)eallaresistenzadell’aria(P,F2 = −λv(P)),λ > 0,notelecondizioniinizialix0 = y0 = z0 = 0
e v0 = v0cosαî+v0sinα ˆ k. Dimostrare che nel limite λ → 0 + si ritrovano, puntualmente, le soluzioni
viste nell’esercizio precedente.
Esercizio 5.3: Studiare il moto di un punto P di massa m vincolato a scorrere, senza attrito,
lungo l’asse (O;x) e soggetto alla forza peso (P,F1 = −mg ˆ k) e ad una forza elastica (P,F2 = −k 2 xî)
dovuta ad una molla di costante di elasticità k 2 avente l’altro estremo fisso in O. Discutere inoltre
se il punto P può oltrepassare un punto D posto a distanza d da O ed in tal caso calcolare con quale
velocità oltrepassa D (facendo uso del principio di conservazione dell’energia meccanica) e quanto
tempo impiega per andare da O a D ammesso che le condizioni iniziali al tempo t0 = 0 siano:
x(0) = 0 e ˙x(0) = v0, v0 > 0.
Sempre sotto le stesse condizioni iniziali, supponiamo il punto sia soggetto, oltre alla forza elastica e
alla forza peso, ad un attrito radente di coefficienti, rispettivamente, fs e fd(< fs); discutere il moto
del punto P e calcolare l’energia meccanica totale del punto in funzione del tempo t.
Esercizio 5.4: Sia dato un punto materiale P di massa m vincolato a scorrere lungo un asse
(O;x1) orizzontale. Sapendo che tale asse ruota, rispetto al riferimento assoluto (O;x,y,z), attorno
all’asse verticale (O;z) con velocità angolare ω = ˙ θ ˆ k si domanda:
i. scrivere le equazioni di Newton rispetto all’osservatore relativo;
ii. supponendo che la velocità angolare ω sia costante e indicando con fs il coefficiente di attrito
radente, calcolare le eventuali configurazioni di equilibrio relativo;
iii.supponendo che la velocità angolare ω sia costante, in assenza di attrito e introducendo una forza
elastica dovuta ad una molla di costante k e avente ai suoi capi P e O, determinare il moto relativo
del punto P;
iv.supponendo che la velocità angolare ω sia costante, in assenza di attrito e assumendo che l’asse
(O;x1) sia inclinato rispetto all’asse verticale (α ∈ (0,π/2) è l’angolo tra i due assi), calcolare le
configurazioni di equilibrio relativo e discutere la loro stabilità.

110 5 Dinamica: equazioni differenziali del moto
Esercizio 5.5: Sia dato un corpo puntiforme P di massa m vincolato a scorrere senza attrito
lungo una circonferenza di centro O e raggio ℓ posta in un piano verticale che ruota attorno all’asse
verticale (O;z) con velocità angolare ω = ˙ θ ˆ k con θ = θ(t) nota. Sia (O1;x1,y1,z1) il sistema di
riferimento relativo con O ≡ O1, l’asse (O1;z1) coincidente con l’asse di rotazione e con il piano
(O1;x1,z1) contenente la circonferenza; il sistema è ad un grado di libertà ed assumiamo come
parametro lagrangiano l’angolo formato dal segmento P −O ed il semi-asse verticale discendente. Si
domanda:
i. calcolare il potenziale e l’energia cinetica rispetto all’osservatore relativo;
ii. calcolare le configurazioni di equilibrio relativo e studiarne la stabilità;
iii.disegnare il diagramma delle biforcazioni per le configurazioni di equilibrio relativo in funzione
del parametro positivo adimensionale γ = g
ω2ℓ ;
iv.calcolare il periodo delle piccole oscillazioni delle configurazioni di equilibrio relativo distinguendo
i due casi γ < 1 e γ > 1.
Esercizio 5.6: Tenendo conto della forza di Coriolis e della forza peso calcolare, per una secchia
puntiforme di massa m lasciata cadere dalla cima della Ghirlandina con velocità iniziale nulla, la
deviazione verso oriente della secchia rispetto alla verticale quando questa impatta al suolo.
Esercizio 5.7: Sia dato un oscillatore accoppiato costituito da due corpi puntiformi P1 e P2 di
masse, rispettivamente, m1 e m2, vincolati a scorrere senza attrito lungo l’asse (O;x), il punto P1
è collegato ad O mediante una molla di costante k1, il punto P1 è collegato ad un punto fisso A,
distante L da O, mediante una molla di costante k2, i due punti sono poi collegati tra loro mediante
una molla di costante K. Introducendo i parametri lagrangiani x1 e x2 (scelti in modo che sia
P1−O = x1î e P2−A = −x2î), e ponendo, per semplicità, m = m1 = m2 e k = k1 = k2, si domanda
di scrivere le equazioni differenziali del moto, integrarle e osservare, almeno per alcuni valori iniziali
e dei parametri, il fenomeno dei battimenti.
5.2 Caratteristiche dinamiche dei sistemi
5.2.1 Lavoro elementare
Definizione 5.1. Sia dato un sistema S di N punti materiali soggetto ad un sistema di forze (Ps,Fs),
s = 1,2,...,N, sia attive che vincolari. In un istante qualsiasi t sia vs la velocità di Ps e dPs =
vsdt lo spostamento (infinitesimo) che esso subisce nell’intervallo dt, diremo lavoro elementare
complessivo del sistema di forze Fs la somma
5.2.2 Corpo rigido libero
N N
dL = Fs ·dPs = Fs ·vsdt. (5.15)
s=1 s=1
La velocità di un generico punto Ps di un corpo rigido è espressa per mezzo di due vettori caratteristici,
cioé della velocità v0 di un qualsiasi punto O solidale col sistema e della velocità angolare
istantanea ω del sistema stesso. In questo modo si ottiene
vs = v0 +ω ×(Ps −O)

o, equivalentemente,
dPs = dO+ω ′ ×(Ps −O)
5.2 Caratteristiche dinamiche dei sistemi 111
dove abbiamo posto ω ′ = ωdt = dθâ essendo (O;â) l’asse istantaneo di rotazione. Sostituendo nella
(5.15) e tenendo conto della regola del prodotto misto si ottiene
N
dL = dO· Fs +ω
s=1
′ N
· (Ps −O)×Fs
s=1
= R·dO+Ω(O)·ω ′
(5.16)
In particolare per un moto (o atto di moto) puramente traslatorio (ω = 0), l’espressione del lavoro
elementare è quella stessa che competerebbe ad una unica forza applicata il O di vettore R.
Dalla (5.16) si nota che il lavoro di tutte le forze interne è nullo, essendo Ri = 0 e Ωi(O) = 0,
quindi: durante il moto di un corpo rigido, comunque vincolato e sollecitato, le forze
interne eseguono un lavoro elementare identicamente nullo.
Dalla (5.16) appare anche che due sistemi di forze equivalenti compiono lo stesso lavoro
elementare o, in altri termini, lo stesso lavoro virtuale.
Se il corpo rigido è fissato in un punto e questo si sceglie come centro di riduzione, si ha v0 = 0 e
la (5.16) si riduce a
dL = Ω(O)·ω ′ . (5.17)
Se poi il corpo rigido ruota intorno ad un asse fisso di direzione â, basta scegliere il polo O in un punto
qualsiasi di quest’asse perché continui a sussistere la (5.17); in particolare il vettore ω, pur variando,
in generale, di intensità col tempo, ha sempre l’asse fisso e ω = ˙ θâ. Essendo Ωa la proiezione sull’asse
a del momento Ω(O) (momento risultante delle forze rispetto all’asse a) si ha:
5.2.3 Lavoro elementare in coordinate lagrangiane
dL = Ωadθ. (5.18)
Se il sistema S ha n gradi di libertà e, rispetto alla generica n−upla di coordinate lagrangiane
(indipendenti) qh (h = 1, 2, ..., n), è definito dalle equazioni parametriche
Ps = Ps(q1, q2, ..., qn;t), s = 1,...,N, (5.19)
il generico spostamento infinitesimo del sistema è dato da
dPs =
n ∂Ps
dqh +
∂qh
∂Ps
dt, s = 1,...,N.
∂t
h=1
Il lavoro elementare del sistema diventa quindi
denotando con
n
N
dL = Qhdqh + Fs ·
h=1 s=1
∂Ps
dt (5.20)
∂t

112 5 Dinamica: equazioni differenziali del moto
Qh =
N
s=1
Fs · ∂Ps
∂qh
la forza generalizzata di Lagrange o componente del sistema di forze Fs secondo la coordinata
lagrangiana qh. A secondo membro della (5.20) il secondo termine si annulla identicamente
quando i vincoli sono indipendenti dal tempo (∂Ps/∂t) = 0.
5.2.4 Lavoro virtuale e identità notevoli
Nel caso di spostamenti virtuali δPs si perviene per il lavoro virtuale
N
n
δL = Fs ·δPs, e quindi δL = Qhδqh. (5.21)
s=1
h=1
Se le forze (Ps,Fs) derivano da un potenziale U, espresso in coordinate lagrangiane per mezzo delle
equazioni parametriche (5.19), funzione delle q e anche del tempo t, se i vincoli sono dipendenti da
esso. In ogni caso sappiamo già che si ha δL = δU, dove δU denota il differenziale totale della
U in quanto dipendente dalle sole q, cioé δU = n h=1 ∂U
∂qh δqh; quindi, identificando con la (5.21) e
tenendo conto della arbitrarietà dei δqh nell’ipotesi di vincoli olonomi (in modo che gli spostamenti
infinitesimi δqh sono arbitrari e indipendenti tra loro), si ottengono per le componenti lagrangiane
della sollecitazione, nel caso conservativo, le espressioni Qh = ∂U
∂qh .
Nel caso di un corpo rigido libero i vincoli sono indipendenti dal tempo. Quindi, come nel caso
appena visto, il generico spostamento virtuale è definito da
δPs = δO+ω ′ ×(Ps −O),
dove δO denota lo spostamento virtuale del polo O e ω ′ la corrispondente rotazione virtuale, e si
trova
δL = R·δO+Ω(O)·ω ′ , (5.22)
dove, naturalmente, R e Ω(O) denotano ancora il vettore risultante e il momento risultante, rispetto
ad O, delle forze (Ps,Fs).
5.2.5 Energia cinetica o forza viva
Definizione 5.2. Diremo energia cinetica o forza viva di un sistema materiale S di N punti Ps
di massa ms la somma
T = 1
2
N
s=1
msv 2 s = 1
2
N
msvs ·vs. (5.23)
Si tratta di una grandezza scalare, sempre positiva, salvo che negli istanti di arresto di tutti i
punti del sistema, nei quali l’energia cinetica si riduce a zero; è manifesto che essa è di natura relativa
alriferimentoadottato(inDinamicaquandosiparladienergiacinetica,senzaulteriorespecificazione,
si sottintende che il moto sia riferito ad una terna fissa o, più generalmente, galileiana).
s=1

5.2 Caratteristiche dinamiche dei sistemi 113
Fig. 5.2. Sistemi di riferimento mobile (O1;x1,y1,z1) traslante rispetto al sistema di riferimento fisso (O;x,y,z).
Teorema di König
Denotando con (O1;x1,y1,z1) un sistema di riferimento mobile e con (O;x,y,z) il sistema di riferimento
fisso, la velocità di un punto Ps rispetto al sistema fisso è data da vs = vτ,s +v1,s; dove vτ,s
è la velocità di trascinamento di Ps e v1,s è la velocità relativa di Ps. Nel caso particolare in cui il
sistema mobile si muova di moto traslatorio allora vτ,s = v(O ′ ) = v0 e l’energia cinetica T
assume la forma
T = 1
2 mv0 2 + 1
2
N
msv1,s
s=1
2
N
+v0 · msv1,s , (5.24)
s=1
dove m denota la massa totale del sistema. La (5.24) presenta l’energia cinetica del sistema, nel suo
moto rispetto a (O;x,y,z), come somma di tre termini, cioé l’energia cinetica che competerebbe al
punto O ′ qualora fosse un punto materiale di massa m, l’energia cinetica del sistema nel suo moto
relativo ad O ′ , ed, infine, una quantità che dipende sia dal moto di O ′ che dal moto relativo. La
formula (5.24) si semplifica quando si assume come riferimento mobile O ′ il baricentro G del sistema.
In tal caso, essendo N s=1ms(Ps −G) = 0, si ha che N s=1msv1,s = 0.
Pertanto abbiamo il seguente risultato:
Teorema 5.3 (Teorema del König). L’energia cinetica di un qualsiasi sistema materiale in moto
è, istante per istante, eguale alla somma dell’energia cinetica che competerebbe in quell’istante al
baricentro, qualora fosse un punto materiale in cui si trovasse concentrata tutta la massa del sistema,
più l’energia cinetica nel moto del sistema relativo al baricentro (ovvero all’osservatore centrato nel
baricentro e traslante):
Energia cinetica di un corpo rigido
T = 1
2 mv2 G +TG, TG = 1
2
N
msv1,s
s=1
2 N
, m = ms. (5.25)
s=1
Nel caso di un corpo rigido abbiamo vs = v0 + v ′ s, dove v0 = v(O ′ ), e v ′ s = ω × (Ps − O ′ ) con
ovvio significato di tali grandezze vettoriali. In particolare, ponendo m = N s=1ms e:

114 5 Dinamica: equazioni differenziali del moto
allora la (5.24) diventa:
T ′ = 1
2 mv2 0,
T ′′ = 1
N
ms{ω ×(Ps −O
2 s=1
′ )} 2 ,
T ′′′ N
= v0 · msω ×(Ps −O
s=1
′ )
T = T ′ +T ′′ +T ′′′ . (5.26)
Qui dobbiamo esprimere T ′ , T ′′ , T ′′′ in termini delle sei caratteristiche date da v0 = uî+vˆj+w ˆ k e
ω = pî ′ +qˆj ′ +rˆ k ′
(dove è più conveniente, ma non necessario, proiettare ω su una terna solidale di
versori î ′ ,ˆj ′ e ˆ k ′
)).
Il primo addendo T ′ , che fornirebbe l’intera energia cinetica
del corpo rigido qualora il moto fosse puramente
traslatorio, è dato da
T ′ = 1
2 mv2 0 = 1
2 mu
2 +v 2 +w 2
(5.27)
dove si è denotata con m la massa totale del corpo rigido.
Pertrovarel’espressioneesplicitadiT ′′ ,che darebbe la
intera energia cinetica se il punto solidale O ′ fosse
fisso, consideriamo la distanza ds del generico punto Ps
del corpo rigido dall’asse istantaneo di rotazione (O ′ ,ω).
Poiché {ω ×(Ps −O ′ )} 2 = ω 2 d 2 s allora, raccogliendo ω a
fattore comune, si trova che:
T ′′ = 1
2 Iω2 , dove I =
N
msd
s=1
2 s
rappresenta il momento di inerzia del corpo rigido rispetto
Fig. 5.3. Sistemi di riferimento mobile
(O1;x1,y1,z1) solidale con il corpo rigido;
(O;x,y,z) denota il sistema di riferimento
rispetto al quale si calcola l’energia cinetica del
corpo rigido.
all’asse istantaneo di rotazione passante per O ′ . In particolare, essendo A, B, C e A ′ , B ′ , C ′ i
momenti e i prodotti d’inerzia del corpo rigido rispetto alla terna solidale al corpo rigido, si ha:
T ′′ = 1
2 Iω2
= 1
2
Ap 2 +Bq 2 +Cr 2 −2A ′ pq −2B ′ pr−2C ′ qr
(5.28)
dove i momenti A, B, C e A ′ , B ′ , C ′ calcolati rispetto al riferimento solidale sono costanti durante
il moto del corpo rigido. Infatti, il momento di inerzia I rispetto all’asse di istantanea rotazione
passante per O di equazioni (αx,βx,γx), x ∈ R e dove α = p/ω, β = q/ω e γ = r/ω sono i coseni
direttori della retta, è dato da
I = Aα 2 +Bβ 2 +Cγ 2 −2A ′ αβ −2B ′ αγ −2Cβγ
= 1
ω 2
Ap 2 +Bq 2 +Cr 2 −2A ′ pq −2B ′ pr −2Cqr
.

5.2 Caratteristiche dinamiche dei sistemi 115
Il terzo addendo, infine, T ′′′ si può scrivere, per una nota proprietà del prodotto misto:
T ′′′ N
= ms(Ps −O
s=1
′ )·(v0 ×ω)
= m(G−O ′ )·(v0 ×ω). (5.29)
Dalla (5.26) e dalle formule (5.27), (5.28) e (5.29) risulta che in ogni caso la energia cinetica
di un corpo rigido è una forma quadratica nelle 6 caratteristiche dell’atto di moto
(u,v,w,p,q,r).
Osserviamo che: se il centro di riduzione O ′ (che è al tempo stesso origine delle coordinate) si
sceglie nel baricentro si annulla (G−O ′ ) = 0 e quindi T ′′′ ; se poi si scelgono come assi coordinati i
rispettivi assi principali di inerzia allora si annullano i tre prodotti di inerzia A ′ = B ′ = C ′ = 0,
mentre A, B, C diventano i tre momenti principali di inerzia baricentrali. Per la energia cinetica si
ottiene l’espressione notevolmente semplice in accordo con il Teorema di König:
Corpo rigido con un punto fisso o un asse fisso
T = 1
2 mu
2 +v 2 +w 2
+ 1
Ap
2
2 +Bq 2 +Cr 2
(5.30)
Quando il corpo rigido S sia fissato in un suo punto, basta scegliere questo punto O ′ come centro di
riduzione del moto rigido (e come origine della terna solidale); allora l’energia cinetica, per un corpo
rigido rotante intorno ad un asse fissato con velocità angolare ω, è data da
T = T ′′ = 1
2 Iω2 ,
dove si è scelto il centro di riduzione O ′ (origine anche della terna solidale) sull’asse e dove I denota
il momento di inerzia del corpo rigido rispetto al suo asse di rotazione. Operando come prima si ha
la seguente espressione equivalente (con ovvio significato dei termini):
T = T ′′ = 1
Ap
2
2 +Bq 2 +Cr 2 −2A ′ pq −2B ′ pr −2C ′ qr
.
Quando, in particolare, il corpo S ha un asse fisso allora in questo caso si ottiene
T = 1
2 Iω2
dove I é il momento d’inerzia del corpo rigido rispetto all’asse fisoo.
Energia cinetica di un sistema olonomo in coordinate lagrangiane
Dato un sistema olonomo S costituito da N punti Ps, dotato di n gradi di libertà, dove i vincoli
sono rappresentati dalle equazioni parametriche (5.19); per cui le velocità (possibili) vs = v(Ps) dei
singoli punti Ps, in funzione delle coordinate qs e delle velocità lagrangiane ˙qs e del tempo, sono date
da
vs =
n ∂Ps
h=1
∂qh
˙qh + ∂Ps
, s = 1, ... , N. (5.31)
∂t

116 5 Dinamica: equazioni differenziali del moto
Sostituendole nelle (5.23) si può scrivere
T = T2 +T1 +T0, (5.32)
designando, rispettivamente, con T2, T1, T0 l’insieme dei termini di II ◦ grado nelle ˙q, dei termini di
I ◦ grado e, infine, dei termini indipendenti dalle ˙q. Più precisamente si ottiene
T2 = 1
n
N
ah,k˙qh˙qk, ah,k = ah,k(q;t) =
2 h,k=1
s=1
n
N ∂Ps
T1 = Ak˙qk, Ak = Ak(q;t) = ms ·
k=1
s=1 ∂qk
∂Ps
∂t
T0 = 1
N
2 ∂Ps
ms
2 ∂t
s=1
∂Ps
ms
∂qh
· ∂Ps
,
∂qk
dove i coefficienti ah,k, Ak e T0 dipendono dai parametri lagrangiani e dal tempo. In particolare è
immediato osservare che ah,k = ak,h.
Se i vincoli sono indipendenti dal tempo, le espressioni (5.31) delle velocità si riducono alla
loro parte lineare nelle velocità lagrangiane ˙q:
In particolare T1 = T0 = 0 e l’energia cinetica assume la forma
T = 1
2
n ∂Ps
vs = ˙qh. (5.33)
h=1 ∂qh
N
N
ah,k˙qh˙qk, ah,k =
h,k=1
s=1
∂Ps
ms ·
∂qh
∂Ps
∂qk
(5.34)
dove i coefficienti ah,k dipendono dalle sole qh. È questa dunque l’espressione generale della energia
cinetica di un sistema olonomo a vincoli indipendenti dal tempo e ad n gradi di libertà
(di fatto l’ipotesi di olonomia non è necessaria a questo stadio).
Vale il seguente risultato:
Teorema 5.4. T2 è una forma quadratica nelle ˙qh definita positiva; cioé T2 ≥ 0 per ogni scelta
delle velocità lagrangiane ˙q1,..., ˙qn e T2 = 0 se, e solo se, ˙q1 = ... = ˙qn = 0.
Dimostrazione. Supponiamo, per un momento, i vincoli indipendenti dal tempo e dimostriamo prima
il teorema sotto questa ipotesi. Osserviamo che T è per sua natura stessa definita positiva e quindi,
essendo T = T2 sarà necessariamente T2 ≥ 0. Se poi T2 = 0 allora T = 0 e quindi deve essere vs = 0;
resta quindi da fare vedere che
˙qh = 0, h = 1,2,...,n ⇔ vs = 0, s = 1,2,...,N
ovvero le ˙qh sono tutte nulle sempre e solo quando tali sono tutte le vs. Dalla (5.31), in cui ∂Ps = 0, ∂t
è immediato che vs = 0 quando ˙qh = 0. Per dimostrare il viceversa osserviamo che se tutte le vs
sono nulle allora abbiamo che deve essere
n n n
∂xs ∂ys ∂zs
˙qh = 0, ˙qh = 0, ˙qh = 0
h=1 ∂qh h=1 ∂qh h=1 ∂qh

5.2 Caratteristiche dinamiche dei sistemi 117
che implica ˙qh = 0 poiché la matrice Jacobiana delle xs, ys, zs rispetto alle qh, in virtù della
ipotesi della indipendenza delle coordinate lagrangiane, è, per valori generici di esse, di caratteristica
n. Supponiamo ora i vincoli dipendenti dal tempo; T sarà ancora definita positiva ma ora T =
T2 +T1 +T0. Mostriamo per prima cosa che T2 ≥ 0. Supponiamo per assurdo che esistano ˙¯qh non
tutte nulle tali che ¯ T2 < 0, quindi sarà T2 = α2¯ T2 < 0 anche per α ˙¯qh per qualunque α ∈ R\{0} e
inoltre sarà
T = α 21
2
n
h,k=1
ah,k ˙¯qh ˙¯qk +α
n
Ah ˙¯qh +T0 = α 2¯ T2 +α ¯ T1 + ¯ T0.
h=1
Poiché abbiamo supposto per assurdo ¯ T2 < 0 allora, per α sufficientemente grande, sarà T < 0
cadendo in assurdo. Mostriamo ora che T2 = 0 implica ˙qh = 0. Supponiamo, per assurdo, che
esistano ˙¯qh non tutte nulle tali che ¯ T2 = 0, quindi sarà T2 = α 2¯ T2 = 0 anche per α ˙¯qh per qualunque
α ∈ R\{0}. Quindi
T = α
n
Ah ˙¯qh +T0 = α¯ T1 + ¯ T0.
h=1
Se ¯ T1 = 0 allora basta prendere α di segno opposto a ¯ T1 e sufficientemente grande per avere T < 0
cadendo in assurdo; quindi deve essere anche ¯ T1 = 0, ottenendo
T = ¯ N
2 ∂Ps
T0 = ms .
s=1 ∂t
Osserviamo che ¯ T0 è indipendente da ˙¯qh e quindi da α mentre T dipende da α attraverso ¯vs e la
(5.31), poiché ˙¯qh = 0 per un qualche h, cadendo ancora in assurdo. Quindi abbiamo provato che
T2 ≥ 0 e che se T2 = 0 allora deve necessariamente essere ˙qh = 0 per ogni h.
Notiamo, infine, che nell’uno e nell’altro caso il determinante ah,k degli n 2 coefficienti ah,k,
appunto come discriminante di una forma definita (positiva), non può annullarsi. Per dimostrare
questorisultatoindipendentementedalTeoremaprecedentesipuòprocederecomesegue:supponiamo
i vincoli indipendenti dal tempo (per semplicità) e sia, per assurdo, questo determinante nullo, per
una qualche scelta dei parametri lagrangiani qh e t. Allora esistono ˙¯qh non tutte nulle soddisfacenti
al sistema di n equazioni lineari
∂T
∂˙qh
=
n
ah,k ˙¯qk = 0, h = 1,2,...,n.
k=1
Moltiplicando i membri di questa equazione per ˙¯qh si ottiene che deve essere
0 =
per il teorema di Eulero, cadendo in assurdo.
n ∂T
˙¯qh = 2T
∂˙qh
h=1
5.2.6 Quantità di moto e momento della quantità di moto
Definizione 5.5. Definiamo quantità di moto di un sistema di punti Ps di massa ms la somma
vettoriale

118 5 Dinamica: equazioni differenziali del moto
N
Q = msvs, vs = (Ps). (5.35)
s=1
Derivando l’equazione vettoriale m(G−O) = N s=1ms(Ps−O), dove G è il baricentro e vG la sua
velocità, abbiamo
Abbiamo dunque che:
mvG =
N
msvs = Q. (5.36)
s=1
Teorema 5.6. La quantità di moto di un sistema qualsiasi è ad ogni istante eguale alla quantità
di moto che, in quell’istante, spetterebbe al baricentro, qualora fosse un punto materiale, in cui si
trovasse concentrata la massa totale del sistema.
Definizione 5.7. Dato un sistema materiale S si dice momento delle quantità di moto rispetto
ad un qualsiasi punto O il momento risultante rispetto ad O delle quantità di moto dei singoli punti
Ps del sistema, cioé la grandezza vettoriale
N
N
K(O) = (Ps −O)×msvs = msvs ×(O−Ps). (5.37)
s=1
s=1
Il momento della quantità di moto è legato alla scelta del punto O secondo la seguente relazione:
K(O ′ ) = K(O)+(O −O ′ )×Q
dove Q è la quantità di moto del sistema. Infatti
K(O ′ N
) = msvs ×(O
s=1
′ N
−Ps) = msvs ×[(O−Ps)+(O
s=1
′ −O)]
N
N
= msvs ×(O−Ps)+ msvs ×(O
s=1
s=1
′ −O)
= K(O)+(O−O ′ )×Q.
Scegliendo come centro di riduzione dei momenti il baricentro G del sistema ed essendo v ′ s le
velocitàdeipuntiPs delsistemanelloromotorelativoaG(cioérispettoadunosservatorebaricentrico
traslante): vs = vG +v ′ s si ha che:
Pertanto si conclude che:
K(G) =
=
=
=
N
msvs ×(G−Ps)
s=1
N
msv
s=1
′ N
s ×(G−Ps)+ msvG ×(G−Ps)
s=1
N
msv
s=1
′ N
s ×(G−Ps)+vG × ms(G−Ps)
s=1
N
msv
s=1
′ s ×(G−Ps) = K ′ (G).

5.2 Caratteristiche dinamiche dei sistemi 119
Teorema 5.8. Comunque si muova un sistema materiale, il momento delle quantità di moto (assoluto)
rispetto al baricentro coincide con l’analogo momento delle quantità di moto relativo al baricentro
stesso (cioé rispetto all’osservatore baricentrico e traslante):
K(G) = K ′ (G).
Derivata del momento della quantità di un sistema
Derivando la relazione (5.37) si ottiene
dK(O)
dt =
N
(Ps −O)×msas −v0 ×Q, v0 = (O). (5.38)
s=1
Se il centro di riduzione O è fisso (v0 = 0), la (5.38) si semplifica nella forma
dK(O)
dt =
N
(Ps −O)×msas. (5.39)
s=1
Si noti che tale semplificazione rimane valida anche quando il centro di riduzione O (pur non essendo,
in generale, fisso) coincida, istante per istante, con il baricentro del sistema, infatti in tal
caso il termine vG × Q è identicamente nullo dalla (5.36), o oppure abbia velocità parallela a
quella del baricentro, infatti v0 ×Q = v0 ×(mvG) = 0.
5.2.7 Quantità di moto e momento delle quantità di moto di un corpo rigido
Quando il sistema S in moto è un corpo rigido, e si assume a centro di riduzione O ′ un punto solidale
con il sistema, i due vettori Q e K(O ′ ) si esprimono in modo notevolmente semplice per mezzo delle
caratteristiche u,v,w e p,q,r del moto di S rispetto ad una qualsiasi terna solidale (O ′ ;x ′ ,y ′ ,z ′ )
dove
Più precisamente si ha che:
v0 = uî ′ +vˆj ′ +w ˆ k ′
, ω = pî ′ +qˆj ′ +r ˆ k ′
.
Teorema 5.9. Le componenti di Q e K si identificano con le derivate parziali dell’energia cinetica
T del corpo rigido rapporto alle 6 caratteristiche:
e
Q = ∇(u,v,w)T = ∂T
∂u î′ + ∂T
∂v ˆj′ + ∂T
∂w ˆ k ′
K(O ′ ) = ∇(p,q,r)T = ∂T
∂p î′ + ∂T
∂q ˆj′ + ∂T
∂r ˆ k ′
.
Dimostrazione. Infatti, partendo dalla definizione T = 1 Ns=1msv 2
2 s, dove
vs = v0 +ω ×(Ps −O ′ ) = vs,x ′î′ +vs,y ′ˆj′ +vs,z ′ˆ k ′
, v0 = v(O),
viene proiettata sulla terna solidale e dove

120 5 Dinamica: equazioni differenziali del moto
vs,x ′ = u+ ˜vs,x ′(p,q,r).
L’energiacineticaT saràfunzionediu,v,w,p,q,r e,derivandolarispettoadusiottienechesolamente
= 1; quindi:
vs,x ′ dipende da u e che ∂v s,x ′
∂u
∂T
∂u =
N
s=1
msvs,x ′, (5.40)
il cui secondo membro non è altro che la componente Qx ′ di Q secondo l’asse delle x′ . Analogamente
per y ′ e z ′ ottenendo:
Derivando ora la T rispetto a p si perviene all’identità
Analogamente
completando così la dimostrazione.
∂T ∂T ∂T
Qx ′ = , Qy ′ = , Qz ′ = . (5.41)
∂u ∂v ∂w
∂T
∂p =
N ∂vs
ms
s=1 ∂p ·vs
N
∂ω
= ms
s=1 ∂p ×(Ps
−O) ·vs
N
= msî
s=1
′ N
×(Ps −O)·vs = msî
s=1
′ ·(Ps −O)×vs = Kx ′.
∂T ∂T
Ky ′ = , Kz ′ =
∂q ∂r
(5.42)
In particolare dalle (5.26) e (5.27)–(5.28)–(5.29) si ottengono le espressioni delle componenti di Q
e K(O ′ ). In particolare, quando il centro di riduzione O ′ coincide con il baricentro o quando O ′ sia
fissato nello spazio (da ciò T ′′′ = 0), allora le (5.42) assumono la forma
⎧
⎪⎨ Kx
⎪⎩
′ = Ap−B′ r−C ′ q
Ky ′ = −C′ p+Bq −A ′ r
Kz ′ = −B′ p−A ′ (5.43)
q +Cr
e basta prendere come assi solidali i tre assi principali d’inerzia in O ′ (baricentro o punto solidale
fisso) per ridurle ulteriormente alla forma canonica
dove A, B, C denotano i momenti principali di inerzia.
Vale il seguente teorema:
Teorema 5.10. L’energia cinetica di un corpo rigido vale
Kx ′ = Ap, Ky ′ = Bq, Kz ′ = Cr (5.44)
T = 1
2 v(O′ )·Q+ 1
2 ω ·K(O′ ).

5.2 Caratteristiche dinamiche dei sistemi 121
Dimostrazione. Il Teorema si dimostra applicando il Teorema di Eulero all’energia cinetica T
2T = ∂T ∂T ∂T ∂T ∂T ∂T
u+ v + w + p+ q +
∂u ∂v ∂w ∂p ∂q ∂r r,
considerata come forma quadratica delle 6 caratteristiche (vedi la nota a seguito della formula (5.29))
e tenendo conto delle (5.41), (5.42).
Se il polo O ′ dei momenti si fa coincidere con il baricentro (Q = mvG), allora si può scrivere (è
il Teorema di König) T = 1
2mv2 G + 1
2ω ·KG. Inoltre, nel caso in cui O ′ sia fisso allora abbiamo che
T = 1
2ω ·K(O′ ).
Corpo rigido ad asse fisso
Se un corpo rigido S ruota intorno ad una retta fissa a con velocità angolare ω allora, scegliendo
l’asse a coincidente con uno degli assi di riferimento (ad es. l’asse x ′ ) per cui p = ±ω e q = r = 0, le
(5.41) e (5.42) assumono la forma:
Qx ′ = 0, Qy ′ = −mz0p, Qz ′ = my0p;
Kx ′ = Ap, Ky ′ = −C′ p, Kz ′ = −B′ p.
Si prova così che il momento delle quantità di moto rispetto all’asse di rotazione è dato
dal prodotto di ±ω per A (momento di inerzia del corpo rispetto allo stesso asse).
5.2.8 Esercizi
Esercizio 5.1: Sia data un’asta rigida OA omogenea, lunga ℓ e di massa m vincolata a ruotare
attorno all’asse (O;z) rimanendo inclinata rispetto all’asse stesso (sia α ∈ (0,π/2) l’angolo che l’asta
forma con la verticale). Essendo ω = ˙ θ ˆ k la velocità angolare dell’asta (dove θ è l’angolo di rotazione),
calcolare l’energia cinetica dell’asta, in particolare calcolare l’energia cinetica quando α = 0.
Esercizio 5.2: sia data un’asta rigida OA omogenea, lunga ℓ e di massa m avente l’estremo O
fisso. Calcolare l’energia cinetica dell’asta.
Esercizio 5.3: Sia data un’asta rigida AB omogenea, lunga ℓ e di massa m vincolata a muoversi
nel piano (O;x,y) e avente l’estremo A vincolato ad una circonferenza di centro O e raggio R.
Calcolare l’energia cinetica dell’asta.
Esercizio 5.4: Calcolare l’energia cinetica del sistema materiale, mobile nel piano (O;x,y), formato
da:
- un’asta rigida OC omogenea, lunga ℓ, di massa m e con asse fisso normale al piano (O;x,y) e
passante per O;
- undiscorigidoomogeneo,diraggioRemassaM ilcuicentroèincernieratoall’estremoC dell’asta.
Esercizio 5.5: Calcolare l’energia cinetica dell’asta AB omogenea, mobile nel piano (O;x,y),
lunga ℓ e di massa m avente un estremo A vincolato a scorrere lungo l’asse x.
Esercizio 5.6: Calcolare l’energia cinetica dell’asta AB omogenea, mobile nel piano (O;x,y),
lunga ℓ e di massa m avente l’estremo A vincolato a scorrere lungo l’asse x e l’altro estremo B
vincolato a scorrere lungo l’asse y.

122 5 Dinamica: equazioni differenziali del moto
Esercizio 5.7: Calcolare l’energia cinetica di un disco omogeneo di massa m, raggio R, mobile
nel piano e che ruota senza strisciare su un asse.
Esercizio 5.8: Sia dato il sistema materiale (detto bilanciere) costituito da:
- due sfere omogenee di massa M e raggio R ciascuna,
- un’asta rigida, omogenea, lunga 2ℓ e massa 2m;
l’asta è rigidamente collegata alle due sfere come in figura. Calcolare l’energia cinetica del sistema
sapendo che l’asta ruota attorno ad un asse fisso passante per il centro dell’asta e normale all’asta
stessa.
Esercizio 5.9: Calcolare il momento della quantità di moto di un’asta AB omogenea, lunga ℓ e
massa m che ruota attorno ad un asse normale all’asta stessa e passante per l’estremo A.
Esercizio 5.10: Calcolare il momento della quantità di moto di un’asta OA omogenea, lunga ℓ e
massa m avente l’estremo O fisso.
Esercizio 5.11: Calcolare il momento della quantità di moto di un’asta AB omogenea, lunga ℓ e
massa m che si muove liberamente nel piano (O;x,y).
5.3 Equazioni cardinali della Dinamica e equazioni di Lagrange
5.3.1 Generalità
Se ci riferiamo ad un sistema S di N punti materiali Ps ogni sollecitazione sarà costituita da forze
applicate agli N punti del sistema che, in base al postulato di indipendenza degli effetti delle forze,
si potranno ridurre ad N forze applicate rispettivamente agli N punti Ps, sostituendo, per
ciascuno di questi, alle varie forze agenti su di esso la rispettiva risultante.
Se gli N punti Ps sono liberi ed è data la sollecitazione risultante Fs cui essi sono sottoposti, il
problema del moto si pone immediatamente nelle equazione vettoriali (e quindi 3N equazioni scalari)
del II ◦ ordine nelle N incognite vettoriali Ps = Ps(t) dell’unica variabile indipendente t:
msas = Fs
dove as è l’accelerazione del punto Ps, di massa ms, valutata con riferimento alla terna rispetto alla
quale sono misurate le forze agenti sui punti del sistema.
In generale avremo, oltre alle forze attive, anche dei vincoli (sistemi materiali vincolati); per
quanto è noto dal postulato delle reazioni vincolari possiamo ritenere che su ciascun punto
del sistema l’azione esercitata dai vincoli, nelle date condizioni di sollecitazione, sia
sostituibile con una forza (incognita) che chiameremo reazione o forza vincolare. Se ne
consegue che, anche nel caso più generale di sistemi vincolati, varranno le equazioni fondamentali
msas = Fs +φs
(5.45)
purché vi si interpreti ciascuna delle Fs come risultante complessiva delle forze attive e φs
delle reazioni, cui è soggetto il corrispondente punto Ps. Sinotiche,ingenerale,siconoscono,
oltre alle forze attive, le modalità di realizzazione dei vincoli, ma non le corrispondenti reazioni,
le quali hanno perciò il carattere di incognite ausiliarie; di qui appare che le equazioni (5.45)
costituiscono, per il problema del moto di un sistema vincolato, una interpretazione provvisoria.

5.3 Equazioni cardinali della Dinamica e equazioni di Lagrange 123
Per una più precisa caratterizzazione seguiteremo il percorso già tracciato nella Statica dove, distinguendo
le forze in interne ed esterne, siamo pervenuti alle equazioni cardinali della Statica;
mentre poi, nella Statica generale, partendo dalla distinzione delle forze in attive e vincolari e aggiungendo
opportune ipotesi alla natura dei vincoli (assenza di attrito), siamo riusciti ad eliminare,
grazie al principio dei lavori virtuali, dalle condizioni di equilibrio le incognite reazioni.
5.3.2 Teoremi della quantità di moto e del momento delle quantità di moto. Equazioni cardinali della
Dinamica
Teorema della quantità di moto
Dato un sistema materiale S di N punti Ps comunque vincolato e sollecitato, distinguiamo l’insieme
di tutte le forze attive e vincolari agenti sul sistema in esterne ed interne (attive e vincolari) avente
vettori denotati, rispettivamente, Fs,i e φs,i e Fs,e e φs,e. Le equazioni del moto si potranno scrivere:
msas = Fs,i +φs,i +Fs,e +φs,e, s = 1, ..., N. (5.46)
Le forze interne (Ps,Fs,i) e (Ps,φs,i), per la loro stessa natura, costituiscono un sistema vettorialmente
equivalente a zero (cioé avente nulli il risultante e il momento risultante); quindi,
sommando ambo i membri della (5.46), si ottiene:
dQ
dt =
N dvs
ms
dt =
N N N
msas = Fs,e + φs,e
s=1
s=1
e denotando con Re il vettore risultante di tutte le forze attive esterne e denotando con Φe il vettore
risultante di tutte le reazioni vincolari esterne, si ottiene la relazione
Abbiamo dunque il seguente risultato:
s=1
s=1
dQ
dt = Re +Φe. (5.47)
Teorema 5.11 (Teorema della quantità di moto). La derivata della quantità di moto di un
qualsiasi sistema materiale è, istante per istante, uguale al vettore risultante delle forze esterne
(attive e vincolari).
Ricordando che Q = mvG, dove m è la massa del sistema e vG la velocità del baricentro, la (5.47)
si può scrivere
Cioé:
maG = Re +Φe. (5.48)
Teorema 5.12 (Teorema del baricentro). Qualunque sia il sistema materiale che si considera e
qualunque sia la sollecitazione cui esso è sottoposto, il baricentro si muove come se fosse un punto
materiale dotato della massa totale del sistema e come se tutte le forze esterne (attive e vincolari)
agenti sul sistema fossero applicate in esso.
Il teorema precedente ci assicura che nessuna azione di congegni interni verrà a modificare la
traiettoria del baricentro. In particolare se Re +Φe è identicamente nullo dalla (5.48) segue aG =
0; cioé il baricentro si muove di moto rettilineo uniforme. Se poi, più generalmente, è
costantemente nulla la componente di Re +Φe secondo una qualche direzione fissa a si ottiene che
rimane costante, durante il moto del sistema, la componente della velocità del baricentro
secondo la direzione a.

124 5 Dinamica: equazioni differenziali del moto
Teorema del momento delle quantità di moto
Riprendiamo le equazioni (5.46) e consideriamo, come elemento ausiliare di riduzione, un punto O
qualsiasi. Se, dopo avere moltiplicato vettorialmente ambo i membri per (Ps − O), sommiamo
rispetto all’indice s si ha, ricordando che il momento risultante delle forze interne rispetto ad O è
costantemente nullo:
Che si può scrivere come:
N
N
msas ×(O−Ps) = (Ps −O)×msas
s=1
s=1
= dK(O)
dt +v(O)×Q.
dK(O)
dt +v(O)×Q = Ωe(O)+Ψe(O). (5.49)
Se, in particolare, il centro di riduzione O è fisso o coincide con il baricentro o ha velocità
parallela a quella del baricentro, allora la (5.49) assume la forma più semplice
Vale quindi il seguente:
dK(O)
dt = Ωe(O)+Ψe(O). (5.50)
Teorema 5.13 (Teorema del momento della quantità di moto). Comunque si muova un sistema
materiale, la derivata in rapporto al tempo del momento delle quantità di moto rispetto ad un
punto fisso o coincidente con il baricentro o avente velocità parallela a quella del baricentro è, istante
per istante, uguale al momento risultante di tutte e sole le forze (attive e vincolari) esterne rispetto
al medesimo centro di riduzione.
Il Teorema è qui dimostrato nella solita ipotesi implicita che il moto del sistema sia riferito al
riferimento rispetto al quale sono misurate le forze. Ma sappiamo che, assumendo come centro di
riduzione il baricentro, il momento della quantità di moto (assoluto) del sistema coincide
con quello della quantità di moto relativa al baricentro (cioé relativa al riferimento baricentrico
e traslante); perciò la (5.50) sussiste anche quando per K(G) si prenda quest’ultimo
momento K ′ (G), purché, beninteso, i momenti Ωe(G) e Ψe(G) delle forze esterne si calcolino
rispetto all’osservatore iniziale.
Se la sollecitazione del sistema è tale che il momento risultante Ωe(O)+Ψe(O) delle forze esterne
si mantenga costantemente nullo allora, durante tutto il moto, il vettore K(O) si conserva
costante (in grandezza e direzione) e l’equazione K(O) = cost. si chiama integrale del momento
(vettoriale) delle quantità di moto. Ad esempio, nel caso di un solido soggetto a forze esterne in
cui sia nullo il momento risultante rispetto al baricentro (è il caso di un sistema pesante), se questo si
muove a partire dalla quiete, il suo moto è necessariamente traslatorio. In generale le componenti
del vettore K(G) (date da Ap, Bq, Cr) si mantengono costanti (e per sistemi inizialmente in quiete
dovrà aversi p = q = r = 0 per tutto il moto).

5.3.3 Equazioni cardinali del moto di un sistema qualsiasi
Le due equazioni vettoriali
o, più particolarmente, la (5.51) e la
5.3 Equazioni cardinali della Dinamica e equazioni di Lagrange 125
dQ
dt = Re +Φe
(5.51)
dK(O)
dt = Ωe(O)+Ψe(O)−v(O)×Q, (5.52)
dK(O)
dt = Ωe(O)+Ψe(O), (5.53)
si dicono le equazioni cardinali della Dinamica.
Così come nel caso statico (in cui Q ≡ 0 e K(O) ≡ 0) queste valgono necessariamente per ogni
sistemamaterialemobileenonsarannoingeneralesufficientiacaratterizzarneilmoto. Seperòsarà
possibile ridurre da esse un numero di equazioni differenziali indipendenti, non contenenti le reazioni
vincolari, ma solamente i parametri lagrangiani del sistema allora esse possono essere ”sufficienti”
a caratterizzare il moto. Cioé la soluzione di tali equazioni soddisfacenti alle condizioni iniziali dà,
per il teorema di unicità delle equazioni differenziali, il moto del sistema. Più precisamente si può
pensare che, in accordo con il caso statico, per i sistemi rigidi esse bastano in ogni caso a definirne
il moto completamente e perciò costituiscono la base di tutta la Dinamica dei solidi.
Mostriamo che questa proposizione è verificata per alcuni casi notevoli.
Corpo rigido libero
In questo caso abbiamo un sistema meccanico con 6 gradi di libertà e le equazioni cardinali della
Dinamica sono
m d2G dt2 = Re e dK(O)
dt
= Ωe(O)
dove O è un punto fisso o coincidente con il baricentro e dove Re e Ωe(O) dipendono, in generale, dai
parametrilagrangiani,dalleloroderivateedaltempo. Abbiamocosìottenutounsistemadiequazioni
differenziali costituito da 6 equazioni in 6 incognite. Con una scelta opportuna dei parametri lagrangiani
(ad es. le tre coordinate del baricentro e i 3 angoli di Eulero) si prova che tale sistema è
riducibile in forma normale e quindi, in virtù del Teorema di Cauchy, questo caratterizza tutte e sole
le soluzioni del moto.
Corpo rigido con punto fisso
In questo caso abbiamo un sistema meccanico con 3 gradi di libertà e le equazioni cardinali della
Dinamica, in cui prendiamo come polo il punto fisso O, sono
m d2G dt2 = Re +Φe e dK(O)
dt
= Ωe(O)
poiché Ψe(O) = 0 in quanto tutte le reazioni vincolari esterne sono applicate in O. Quindi la seconda
equazione cardinale rappresenta un sistema di equazioni differenziali costituito da 3 equazioni nelle

126 5 Dinamica: equazioni differenziali del moto
3 incognite (ad esempio gli angoli di Eulero) non contenente le reazioni vincolari. Tale sistema è
riducibile in forma normale e quindi, in virtù del Teorema di Cauchy, questo caratterizza tutte e sole
le soluzioni del moto.
L’equazionecardinaledeimomentirisulta,talvolta,piùsignificativaseriferitaadunaternasolidale
(O ′ ;x ′ ,y ′ ,z ′ ) avente origine in O ′ ≡ O:
′ dK(O )
dt
O ′
+ω ×K(O ′ ) = Ωe(O ′ ), (5.54)
dove ω designa la velocità angolare della terna solidale, cioé del corpo stesso, rispetto agli assi
(O;x,y,z)e dK(O ′
)
dt O ′ laderivatadiK(O′ )rispettoateffettuatarispettoall’osservatore(O ′ ;x ′ ,y ′ ,z ′ ).
La (5.54) diventa particolarmente significativa quando si assume come terna (O ′ ;x ′ ,y ′ ,z ′ ) quella dei
tre assi principali di inerzia del solido nel suo punto O ′ , in questo caso K(O ′ ) ha componenti
Kx ′ = Ap, Ky ′ = Bq, Kz ′ = Cr. (5.55)
Denotando con Ωx ′, Ωy ′ e Ωz ′ le componenti secondo gli assi solidali del momento risultante Ωe(O ′ ),
rispetto ad O ′ , delle forze attive esterne la (5.54) conduce alle equazioni scalari
⎧
⎪⎨ A˙p−(B −C)qr = Ωx
⎪⎩
′,
B˙q −(C −A)rp = Ωy ′,
C˙r −(A−B)pq = Ωz ′.
(5.56)
Le (5.56) si dicono equazioni di Eulero del moto di un solido intorno ad un suo punto fisso. Si
notichelecomponentidiΩe(O ′ )vannoconsiderate,nelcasopiùgenerale,comenoteinfunzione,oltre
che del tempo, delle velocità dei singoli punti del solido e, in più, delle loro posizioni nello spazio
o, che è lo stesso data l’ipotesi di rigidità, della orientazione del solido intorno ad O ′ . Tramite
la formula fondamentale della cinematica rigida abbiamo che le velocità dei punti dipendono dai
parametri di orientazione e dalle p, q, r; inoltre le p, q, r stesse sono legate a questi parametri di
orientazione da relazioni di tipo differenziale. Scegliendo, ad esempio, come parametri lagrangiani
gli angoli di Eulero θ, ϕ, ψ della terna solidale rispetto alla fissa allora aggiungeremo alle (5.56) le
note equazioni, puramente cinematiche
⎧
⎪⎨ p=
⎪⎩
˙ θcosϕ+ ˙ ψsinϕsinθ
q = −˙ θsinϕ+ ˙ ψcosϕsinθ
r = ˙ (5.57)
ψcosθ+ ˙ϕ
si ottiene un sistema di equazioni differenziali del primo ordine nelle 6 incognite θ, ϕ, ψ, p, q e r.
Corpo rigido con asse fisso
In questo caso abbiamo un sistema meccanico con 1 grado di libertà e la seconda equazione cardinale
della Dinamica, in cui prendiamo come polo un punto fisso O sull’asse fisso, proiettata sull’asse stesso
(coincidente con l’asse z) dà luogo all’equazione differenziale
Iz ¨ θ = Ωe,z
(5.58)
dove θ indica l’angolo di rotazione attorno all’asse fisso, Iz il momento di inerzia del corpo rigido
rispetto a quest’asse. Infatti le reazioni vincolari sono tutte applicate a punti dell’asse (da cui deriva
Ψe,z = 0). Tale equazione è in forma normale e quindi, in virtù del Teorema di Cauchy, questo
caratterizza tutte e sole le soluzioni del moto.

5.3.4 Principio di d’Alembert e relazione simbolica della Dinamica
5.3 Equazioni cardinali della Dinamica e equazioni di Lagrange 127
Distinguendo tra forze attive e vincolari durante il moto varranno le equazioni fondamentali
che si possono scrivere
msas = Fs +φs
(5.59)
Fs −msas +φs = 0. (5.60)
Se durante il moto si interpreta ciascuno dei vettori −msas come una forza, che diremo forza
d’inerzia concernente il punto Ps, si rileva dalle (5.60), in quanto si riferiscono ad N punti da
considerarsi come liberi, che: durante il moto di un sistema materiale, comunque vincolato
e sollecitato, si fanno, istante per istante, equilibrio le forze attive, le forze di inerzia e
le reazioni. In particolare, dando il nome di forze perdute ai termini Fs −msas, avremo che
Principio di d’Alembert: Durante il moto di un sistema materiale, comunque vincolato e sollecitato,
si fanno istante per istante equilibrio, in virtù dei vincoli, le forze perdute e le reazioni
vincolari.
Il principio di d’Alembert ha un notevole interesse in quanto riduce l’impostazione di una
qualsiasi questione Dinamica ad una questione di Statica.
Il principio del d’Alembert, unitamente al principio dei lavori virtuali (che vuole il lavoro virtuale
dellereazionivincolarinullonell’ipotesidivincolilisci),conduceacaratterizzareilmotodiunsistema
a vincoli privi di attrito mediante la relazione
N
(Fs −msas)·δPs ≤ 0 (5.61)
s=1
da considerarsi valida per tutti e soli gli spostamenti virtuali δPs, a partire dalla configurazione
assunta dal sistema, durante il suo moto, nel generico istante che si considera. La (5.61) prende
il nome di relazione simbolica della Dinamica; nel caso di vincoli bilaterali va sostituita alla
corrispondente equazione
N
(Fs −msas)·δPs = 0 (5.62)
s=1
detta equazione simbolica della Dinamica.
La relazione simbolica della Dinamica è stata determinata nel caso in cui i vincoli siano privi di
attrito. Qualora vi siano vincoli scabri noi possiamo ripetere il procedimento che ci ha portato a
tale relazione con la sola variante che si consideri direttamente applicata a ciascun punto Ps, accanto
alla risultante Fs delle forze attive (interne ed esterne), anche la risultante φs delle reazioni vincolari
(interne ed esterne) dovute ai vincoli scabri. Si perviene in tale modo alla relazione simbolica
N
(Fs +φs −msas)·δPs = 0. (5.63)
s=1
Questa relazione è, in generale, di utilità puramente teorica. Acquista un reale interesse nel caso
di vincolo di puro rotolamento. Infatti, in questo caso particolare, il punto in cui si esercita la
reazione dovuto al vincolo scabro è istantaneamente fermo e quindi φs·δPs = 0 e la (5.63) si riduce
alla (5.62).

128 5 Dinamica: equazioni differenziali del moto
Commento al Principio di D’Alembert
Alcuni autori (ad esempio Gallavotti e Dell’Antonio) preferiscono introdurre il principio dei lavori
virtuali (Il lavoro virtuale delle reazioni vincolari è nullo) e poi specificare che i vincoli per i quali
questo principio è soddisfatto si chiamano vincoli perfetti o vincoli ideali. Si verifica sperimentalmente
che, nel caso di sistemi meccanici, quanto più le superfici di vincolo sono ”levigate” o ”lisce”
allora tanto migliore è la descrizione del moto mediante il principio di D’Alambert.
Osserviamo anche che questo principio è giustificato esclusivamente dalla verifica sperimentale e
non è conseguenza delle tre leggi di Newton. La sua importanza risiede nel fatto che questo principio
permette di caratterizzare quei sistemi meccanici per i quali la equazione di Newton rappresenta un
problemabenposto(cioésihalaesistenzaedunicitàdellasoluzioneperognidatoinizialecompatibile
con il vincolo e la continuità rispetto ai dati iniziali).
Osserviamo infine che altri autori postulano la validità della equazione (o relazione) simbolica
della Dinamica e da questa fanno discendere il principio dei lavori virtuali; questo approccio, seppur
legittimo, priva il principio dei lavori virtuali della evidenza sperimentale e lo fa discendere da un
postulato più astratto.
5.3.5 Equazioni differenziali del moto di un sistema olonomo in coordinate lagrangiane
Riferiamo il nostro sistema olonomo S, ad una n−upla qualsiasi di coordinate lagrangiane indipendenti
qh dove n denota il grado di libertà del sistema. Sia Ps = Ps(qh;t) che, derivate rispetto al
tempo, danno le velocità
e gli spostamenti virtuali
vs =
n ∂Ps
h=1
∂qh
˙qh + ∂Ps
∂t
, s = 1,...,N, (5.64)
n ∂Ps
δPs = δqh, s = 1,...,N, (5.65)
h=1 ∂qh
dove le n componenti δqh sono arbitrarie e indipendenti. Riprendendo la equazione simbolica
della Dinamica, considerata valida per tutti gli spostamenti virtuali, si ha:
N N
msas ·δPs = Fs ·δPs. (5.66)
s=1 s=1
Per il secondo membro, lavoro virtuale δL delle forze attive complessivo, si ha identicamente:
N n
N
Fs ·δPs = Qhδqh dove Qh = Fs ·
s=1 h=1
s=1
∂Ps
∂qh
(5.67)
è la componente della sollecitazione attiva secondo la coordinata lagrangiana qh. Quanto
al primo membro della (5.66) esso si può scrivere, dalla (5.65), come
N n
N
msas ·δPs = τhδqh, dove τh = msas ·
s=1 h=1
s=1
∂Ps
. (5.68)
∂qh

5.3 Equazioni cardinali della Dinamica e equazioni di Lagrange 129
In base alla arbitrarietà dei termini δqh e alle due identità (5.67) e (5.68) l’equazione simbolica della
Dinamica equivale alle n equazioni:
τh = Qh, h = 1,2,...,n. (5.69)
Si conclude così che per il sistema olonomo, e a vincoli lisci e bilateri, considerato le n
equazioni (5.69) equivalgono alla equazione simbolica della Dinamica e sono perciò atte
a caratterizzare il moto.
Più precisamente abbiamo dimostrato che:
Teorema 5.14. Supponendo il sistema olonomo, e a vincoli lisci e bilateri, allora, in virtù del postulato
dei lavori virtuali, discende che, durante il moto, le (5.69) sono necessariamente verificate.
Si verifica che esse costituiscono precisamente un sistema di n equazioni differenziali (indipendenti)
del II ◦ ordine nelle n funzioni incognite qh della variabile t, riducibile a
forma normale, cioé risolubile rispetto alle derivate seconde. Infatti i termini dipendenti
dalle ¨qh compaiono solamente nella τh, tramite le as, come (ottenuta derivando la (5.64) rispetto al
tempo):
n ∂Ps
as = ¨qh +rs(˙qh,qh;t).
h=1 ∂qh
Si riconosce quindi che nella generica equazione (5.69) (di indice h) il coefficiente delle ¨qk è uguale a
ah,k =
N
s=1
∂Ps
ms ·
∂qh
∂Ps
∂qk
coincidente con il coefficiente ah,k di ˙qh˙qk nella espressione, in coordinate lagrangiane, della energia
cinetica T o della sua parte quadratica T2, secondo che i vincoli siano indipendenti o no dal tempo;
e dove si è dimostrato che il determinante ah,k non è mai nullo. Con le (5.69) si è raggiunto lo
scopo indicato: si è cioé ridotto il problema della determinazione del moto di un sistema
olonomo alla integrazione di un sistema differenziale (del II ◦ ordine) nel minimo numero
possibile di funzione incognite (numero dei gradi di libertà).
Notiivaloriq 0 h e ˙q 0 h diqh e ˙qh inundeterminatoistante,cioéassegnatelaconfigurazioneinizialedel
sistema e le velocità iniziali dei singoli punti, allora avremo, per i noti teoremi di esistenza ed unicità
delle equazioni differenziali, una unica soluzione qh = qh(t) delle (5.69) che darà, necessariamente, il
moto del sistema. Cioé:
Teorema 5.15. Suppondendo il sistema olonomo e a vincoli lisci e bilateri e assumendo condizioni
sufficienti di regolarità, siano qh(t) soluzioni del sistema (5.69) soddisfacenti alle condizioni iniziali
assegnate q 0 h e ˙q 0 h. Allora qh(t) determina la legge oraria del moto (almeno in un intorno dell’istante
iniziale).
5.3.6 Dimostrazione della ”sufficienza” delle equazioni cardinali della Dinamica
Consideriamo il caso di un corpo rigido soggetto a vincoli bilateri e lisci. Siamo in grado di provare
che le equazioni cardinali della Dinamica sono sufficienti a determinare il moto. Cioé:

130 5 Dinamica: equazioni differenziali del moto
Teorema 5.16. Nel caso di un corpo rigido con vincoli bilateri allora le equazioni cardinali della
Dinamica (5.51) e (5.52) (o 5.53) sono sufficienti a caratterizzare il moto.
Dimostrazione. Infatti, basta provare che dalle equazioni cardinali della Dinamica segue che il Teorema
dei lavori virtuali è verificato, cioé N s=1(Fs−msas)·δPs = 0, e da qui segue che sono verificate
le equazioni di Lagrange. A tal fine ricordiamo che δPs = δO +δθâ×(Ps −O) dove O è un punto
qualunque del corpo rigido, ad esempio prendiamo O ≡ G. Un calcolo immediato dà:
N
(Fs −msas)·δPs =
s=1
N N
N dvs
= Fs ·δO+ Fs ·δθâ×(Ps −O)− ms ·δO +
s=1 s=1
s=1 dt
N dvs
− ms
s=1 dt ·δθâ×(Ps −O)
= Re ·δO+Ωe(O)·δθâ− dQ dK(O)
·δO − ·δθâ
dt dt
dQ
= −
dt −Re
dK(O)
·δO−
dt −Ωe(O)
·δθâ.
D’altra parte le reazioni vincolari, in virtù del principio dei lavori virtuali, soddisfano alla relazione
N N
0 = φs ·δPs = φs ·[δO +δθâ(Ps −O)]
s=1 s=1
= Φe ·δO+Ψe(O)·δθâ.
Sottraendola alla precedente allora si ottiene
N
dQ
(Fs −msas)·δPs = −
s=1
dt −Re
−Φe
dK(O)
−
dt −Ωe(O)−Ψe(O)
·δθâ = 0
·δO+
che risulta essere identicamente nulla se le equazioni cardinali della Dinamica (5.51) e (5.53) risultano
verificate. Quindilaequazionesimbolicadelladinamicarisultaessereverificataedaquileconseguenti
equazioni di Lagrange.
5.3.7 Equazioni del Lagrange: seconda forma
Riprendiamo le (5.69), si verifica immediatamente che vale la seguente, detta seconda forma delle
equazioni del Lagrange:
d ∂T
−
dt∂˙qh
∂T
= Qh, h = 1,2,...,n. (5.70)
∂qh
Esse danno la completa impostazione del problema del moto di un sistema olonomo; e, sotto
l’aspetto analitico, costituiscono un sistema differenziabile del II◦ ordine nelle n funzioni incognite
qh(t), riducibile a forma normale.

5.3 Equazioni cardinali della Dinamica e equazioni di Lagrange 131
La dimostrazione è immediata e segue ricordando che T = 1 Ns=1msvs ·vs e notando che dalla
2
(5.64) risulta
∂vs
=
∂˙qh
∂Ps d ∂Ps
e =
∂qh dt ∂qh
∂ dPs ∂vs
= ,
∂qh dt ∂qh
allora
∂T
N
= msvs ·
∂qh s=1
∂vs
∂qh
e
∂T
N
= msvs ·
∂˙qh s=1
∂vs
N
= msvs ·
∂˙qh s=1
∂Ps
.
∂qh
Derivando quest’ultima rispetto al tempo si ottiene che
d ∂T
N
= msas ·
dt ∂˙qh s=1
∂Ps
N
+ msvs ·
∂qh s=1
∂vs
= Qh +
∂qh
∂T
.
∂qh
Notiamo che, nelle (5.70), tutto ciò che dipende dalla sollecitazione attiva è riassunto nelle sue
componentilagrangianeQh,tuttoquellocheattieneallastrutturamaterialedelsistemaèsintetizzato
nell’unico elemento globale T, cioé nella forza viva.
Si verifica facilmente che quando i vincoli sono indipendenti dal tempo, le (5.70) implica il
teorema delle forze vive che, come già sappiamo, sussiste per ogni sistema con tali vincoli. Infatti,
dalle equazioni di Lagrange (5.70) segue immediatamente che deve essere
n
d ∂T
−
h=1 dt∂˙qh
∂T
n
dqh = Qhdqh = dL.
∂qh h=1
Dal Teorema di Eulero segue che
n ∂T
2T = ˙qh
h=1 ∂˙qh
che derivata rispetto al tempo dà
2 dT
dt =
n
d ∂T
n ∂T
˙qh + ¨qh .
h=1 dt ∂˙qh h=1 ∂˙qh
D’altra parte T dipende esplicitamente della q e ˙q e quindi si ha che
dT
dt =
n ∂T
n ∂T
˙qh + ¨qh
h=1 ∂qh h=1 ∂˙qh
che sottratta a quella precedentemente ottenuta dà
dT
dt =
n
d ∂T
−
h=1 dt ∂˙qh
∂T
˙qh
∂˙qh
ovvero
n
d ∂T
dT = −
dt ∂˙qh
∂T
dqh
∂˙qh
h=1
che, unita a quella precedentemente ottenuta, dà dT = dL.

132 5 Dinamica: equazioni differenziali del moto
5.3.8 Funzione Lagrangiana
Supponiamo che le forze attive Fs derivino da un potenziale Us; quindi
N
U = U(qh;t) = Us(Ps)
s=1
e ammettiamo che i vincoli dipendano dal tempo t. Avremo ancora, in coordinate lagrangiane,
Qh = ∂U
∂qh . Da ciò, e dalla indipendenza di U da ˙qh, le equazioni di Lagrange assumono la forma
dove si è posto
d ∂L
dt∂˙qh
− ∂L
∂qh
= 0, h = 1,2,...,n, (5.71)
L(˙qh,qh;t) = L = T +U. (5.72)
Alla funzione L si dà il nome di funzione Lagrangiana.
In generale, possiamo considerare sistemi più generali, detti sistemi Lagrangiani, caratterizzati
dalle equazioni (5.71) dove L = L(˙qh,qh,t) è una funzione con determinante della matrice simmetrica
∂ 2 L
∂ ˙qh∂ ˙qk
mai nullo.

6
Cenni di meccanica dei continui deformabili
Esamineremo ora alcune nozioni generali, nello schema classico, della meccanica dei continui; ossia
di quei sistemi fisici costituiti da una infinità continua di punti materiali privi del vincolo di rigidità, e
perciò detti corpi deformabili, occupanti una certa posizione dello spazio euclideo tridimensionale
che può essere, a seconda dei casi, un volume V, una superficie σ o un arco di curva γ. Rientrano in
questo schema i fili, le membrane, i fluidi e, in particolare, i liquidi, i corpi elastici, plastici, etc..
Per mezzo continuo si intende un qualsiasi corpo considerato come una estensione continua
di materia prescindendo dalla struttura atomica o molecolare.
Comeprimocasostudiamouncasoparticolare:ifili. Nelseguitostudiamoilproblemaingenerale.
6.1 Un caso particolare: statica dei fili
6.1.1 Fili flessibili ed inestendibili. Definizione e postulato caratteristico
Definizione. Diremo filo flessibile ed inestendibile ogni sistema materiale ad una dimensione tale
che:
a) sia possibile, esercitando convenienti forze, disporre il filo secondo una linea geometrica qualsiasi;
b) presi comunque sul filo due punti, l’arco fra essi compreso conserva, in ogni possibile configurazione,
la medesima lunghezza.
Assumeremo, per la statica dei fili, valido il seguente postulato di immediata evidenza sperimentale:
Postulato caratteristico dei fili: Condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio di un tratto
AB di filo flessibile e inestendibile, sollecitato esclusivamente da due forze di vettore FA e FB applicate
agli estremi, è che il tratto di filo sia rettilineo e le due forze siano direttamente opposte e
dirette verso l’esterno di AB.
Dal postulato segue subito che: fissato un punto P qualsiasi sul filo tra A e B e pensando,
idealmente, di eliminare il tratto PB considerando il solo tratto AP allora questo tratto AP rimarrà
ancora in equilibrio e sarà soggetto, oltre che alla forza in A, ad una forza incognita τ in P dovuta al
tratto di filo che abbiamo idealmente eliminato. Applicando il postulato al tratto di filo AP segue
che FA e τ sono direttamente opposte, cioé τ è uguale a FB. Segue che la forza di vettore τ è
sempre diretta verso l’esterno del tratto di filo AP che viene idealmente isolato ed è la
stessa per tutti i punti del filo. Questa forza prende il nome di tensione, ha natura di forza

134 6 Cenni di meccanica dei continui deformabili
Fig. 6.1. Un tratto di filo AB sollecitato solamente agli estremi é in equilibrio se, e solo se, é disposto lungo un segmento
rettilineo e le forze sono uguali ed opposte e dirette esternamente al filo. La tensione τ si trasmette inalterata lungo il filo.
interna (vincolare) ed é dovuta alla presenza del tratto PB che pensiamo idealmente di eliminare. Si
osservi che lungo il tratto rettilineo del filo in equilibrio si ha trasmissione perfetta in grandezza
e direzione della tensione.
6.1.2 Condizioni di equilibrio. Equazione indefinite dell’equilibrio dei fili.
.
.
.
−τ
τ
Fig. 6.2. Un tratto di filo AB sollecitato agli estremi e in alcuni punti interni é in equilibrio se, e solo se, é disposto lungo una
poligonale i cui vertici sono i punti di applicazione delle forze.
Consideriamo un filo AB che sia sollecitato, oltre agli estremi, anche in un numero finito di punti
Pi dalle forze Fi, i = 1,2,...,n−1 (poniamo A = P0 e B = Pn). Sui punti Pi saranno poi applicate
le tensioni τi (dovuta al tratto di filo PiPi+1 in equilibrio) e −τi−1 (dovuta al tratto di filo Pi−1Pi
in equilibrio); la condizione di equilibrio del filo impone che ogni punto Pi sia in equilibrio, quindi
dovrà essere
τ
.
.

e
6.1 Un caso particolare: statica dei fili 135
Fi −τi−1 +τi = 0, i = 1,2,...,n−1, (6.1)
FA +τ0 = 0 FB −τn−1 = 0.
Queste rappresentano quindi le condizioni necessarie e sufficienti per l’equilibrio di un tratto
di filo flessibile ed inestendibile sollecitato in un numero finito di punti.
Consideriamo ora il caso in cui il filo sia soggetto ad una sollecitazione distribuita su tutto il filo.
A tal fine introduciamo una funzione F(s), che prende il nome di forza unitaria e dove s è la ascissa
curvilinea sul filo, tale che Fds rappresentante il vettore (infinitesimo) della forza applicata al tratto
di filo di lunghezza ds. La equazione cardinale della statica implica la condizione necessaria per
l’equilibrio del filo:
FA +FB +
ℓ
0
F(s)ds = 0
dove ℓ è la lunghezza del filo. In analogia al caso precedente andiamo ad introdurre la tensione τ(s)
del filo dovuta al tratto di filo che, idealmente, andiamo ad eliminare nel punto P = P(s), s ∈ [0,ℓ],
denota l’ascissa curvilinea. Consideriamo il tratto di filo AP(s) che, essendo in equilibrio, dovrà
soddisfare alla analoga equazione
FA +τ(s)+
s
0
F(ξ)dξ = 0; (6.2)
la stessa equazione dovrà essere soddisfatta anche per il tratto di filo AP(s + ∆s) e, sottraendo
membro a membro le due equazioni, si ottiene che deve essere
τ(s+∆s)−τ(s)+
s+∆s
s
F(ξ)dξ = 0.
Dividendo per ∆s e passando al limite ∆s → 0 si ottiene la equazione indefinita dell’equilibrio
dei fili
F(s)+ dτ(s)
ds
= 0 (6.3)
che deve essere soddisfatta in ogni punto P = P(S) interno all’arco AB. Negli estremi dovrà
essere
FA +τ(0) = 0, FB −τ(ℓ) = 0.
Queste due equazioni danno, nel loro complesso, le condizioni necessarie e sufficienti per
l’equilibrio dei fili (a rigore, in questo modo ne viene provata la sola condizione necessaria, per
provare la condizione sufficiente con analogo ragionamento occorre invocare il postulato per la statica
dei mezzi continui).
Osserviamo che noi abbiamo dedotto la equazione indefinita dei fili tramite le condizioni (necessarie)
per l’equilibrio dei sistemi. Un altro modo per ottenerle (dimostrando anche la condizione
sufficiente) consiste nell’approssimare la curva attraverso una poligonale e ottenere la (6.3) attraverso
un passaggio al limite delle (6.1); in questo modo segue che le (6.3) sono sufficienti per l’equilibrio
e non solo necessarie. Piú precisamente la (6.1) prende la forma

136 6 Cenni di meccanica dei continui deformabili
F(s)∆s−τ(s)+τ(s+∆s) = 0
dove τ(s) é la tensione dovuta al tratto di filo P(s)B e dove ∆s é un incremento della ascissa
curvilinea. Dividendo ambo i membri per ∆s e passando al limite si ottiene la equazione indefinita
dell’equilibrio dei fili.
Dimostriamo che la tensione τ(s) è tangente al filo. A tal fine consideriamo la equazione dei
momenti per il tratto di filo AP(s) che prende la forma
s
FA ×(O−A)+τ(s)×(O−P(s))+
0
derivando questa rispetto ad s si ottiene
che si riduce alla
τ(s)
ds
×(O−P(s))−τ(s)× dP(s)
ds
τ(s)× dP(s)
ds
F(ξ)×(O−P(ξ))dξ = 0;
+F(s)×(O−P(s)) = 0
in virtù della (6.3). Quindi, essendo dP
ds =ˆt segue che τ(s) = τ(s)ˆt(s).
L’equazionevettoriale(6.3)puòesserescissanellecomponentiscalari;lecomponentidellatensione,
in virtù della osservazione precedente, valgono τ dx dy dz , τ e τ . Quindi, con ovvio significato delle
ds ds ds
notazioni, si ha che
⎧
d
⎪⎨
τ ds
⎪⎩
dx
+Fx = 0
ds
d τ ds
dy
+Fy = 0
(6.4)
ds
+Fz = 0
d
ds
τ dz
ds
Poiché s non è un parametro arbitrario, bensì la lunghezza dell’arco della funicolare, deve essere
anche soddisfatta la ulteriore relazione
2 2 2 dx dy dz
+ + = 1. (6.5)
ds ds ds
Le (6.4) e (6.5) sono 4 equazioni differenziali (ordinarie) nelle 4 incognite x(s), y(s), z(s) e
τ(s) e dipendenti da sei costanti arbitrarie. Queste saranno determinate, ad esempio, a partire
dalle componenti delle forze applicate negli estremi o, più generalmente, essendo questi incogniti,
imponendo che per s = 0 l’estremo della corda sia in A e che per s = ℓ l’altro estremo sia in B.
Un altro modo di proiettare l’equazione vettoriale
dτ
ds
= 0
+F = 0 (6.6)
consiste ponendo τ = τˆt e ricordando che 1
ρc ˆn = dˆ t
ds , dove ρc denota il raggio di curvatura. Segue
che la (6.6) assume la forma
dτ
ˆt+
τ
ˆn+F = 0.
ds ρc

Queste equazioni, proiettate sulla terna intrinseca, diventano
dτ
ds +Ft = 0,
τ
ρc
6.1 Un caso particolare: statica dei fili 137
+Fn = 0, Fb = 0 (6.7)
cheprendonoilnomediequazioni intrinseche dell’equilibrio dei fili flessibili ed inestendibili.
In particolare risulta che in condizioni statiche, la forza unitaria, in ogni punto della funicolare,
è contenuta nel rispettivo piano osculatore.
Un’altra notevole proprietà segue direttamente dalla prima delle (6.7) nel caso di forze posizionali.
Infatti, se U denota una primitiva di Ft, cioé U(s) = s Ft(s)ds+c, coincidente con il potenziale di
F nel caso in cui questa sia conservativa, allora segue che
d(τ +U)
ds
= 0, cioé τ +U = costante.
Quindi se le forze sono conservative (o anche posizionali), la tensione differisce solo per
una costante dal potenziale cambiato di segno (cioé dell’energia potenziale).
6.1.3 Complementi: filo soggetto ad un sistema di forze parallele
Supponiamo che il filo sia sollecitato da forze parallele e che si scelga il sistema di riferimento in
modo tale che sia Fx ≡ Fz ≡ 0. La prima e la terza delle (6.4) danno, rispettivamente
τ dx
ds
= ϕ, τdz
ds
doveC eϕdesignanoduecostantiarbitrarie. Daquesterelazioni,eliminandoτ siottieneC dx
ds−ϕdz ds =
0 che integrata, Cx(s) − ϕz(s) = Cost. esprime il fatto che la curva giace in un piano parallelo
all’asse delle y, cioé alla comune direzione delle forze attive. Osserviamo che abbiamo escluso il caso
particolare in cui C = ϕ = 0; tale caso è possibile solo quando siamo nei seguenti due casi banali
(che quindi escluderemo): il caso in cui F è identicamente nulla ed il caso della funicolare rettilinea
avente la stessa direzione della forza F. Escludendo quindi questi due casi scegliamo il riferimento
con origine O in A, in modo che sia x(0) = y(0) = z(0) = 0 da cui deve essere Cx(s)−ϕz(s) = 0, e
orientato in modo che sia C = 0; cioé la funicolare sia nel piano z = 0. Rimangono, per definire la
curva e la tensione, le tre equazioni
⎧
⎪⎨
τ
⎪⎩
dx = ϕ ds
d τ ds
dy
= −Fy, ds
2 dx + ds
dy
2
= 1 ds
dove la ϕ è una costante a priori arbitraria e differente da zero. Dalla prima equazione e ricordando
che τ ·ˆt = τ dx si osserva subito che: lungo la funicolare è costante la componente della
ds
tensione normale alla direzione della sollecitazione, nel caso particolare della forza peso è
costante la componente orizzontale.
Catenaria omogenea
Consideriamo il caso in cui la funicolare sia omogenea e sia soggetta alla sola forza peso p, sia inoltre
sospesa a due estremi A e B (non situati sulla stessa verticale). La funicolare giacerà nel piano
= C

138 6 Cenni di meccanica dei continui deformabili
verticale di A e B e, orientando l’asse y verticale ascendente e x in modo che sia xB > xA allora le
equazioni precedenti assumono la forma
⎧
⎪⎨
τ dx = ϕ ds
τ dy
d
ds ds
⎪⎩
2 dx
ds
= p,
+ dy
ds
dove la costante ϕ deve essere positiva in virtù di quanto detto in precedenza ed in virtù della scelta
dell’orientamento dell’asse x. Da ció segue che τ(s) > 0 e dx = 0 per ogni s, da quest’ultima relazione
ds
e dal teorema della funzione inversa é possibile esprimere la curva attraverso una relazione y = y(x),
pertanto il sistema prende la forma
⎧
⎪⎨
τ
⎪⎩
dx = ϕ ds
d
ds (y′ ) = p
ϕ ,
2
′2
1+y = 1
dx
ds
dove y ′ denota dy
. Dalla terza relazione allora la seconda equazione può essere scritta come
dx
che integrata dà
2
y ′′ p
=
1+y ′2 ϕ
= 1
log 1+y ′2
′
+y = p
ϕ x+Cost.
dove, per effetto di una traslazione degli assi parallela all’asse y, si puó scegliere l’origine in modo
che l’asse delle x sia parallelo alla tangente alla funicolare (in modo che sia y ′ (0) = 0), si sceglie la
costante nulla. Questa equazione può poi essere messa nella forma
che, osservando
1+y ′2 +y ′ = e p
ϕ x
1+y ′2
′ +y 1+y ′2
′ −y = 1, deve valere anche la
1+y ′2 −y ′ = e − p
ϕ x .
Allora, sottraendo la seconda alla prima, si ottiene
che ha soluzione generale
y ′ = sinh(px/ϕ)
y(x) = λcosh(x/λ)+Cost. (6.8)
dove abbiamo posto λ = ϕ/p e dove la costante di integrazione può essere scelta nulla per effetto di
una traslazione degli assi parallela all’asse x. La curva (6.8) prende il nome di catenaria omogenea
e (assumendo la costante nulla) ha vertice di valore λ.

Per determinare la tensione la prima delle equazioni indefinite dà
−1
dx
τ = ϕ = ϕ 1+y
ds
′2
ϕ
= ϕ
p y′′
= ϕ2
cosh(x/λ) = py
pλ
6.1 Un caso particolare: statica dei fili 139
cioé in un punto generico di una catenaria omogenea la tensione è uguale al peso di un tratto di filo di
lunghezza uguale alla distanza del punto dalla base; quindi la tensione è minima nel punto più
basso della funicolare ed assume qui il valore pλ = ϕ, componente tangenziale costante
della tensione.
Inoltre
da cui segue
dx
ds =
1
√ 1+y ′2 =
1
1+sinh 2 (x/λ) =
1
cosh(x/λ)
ds
= cosh(x/λ) e quindi s(x) = λsinh(x/λ) (6.9)
dx
convenendo di misurare gli archi s della funicolare a partire dal punto della curva di ascissa x = 0 e
nel verso delle x crescenti.
Imponiamo ora che la catenaria passi per due punti dati A e B e abbia lunghezza ℓ; per fare ciò
esprimiamo la catenaria rispetto ad un sistema di coordinate avente centro A dove, effettuando una
traslazione qualunque, le (6.8) e (6.9) diventano
y(x) = λcosh[(x−x0)/λ]+y0, s(x) = λsinh[(x−x0)/λ]
dove s(x) denota l’ascissa curvilinea della catenaria, misurata a partire dal punto di ascissa x0.
Supponiamo, senza perdere in generalità, che sia 0 = xA < xB e 0 = yA ≤ yB, cioè A coincide con
l’origine e xB > 0 e yB ≥ 0, ed inoltre sarà ℓ 2 ≥ x 2 B +y 2 B. La condizione che la curva passi per A e
poi per B impone
−y0 = λcosh(x0/λ)
yB = λ{cosh[(xB −x0)/λ]−cosh(x0/λ)}
ed inoltre deve essere ℓ = s(xB)−s(0), cioé
ℓ = λ{sinh[(xB −x0)/λ]+sinh(x0/λ)}.
Ora quadrando le ultime due e sottraendole tra loro si ha ℓ 2 −y 2 B = 2λ 2 [cosh(xB/λ)−1] e, ponendo
ξ = xB/2λ e q 2 = (ℓ 2 − y 2 B)/x 2 B ≥ 1, e ricordando che coshz − 1 = 2sinh 2 (z/2), si ottiene infine
sinh 2 ξ
ξ2 = q2 e quindi sinhξ
ξ
= q essendo q e ξ positivi. Questa è una equazione nella sola incognita
; questa equazione ha una sola
ξ o, in ultima analisi, nella tensione orizzontale essendo ϕ = xBp
2ξ
soluzione (per ξ positivi). Individuato così il valore di ξ segue il valore di λ e quindi il valore di x0
e, poi, di y0.
6.1.4 Complementi: filo teso su una superficie
Superficie liscia (o levigata)
Applichiamo le equazioni intrinseche (6.7) allo studio delle configurazioni di un filo (teso) appoggiato
ad una superficie levigata. Qui, la sollecitazione continua lungo il filo si riduce alla sola reazione

140 6 Cenni di meccanica dei continui deformabili
offerta dall’appoggio (supponendo che il peso complessivo sia trascurabile rispetto alle tensioni esercitate
sugli estremi). Supponendo l’assenza di attrito allora la reazione è tutta normale; d’altra
parte, lungo la funicolare, essa deve appartenere al piano osculatore e quindi in ogni punto della
funicolare il piano osculatore è normale alla superficie di appoggio o, equivalentemente, la
normale alla funicolare ha la stessa direzione della normale alla superficie di appoggio. Quindi la
funicolare descrive sulla superficie una curva geodetica. Possiamo quindi concludere che Teorema.
τ
Fig. 6.3. Nel caso di un filo appoggiato ad una superficie levigata la tensione si trasmette inalterata in grandezza: |τA| = |τB|
e resta sempre tangente alla superficie.
Un filo teso sopra una superficie priva d’attrito e soggetto a forze attive soltanto agli estremi, si
dispone secondo una geodetica della superficie.
Inoltre, poiché in condizioni statiche, la reazione è in ogni punto normale alla superficie si ha
Ft = 0 e quindi risulta τ = costante. Cioé la tensione si trasmette inalterata in intensità da
un capo all’altro del filo.
Superficie scabra
Applichiamo le equazioni intrinseche (6.7) allo studio delle configurazioni di un filo (teso) appoggiato
ad una superficie scabra. Qui, la sollecitazione continua lungo il filo si riduce alla sola reazione offerta
dall’appoggio (supponendo che il peso complessivo sia trascurabile rispetto alle tensioni esercitate
sugli estremi). A differenza del caso precedente F non è necessariamente normale alla superficie di
appoggio σ e quindi Ft sarà in generale diversa da zero e quindi τ varierà lungo il filo. Per valutare
la tensione di τ lungo il filo ci restringiamo al caso particolare in cui il filo è adagiato lungo una
geodetica in modo che Fn si identifichi con la reazione normale (in quanto la normale principale alla
curva ˆn è normale alla superficie, deve essere anche Fn ≤ 0 in modo che τ ≥ 0) e che, essendo Fb = 0,
l’attrito statico risulti diretto lungo la tangente alla funicolare e perció coincide con Ft. Quindi la
condizione dell’attrito radente
dτ
τ
|Ft| ≤ fs|Fn| assume la forma ≤ fs . (6.10)
ds
τ
ρc

6.2 Cinematica dei continui deformabili 141
Premesso ció valutiamo la massima differenza tra le intensità di FA e FB per le quali si ha ancora
equilibrio. La massima intensità si avrà quando la (6.10) è della forma
dτ τ
= fs che ha soluzione log(τB/τA) =
ds γ
ρc
ds
fs
ρc
(6.11)
dove τB e τA denotano le intensità della tensione in A e B e dove γ è la traiettoria congiungente A e
B.
Nel caso particolare di una corda avvolta ad un cilindro di raggio r allora la (6.11) assume la
forma (indipendente dal raggio r) τB = τAe fsθ dove θ designa l’angolo al centro (θ ∈ R) compreso
tra A e B.
6.2 Cinematica dei continui deformabili
Nel seguito, per comoditá di notazione, gli assi del sistema di riferimento hanno coordinate x1, x2 e
x3 invece che, come usuale, x, y e z.
6.2.1 Introduzione
Studieremo inizialmente, da un punto di vista cinematico (cioé senza occuparci delle forze), i movimenti
e le deformazioni dei mezzi continui; rientra in questo studio, come caso particolare, anche
il caso dei corpi rigidi anche se fisseremo l’attenzione sulle deformazioni dei corpi elastici e sui
movimenti dei fluidi. La differenza tra i tre casi, da un punto di visto cinematico, è solo questa: in
un corpo rigido la distanza tra due punti qualunque si mantiene sempre invariata, in
un corpo soggetto a deformazione elastica tale distanza varia entro certi limiti ristretti
mentre in un fluido la distanza tra due particelle può variare comunque.
Uno dei primi e basilari postulati che si ammettono a base di questa teoria è quello della conservazione
della massa che implica che i punti materiali P, riguardati come particelle di volume
dv e massa dm = ρdv, se ρ = ρ(P;t) è la densità, non possono in ogni istante né lacerarsi e né
sovrapporsi. Ciò equivale a ritenere che, fissata una qualunque terna di riferimento (O;x 1,x 2,x 3),
vi sia in ogni istante una corrispondenza biunivoca e continua fra i punti P 0 (x 0 1,x 0 2,x 0 3)
di una configurazione iniziale C 0 del corpo ad un istante t0 ed i punti P(x1,x2,x3) di una
configurazione C generica ad un istante t, cosí che ogni particella P è distinta (individualizzata)
fra tutte le altre dalla sua posizione iniziale P 0 . Analiticamente ciò equivale a pensare
P = P(x 0 1,x 0 2,x 0 3;t), ossia xi = xi(x 0 1,x 0 2,x 0 3;t), i = 1,2,3. (6.12)
La corrispondenza espressa dalla (6.12) deve dunque diventare invertibile e bicontinua, perché fissato
unqualunqueP ∈ C videveessereunsoloP 0 ∈ C0 dacuiessoproviene. Atalescoposirichiedechele
funzioni xi = xi(x0 1,x0 2,x0 3;t) siano continue con derivata priva continua e che il determinante
Jacobiano definito da
⎛ ⎞
J(P;t) =
∂xi
∂x0
j
= det
∂x1
∂x0 ∂x1
1 ∂x0 ∂x1
2 ∂x0 3
∂x2
∂x0 ∂x2
1 ∂x0 ∂x2
2 ∂x0 3
∂x3
∂x0 ∂x3
1 ∂x0 ∂x3
2 ∂x0 3
sia sempre diverso da zero. In particolare, poiché per t = 0 è
⎜
⎝
⎟
⎠
(6.13)

142 6 Cenni di meccanica dei continui deformabili
J(P;0) = det
⎛ ⎞
1 0 0
⎜ ⎟
⎝0
1 0⎠
= 1, (6.14)
0 0 1
per continuità risulta J(P;t) > 0 in un conveniente intorno di t = 0 e, quindi, anche per qualunque
t data l’arbitrarietà della scelta dell’istante iniziale.
6.2.2 Punto di vista lagrangiano ed euleriano
Punto di vista lagrangiano (o sostanziale)
Le equazioni (6.12)
xi = xi(x 0 1,x 0 2,x 0 3;t), (6.15)
fissato P0, sono le equazioni lagrangiane del moto della particella P individuata dalla posizione
P0 nella configurazione C0, o, se si vuole, delle x 0 1,x 0 2,x 0 3 costanti rispetto al tempo. Le variabili
xi, rispetto a t, si prestano a descrivere il moto particella per particella: per seguire una
particella basta fissare P0 in C0, ovvero le x 0 i, e far variare t. Cosí , ad esempio, la funzione vettoriale
di t e P0:
di componenti
v = ∂P
∂t = v(x0 i;t)
˙xi = ∂xi
∂t (x0 1,x 0 2,x 0 3;t) (6.16)
dà, in funzione di t, la velocità all’istante t della generica particella che si trovava in P0 per t = t0.
Analogamente
di componenti
a = a(x 0 i;t) = ∂v
∂t (x0i;t) = ∂2P ∂t2 ¨xi = ∂2 xi
∂t 2 (x0 1,x 0 2,x 0 3;t) (6.17)
ne dà la accelerazione. Questo è il punto di vista lagrangiano o sostanziale.
Punto di vista euleriano (o locale)
Il moto di un mezzo continuo si può studiare, oltre che seguendo una determinata particella (detto
punto di vista sostanziale o Lagrangiano), anche considerando quanto avviene in un determinato
punto dello spazio dove passano successivamente diverse particelle ( detto punto di vista
locale o Euleriano). Nel primo caso viene fissato il punto iniziale (x 0 1,x 0 2,x 0 3) e le coordinate (6.15)
sono variabili e dipendenti da t; nel secondo caso viene fissato il punto nello spazio di coordinate
(x1,x2,x3) e saranno quindi dipendenti dal tempo le coordinate x 0 i del punto che all’istante t saranno
in (x1,x2,x3).

Derivata sostanziale e derivata locale
6.2 Cinematica dei continui deformabili 143
Corrispondentemente ad qualsiasi grandezza fisica f = f(x1,x2,x3,t) si hanno due tipi di derivate
rispetto al tempo, secondo che si consideri la variazione di f per una determinata particella, e quindi
tenendo costanti x 0 1,x 0 2,x 0 3 e pensando x1,x2,x3 variabili nel tempo secondo la (6.15) ottenendo
f = f[xi(x 0 j;t),t],
o per un dato punto dello spazio, e quindi tenendo costanti x1,x2,x3 ottenendo
f = f(xi,t).
La prima derivata, detta sostanziale, si denota con df
; la seconda derivata, detta locale, si denota
dt
con ∂f
∂t .
Per trovare la relazione tra le due derivate si osserva che la derivata sostanziale vale
df ∂f ∂f ∂f ∂f
= + ˙x1 + ˙x2 + ˙x3
dt ∂t ∂x1 ∂x2 ∂x3
= ∂f
∂t +v1
∂f ∂f ∂f
+v2 +v3 =
∂x1 ∂x2 ∂x3
∂f
+v·∇f (6.18)
∂t
dove ∇f è il vettore di componenti ∂f ∂f ∂f
, , ∂x1 ∂x2 ∂x3
6.2.3 Equazioni di continuità
Moti stazionari
calcolate in (x1(t),x2(t),x3(t)).
Definizione 6.1. Si chiama moto stazionario il moto di un mezzo quando, da un punto di vista
locale, la velocità v è costante rispetto al tempo:
∂v1 ∂v2 ∂v3
= = = 0.
∂t ∂t ∂t
Cioé in un qualsiasi punto dello spazio la velocità del mezzo non varia in grandezza né in direzione
con il tempo.
Flusso di un fluido
Sia assegnata, nello spazio occupato da un fluido in movimento, una superficie regolare σ fissa e su
di essa assegniamo, ad arbitrio, un verso positivo per la normale ˆ N. Si chiama flusso del fluido
attraverso la superficie σ la massa di fluido che l’attraversa, per unità di tempo. Se la superficie σ
è chiusa allora si chiama flusso uscente il flusso calcolato orientando la normale verso l’esterno, e
flusso entrante quello calcolato con la convenzione opposta. Si ha che:
Teorema 6.2. Sia σ una superficie chiusa non normale ˆ N uscente, sia v la velocità che hanno le
particelle nell’attraversare σ e sia ρ la densità del fluido; allora il flusso Ψ uscente attraverso la
superficie σ in una unità di tempo è dato da
Ψ = ρvNdσ, vN = v· ˆ N. (6.19)
σ
Dimostrazione. Infatti, fissato l’elemento di superficie infinitesimo dσ, la quantitá di fluido che attraversa
σ nell’unitá di tempo sará dato dalla massa (infinitesima) ρdσ moltiplicata per la velocitá
di queste particelle normale alla superficie. Sommando rispetto a tutti i contributi infinitesimi si
ottiene la (6.19).

144 6 Cenni di meccanica dei continui deformabili
Equazione di continuitá
Fig. 6.4. Flusso di un fluido attraverso una superficie.
Sia σ una superficie chiusa, fissa e regolare qualunque racchiudente un volume S, la massa contenuta
in essa sarà
SρdS funzione, in generale, del tempo essendo tale la densità ρ. Il suo incremento
nell’unità del tempo sarà ∂ρ
S ∂tdS mentre, se ˆ N è la normale esterna, per la (6.19), la quantitá di
massa entrante nell’unità di tempo, sarà −
σρvNdσ. Uguagliando queste due relazioni si ottiene la
seguente
S
σ
∂ρ
dS + ρvNdσ = 0 (6.20)
∂t σ
che deve valere per qualunque volume S interno al fluido. Facendo uso del teorema della divergenza
segue che 1
S
∂ρ
∂t
+div (ρv)
dS = 0
che dovendo valere per ogni S dovrà essere in ogni punto (assumendo la funzione integranda continua
su tutto R 3 in ogni istante)
∂ρ
∂t
+div (ρv) = 0. (6.21)
Questa equazione prende il nome di equazione di continuità (dal punto di vista euleriano).
Poiché div (ρv) = ρdiv v+v·∇ρ segue che la (6.21) assume la seguente forma (lagrangiana)
in virtú delle (6.18).
dρ
dt
+ρ div v = 0 (6.22)
1 Dato un generico vettore v di componenti (v1,v2,v3) si denota con divergenza di v, e si denota div v, la grandezza scalare
∂v1 ∂v2 ∂v3 + + ∂x1 ∂x2 ∂x3 .

6.2 Cinematica dei continui deformabili 145
Se il fluido è incomprimibile (e omogeneo) la sua densità ρ è costante e l’equazione di continuità
diventa
div v = 0;
cioé la velocità è un campo vettoriale a divergenza nulla. Questi campi vettoriali a divergenza
nulla si dicono campi solenoidali.
6.2.4 Spostamenti e piccole deformazioni
ξ
ξ 3
.
.
ξ
Fig. 6.5. Deformazione della porzione C del continuo.
Cominciamo con una analisi puramente cinematica, cioé indipendentemente dalle forze che lo
producono, delle piccole deformazioni di un mezzo continuo. A tale scopo ci riferiamo ad un
sistema cartesiano (O;x 1,x 2,x 3) ed indichiamo con P(x1,x2,x3) un generico punto del mezzo nello
stato naturale C (cioé in assenza di deformazioni), e con P ⋆ la posizione di P nella generica
configurazione deformata C ⋆ . Denoteremo con s(P) = P ⋆ − P la funzione spostamento del punto
P e con si(P) le sue componenti cartesiane. Studiamo ora la distribuzione degli spostamenti in
un intorno V di P introducendo un sistema di riferimento cartesiano (P;ξ 1,ξ 2,ξ 3) con origine in P
ed assi paralleli rispettivamente a x1,x2,x3. Sia poi Q = Q(ξ 1,ξ 2,ξ 3) un generico punto del detto
intorno V e s(Q) = Q ⋆ −Q lo spostamento di Q dello stato naturale C alla configurazione deformata
C ⋆ . Le componenti cartesiane si(Q) sono funzioni delle coordinate di Q rispetto ad O e cioè di xi+ξi
e potranno essere sviluppate in serie di Taylor di punto iniziale P, trascurando gli infinitesimi di
ordine superiore al primo ordine nelle ξi, ottenendo
si(Q) = si(xj +ξj) (6.23)
∂si ∂si ∂si
= si(P)+ ξ1 + ξ2 + ξ3 +O(|ξ|
∂x1 ∂x2 ∂x3
2 )
P
dove O(|ξ| 2 ) denota un infinitesimo del secondo ordine per |ξ| piccolo (che nel seguito trascuriamo)
e dove assumiamo si regolare (ad esempio di classe C 2 (R)). Ponendo
P
P
.
.

146 6 Cenni di meccanica dei continui deformabili
tenendo presente l’identità
e ponendo
e
le (6.23) forniscono
αi,k = ∂si
∂xk
P
, i,k = 1,2,3,
αi,k = 1
2 (αi,k +αk,i)+ 1
2 (αi,k −αk,i)
γi,k = γk,i = 1
2 (αi,k +αk,i) = 1
∂si
2 ∂xk
R1 = α3,2 −α3,2
2
, R2 = α1,3 −α3,1
2
+ ∂sk
, i,k = 1,2,3, (6.24)
∂xi P
, R3 = α2,1 −α1,2
. (6.25)
2
s1(Q) = s1(P)+(γ1,1ξ1 +γ1,2ξ2 +γ1,3ξ3)+(−R3ξ2 +R2ξ3)+O(|ξ| 2 );
s2(Q) = s2(P)+(γ2,1ξ1 +γ2,2ξ2 +γ2,3ξ3)+(R3ξ1 −R1ξ3)+O(|ξ| 2 );
s3(Q) = s3(P)+(γ3,1ξ1 +γ3,2ξ2 +γ3,3ξ3)+(−R2ξ1 +R1ξ2)+O(|ξ| 2 ).
Sinteticamente queste possono essere scritte
dove le componenti di d sono
e il vettore r vale
s(Q) = s(P)+d+r+O(|P −Q| 2 ) (6.26)
di =
3
γi,kξk, i = 1,2,3, (6.27)
k=1
r = R×(Q−P) = det
⎛ ⎞
ê1 ê2 ê3
⎜ ⎟
⎝R1
R2 R3⎠
(6.28)
ξ1 ξ2 ξ3
essendo R il vettore di componenti (R1,R2,R3).
Osserviamoorachedeitreterminiincui,inbasealla(6.26)èstatodecompostos(Q),ilprimos(P)
rappresenta una traslazione (essendo uguale per tutti i punti Q dell’intorno considerato), il terzo
r rappresenta, per la (6.28), una rotazione individuata dal vettore velocitá angolare (P,R),
e quindi s(P)+r rappresenta un atto di moto rigido rototraslatorio di tutto l’intorno di P
considerato. Allorala(6.26)cidiceche,amenoditerminiinfinitesimidiordine2,lo spostamento
del generico punto Q è composto da uno spostamento rigido e da uno spostamento d nel
quale interviene la deformazione. Dalle (6.27) poi appare che d è il risultato dell’applicazione
di un operatore lineare T sul vettore Q−P, cioé
d = T(Q−P) (6.29)
tale operatore lineare (detto anche omografia o tensore), analiticamente definito dalla matrice
simmetrica (γi,k), con γi,k = γk,i, è noto come il tensore delle deformazioni o strain. Poiché la
matrice è simmetrica segue che il tensore è simmetrico.

6.2.5 Analisi dello strain
6.2 Cinematica dei continui deformabili 147
Le componenti γi,k dello strain hanno un notevole significato fisico. Per studiarlo in maggiore dettaglio
supponiamo, per semplicitá, nullo lo spostamento rigido dell’intorno di P e trascuriamo ora i
resti del tipo O(|ξ| 2 ), per cui si avrà semplicemente
s1(Q) = γ1,1ξ1 +γ1,2ξ2 +γ1,3ξ3; (6.30)
s2(Q) = γ2,1ξ1 +γ2,2ξ2 +γ2,3ξ3; (6.31)
s3(Q) = γ3,1ξ1 +γ3,2ξ2 +γ3,3ξ3. (6.32)
Consideriamo poi quella particolare deformazione caratterizzata da γi,k = 0 per i,k = 1 (e con
γ1,1 = 0). Il corrispondente spostamento s(Q) avrà le seguenti componenti
s1(Q) = γ1,1ξ1, s2(Q) = s3(Q) = 0 (6.33)
e perciò il punto Q(ξ1,ξ2,ξ3) dello stato naturale passa nel punto Q ⋆ della configurazione deformata
di coordinate
ξ ⋆ 1 = (1+γ1,1)ξ1, ξ ⋆ 2 = ξ2, ξ ⋆ 3 = ξ3, (6.34)
ossia si sposta parallelamente all’asse ξ1 (e all’asse x1) della quantità γ1,1ξ1. Ciò significa che tutti i
segmenti paralleli all’asse x1 si dilatano del rapporto 1+γ1,1 mentre quelli ortogonali a x1 restano
invariati; la corrispondente deformazione è allora una pura dilatazione (nel caso in cui γ11 > 0,
altrimenti se γ11 < 0 é una contrazione) parallela all’asse x1 e γ1,1 viene detto il coefficiente di
dilatazione lineare secondo l’asse x1 nel punto P. Analogamente γ2,2, γ3,3 sono i coefficienti di
dilatazione lineare secondo x2, x3 nel punto P.
Consideriamo ora una deformazione caratterizzata da
tutte le γi,k = 0 eccetto γ2,3 e γ3,2. Gli spostamenti corrispondenti
sono
s1(Q) = 0, s2(Q) = γ2,3ξ3, s3(Q) = γ3,2ξ2, γ3,2 = γ2,3. (6.35)
Da qui si vede che Q si sposta in un piano perpendicolare
all’asseξ1 (ox1)echeilsuospostamentonondipendedaξ1;
possiamo quindi limitarci a studiare il fenomeno nel piano
(ξ2,ξ3). In questo caso i punti A dell’asse ξ2 (cioé ξ1 =
ξ3 = 0) appartenenti all’intorno di P si spostano nei punti
A ⋆ (ξ1,ξ2,ξ3 = γ3,2ξ2), cioé sulla retta di equazione ξ3 =
γ3,2ξ2 passante per P e di coefficiente angolare
γ3,2 = ξ3
ξ2
= tan α ∼ α.
ξ
α
Fig. 6.6. Scorrimento.
Similmente i punti dell’asse ξ3 si portano sulla retta ξ2 = γ2,3ξ3 inclinata rispetto all’asse ξ3 di un
uguale angolo α. Si può allora dire che 2γ2,3 rappresenta la variazione che subisce, per effetto della
deformazione, l’angolo formato dagli assi ξ2, ξ3 uscenti da P. Una tale deformazione si chiama uno
scorrimento parallelo al piano ξ2, ξ3. Analogamente per γ1,2 e γ1,3, per cui le γi,k con i = k si
dicono coefficienti di scorrimento.
ξ

148 6 Cenni di meccanica dei continui deformabili
Data poi la linearità delle relazioni (6.30, 6.31, 6.32), si può concludere che la deformazione più
generale è ottenuta sovrapponendo sei deformazioni particolari corrispondenti alle singole
γi,k e determinate quindi dalla sovrapposizione di tre dilatazioni parallele agli assi e da
tre scorrimenti paralleli ai piani coordinati.
Infine, poiché la matrice (γi,k) è simmetrica, ad essa corrisponde una quadrica di centro P per cui
esistonosempretreassiprincipaliche,sepresicomeassicartesiani,permettonodiscriverel’equazione
della quadrica stessa in forma canonica, cioè tale che γ1,2 = γ1,3 = γ2,3 = 0. Quindi si può concludere,
in generale, che:
Teorema 6.3 (Teorema di Helmotz). Ogni deformazione è data dalla sovrapposizione di tre
dilatazioni (o compressioni) principali secondo tre direzioni opportune.
6.2.6 Dilatazione cubica
La quantità
γ = γ1,1 +γ2,2 +γ3,3 = ∂s1
∂x1
+ ∂s2
+
∂x2
∂s3
∂x3
= div s(P) (6.36)
è detta invariante lineare di deformazione poiché si può dimostrare che esso non cambia per
trasformazione di coordinate (infatti γ =tr(γi,j) coincide con la traccia del tensore di strain che è
invariante per trasformazioni di coordinate). Per vederne il suo significato fisico consideriamo la
terna costituita dagli assi principali passanti per P ed un parallelepipedo con gli spigoli ∆ξ1, ∆ξ2,
∆ξ3 paralleli agli assi principali; il suo volume vale
∆V = ∆ξ1 ·∆ξ2 ·∆ξ3.
A seguito della deformazione che, per quanto si è detto, consiste solo di tre dilatazioni principali, si
otterrà ancora un parallelepipedo di lati (1+γ1,1)∆ξ1, (1+γ2,2)∆ξ2, (1+γ3,3)∆ξ3, cioè di volume
∆V ⋆ = (1+γ1,1)·(1+γ2,2)·(1+γ3,3)·∆V.
Ora, nel limite di piccole deformazioni possiamo trascurare i prodotti della γi,k rispetto all’unità
ottenendo:
∆V ⋆ ≈ (1+γ1,1 +γ2,2 +γ3,3)∆V = (1+γ)∆V (6.37)
e quindi γ ha il significato fisico di dilatazione cubica nel punto P.
6.3 Statica dei continui deformabili
6.3.1 Forze applicate e sforzi
Passiamo ora in rassegna i vari tipi di forze che possono agire sui continui deformabili. Anzitutto
possiamo distinguere le forze esterne, che nei casi concreti sono note in genere, in due tipi:
i. forze di massa, agenti su ogni elemento di massa del corpo (ad esempio il peso);
ii. forze superficiali, agenti su ogni elemento della superficie di contorno del corpo.

6.3 Statica dei continui deformabili 149
La forza di massa che agisce sull’elemento (infinitesimo) di massa dm centrato in P si ritiene
proporzionale a dm stesso e si può esprimere con Fdm, dove F è un vettore finito dipendente, al
solito,dallaposizionedelpuntoP,dallasuavelocitàedaltempo(instaticaassumiamoladipendenza
di F solo dalla posizione di P). Detta poi ρ la densità materiale del corpo, la forza di massa può
anche essere espressa da
ρFdV, (6.38)
essendo dV l’elemento (infinitesimo) di volume contenente dm. Analogamente la forza superficiale
agente sull’elemento dσ si esprime con
Φdσ, (6.39)
dove Φ, forza per unità di superficie, è anch’esso un vettore finito.
Ci sono poi le forze interne, generalmente incognite, dovute alla mutua azione delle particelle del
corpo (pressione o tensione interna) e che preciseremo introducendo in concetto di sforzo interno.
Gli sforzi interni sono dovuti a forze molecolari, cioé alla mutua interazione tra le molecole. Un fatto
essenziale è che queste forze sono ”a corto raggio”, cioé esercitano la loro azione solo sui punti vicini;
se ne consegue che le forze interne, con le quali una parte qualunque del corpo è sollecitata dalle parti
contigue, agiscono solo direttamente attraverso la superficie di tale parte (questo è vero in generale;
pur con qualche eccezione, ad es. i corpi piezoelettrici). Se immaginiamo di considerare all’interno
del corpo un generico elemento superficiale dσ, centrato in un punto P del corpo, su cui fissiamo
una faccia positiva e una negativa orientando il versore della normale ˆ N allora il sistema delle forze
interne che le particelle del corpo situate dalla parte della faccia negativa esercitano sulle particelle
situate dalla parte positiva sono in generale, come è noto, equivalenti a una coppia e a una forza. In
quel che segue ammetteremo che tali forze interne siano equivalenti ad una sola forza (quando si
tiene conto anche della coppia si parla di continui semiflessibili), proporzionale a dσ, detta sforzo
sulla faccia negativa di dσ che indicheremo ancora con
Φdσ, (6.40)
dove Φ è un vettore finito, generalmente incognito, detto sforzo specifico nel punto P. Esso è
funzione in generale, oltre che di P e t, anche di ˆ N: Φ = Φ(P,t, ˆ N). Se l’angolo tra Φ ed ˆ N è acuto
si parla di Φ come di una pressione, se è ottuso di una tensione. Ovviamente le particelle situate
dalla parte della faccia positiva esercitano sulle particelle situate dalla parte opposta uno sforzo
uguale ed opposto, −Φdσ, per il principio di mutua azione.
6.3.2 Condizioni di equilibrio per i continui deformabili
Come visto a suo tempo, condizione necessaria per l’equilibrio di un qualunque sistema meccanico
è l’annullarsi del vettore risultante R e del momento risultante Ω di tutte le forze (esterne) attive e
reattive. Tale condizione non è però, in generale sufficiente. Per i corpi deformabili ammettiamo il
seguente postulato:
Postulato fondamentale della statica dei mezzi continui: Se le condizioni
R = 0
(6.41)
Ω = 0

150 6 Cenni di meccanica dei continui deformabili
. σ
Fig. 6.7. Sforzo interno.
sono soddisfatte, non solo per il corpo nel suo insieme, ma anche per una qualsiasi parte di esso,
considerato come un sistema a sè, allora il corpo è in equilibrio.
Osserviamo che nelle (6.41), scritte per una porzione del corpo, compariranno le forze esterne che
competono alla porzione considerata e gli sforzi interni esercitati dalle particelle circostanti alla parte
stessa.
6.3.3 Formule di Cauchy
Consideriamo per un punto generico P, interno al corpo, tre elementi superficiali paralleli ai piani
coordinati e siano
Φ1 = Φ1,1ê1 +Φ1,2ê2 +Φ1,3ê3
Φ2 = Φ2,1ê1 +Φ2,2ê2 +Φ2,3ê3
Φ3 = Φ3,1ê1 +Φ3,2ê2 +Φ3,3ê3
Φ
σ
(6.42)
(6.43)
(6.44)
gli sforzi specifici che si esercitano sugli elementi superficiali normali, nell’ordine, agli assi x1, x2, x3.
Ciascuno degli sforzi specifici si può pensare come somma di tre sforzi, uno normale all’elemento
superficiale considerato e due tangenti ad esso. Ad esempio, Φ1 è la somma di uno sforzo specifico
normale misurato da Φ1,1 e di due sforzi specifici tangenziali (o di taglio), dati da Φ1,2 e Φ1,3,
paralleli rispettivamente a x2 e a x3. Quindi Φ1,1, Φ2,2, Φ3,3 sono gli sforzi normali e Φi,k, con
i = k, sono gli sforzi di taglio. Consideriamo ora lo sforzo specifico Φ relativo ad un generico
elemento superficiale passante per un punto P interno al corpo. Mandiamo da P tre rette parallele
agli assi coordinati e tracciamo un piano dσ (infinitamente) vicino a P e parallelo (cioé con le normali
parallele) al piano tangente in P all’elemento superficiale considerato. Tale piano incontra le rette
nei punti A, B e C i quali, con P, individuano un tetraedro (infinitesimo) ABCP. Sia poi
ˆN = α1ê1 +α2ê2 +α3ê3
il versore normale alla faccia ABC orientato verso l’esterno del tetraedro. Le facce dσ1 = PBC,
dσ2 = PAC e dσ3 = PAB sono tre elementi superficiali passanti per P e paralleli ai piani coordinati

.
σ
Fig. 6.8. Sforzi di taglio e normali.
6.3 Statica dei continui deformabili 151
e su di essi orientiamo la normale concordemente al verso dell’asse ad esso ortogonale, per cui su
di esse agiscono gli sforzi specifici (6.42, 6.43, 6.44); indichiamo poi con Φ ≡ (Φ1,Φ2,Φ3) lo sforzo
specifico relativo alla faccia dσ = ABC e alla normale esterna (cioè quello esercitato dalle particelle
del tetraedro verso l’esterno attraverso ABC).
All’interno del tetraedro agiscono poi le forze esterne di massa
dove dv è il volume (infinitesimo) del tetraedro, e gli sforzi interni
Per le condizioni di equilibrio R = 0 avremo
ρFdv = (ρF1dv,ρF2dv,ρF3dv) (6.45)
Φ1dσ1, Φ2dσ2, Φ3dσ3, −Φdσ. (6.46)
R1 = ρF1dv +Φ1,1dσ1 +Φ2,1dσ2 +Φ3,1dσ3 −Φ1dσ = 0 (6.47)
e le analoghe R2 = R3 = 0. Se si indica con h l’altezza del tetraedro relativo alla base dσ e ricordando
la (6.45) si ha
dv = 1
3 hdσ e dσ1 = α1dσ, dσ2 = α2dσ, dσ3 = α3dσ (6.48)
per cui la (6.47) diventa
1
3 ρF1h+Φ1,1α1
+Φ2,1α2 +Φ3,1α3 −Φ1 dσ = 0.
da cui
1
3 ρF1h+Φ1,1α1 +Φ2,1α2 +Φ3,1α3 −Φ1 = 0. (6.49)
Passando ora al limite per h → 0 l’elemento dσ tende all’elemento superficiale passante per P avente
la stessa normale ˆ N e Φ tende allo sforzo specifico relativo a tale elemento superficiale Φ(P,t, ˆ N). Si
ottengono così le formule di Cauchy

152 6 Cenni di meccanica dei continui deformabili
⎧
⎪⎨ Φ1(P) = Φ1,1α1 +Φ2,1α2 +Φ3,1α3
Φ2(P) = Φ1,2α1 +Φ2,2α2 +Φ3,2α3
⎪⎩ Φ3(P) = Φ1,3α1 +Φ2,3α2 +Φ3,3α3
(6.50)
che ci danno lo sforzo specifico in un punto P relativo ad un elemento superficiale, comunque
orientato, in funzione degli sforzi specifici che si esercitano sui tre elementi,
sempre passanti per P, normali agli assi di riferimento.
Analogamente a quanto fatto nel caso delle deformazioni, le (6.50) si possono scrivere sinteticamente
come
Φ = Sˆ N, (6.51)
dove S è un operatore lineare caratterizzato dalla matrice (Φi,k), detto anche omografia o tensore
degli sforzi o stress. L’applicazione di tale operatore sul versore della normale all’elemento
superficiale dσ passante per P produce appunto lo sforzo specifico in P relativo a tale elemento dσ.
6.3.4 Equazioni indefinite dell’equilibrio
Consideriamo una regione qualsiasi V interna al corpo, limitata da una superficie regolare σ di
normale esterna ˆ N aventi componenti α1,α2,α3, e scriviamo per essa le condizioni di equilibrio
R = 0, Ω = 0. Su ogni elemento dv agisce la forza di massa ρFdv, per cui il vettore risultante delle
forze di massa agenti su V sarà
ρFdv.
V
Attraverso poi ogni elemento superficiale dσ dall’interno verso l’esterno si esercita lo sforzo specifico
Φdσ per cui il vettore risultante degli sforzi agenti sulle particelle della regione V attraverso la
superficie σ = ∂V sarà:
− Φdσ.
σ
In conclusione, l’equazione R = 0 per la sezione V si scrive
Re = ρFdv − Φdσ = 0. (6.52)
V
Della (6.52) consideriamone la prima componente e, tenendo conto delle formule di Cauchy, segue
che:
ρF1dv −
da cui, per il Teorema di Gauss, si deduce
ρF1 −
V
∂Φ1,1
∂x1
V
σ
(Φ1,1α1 +Φ2,1α2 +Φ3,1α3)dσ = 0, (6.53)
σ
− ∂Φ2,1
∂x2
− ∂Φ3,1
dσ = 0. (6.54)
∂x3
La (6.54), assieme alle reazioni analoghe che si ottengono considerando le altre componenti della
(6.52), poiché il volume V è arbitrario, permette di ottenere le seguenti equazioni indefinite
dell’equilibrio

∂Φ1,1
∂x1
∂Φ1,2
∂x1
∂Φ1,3
∂x1
+ ∂Φ2,1
∂x2
+ ∂Φ2,2
∂x2
+ ∂Φ2,3
∂x2
6.3 Statica dei continui deformabili 153
+ ∂Φ3,1
∂x3 = ρF1 (6.55)
+ ∂Φ3,2
∂x3 = ρF2 (6.56)
+ ∂Φ3,3
∂x3 = ρF3 (6.57)
che sono equazioni differenziali nelle variabili spaziali a cui devono soddisfare gli sforzi specifici in
condizioni di equilibrio.
Analogamente, partendo dalla equazione Ω = 0, si giunge alle seguenti condizioni
Φi,k = Φk,i, ∀i = k (6.58)
cioè la matrice dello stress, in condizioni di equilibrio, è simmetrica. Osserviamo comunque
che questo risultato è conseguenza dell’aver ammesso che il sistema delle forze interne attraverso un
elemento superficiale interno al corpo è equivalente ad una sola forza; se invece si ammette anche
la coppia, allora lo stress non è più simmetrico.
Dimostriamo la (6.58). A tal fine calcoliamo la componente rispetto all’asse di versore ê1 del
momento risultante delle forze di massa, esso sarà:
Ω ′
1 =
(x2F3 −x3F2)ρdv;
V
mentre la componente rispetto all’asse di versore ê1 del momento risultante degli sforzi agenti attraverso
la superficie σ sarà:
Ω ′′
1 = − (x2Φ3 −x3Φ2)ρdσ. (6.59)
σ
Quindi
Ω1 = (x2F3 −x3F2)ρdv − (x2Φ3 −x3Φ2)ρdσ.
V
σ
In virtù delle formule di Cauchy si ha che la (6.59) assume la forma
Ω ′′
1 = −
che dal Teorema di Gauss diventa
Ω ′′
1 = −
σ
∂
= −
V
[x2(Φ1,3α1 +Φ2,3α2 +Φ3,3α3)−x3(Φ1,2α1 +Φ2,2α2 +Φ3,2α3)]ρdσ.
σ
[(x2Φ1,3 −x3Φ1,2)α1 +(x2Φ2,3 −x3Φ2,2)α2 +(x2Φ3,3 −x3Φ3,2)α3]ρdσ
(x2Φ1,3 −x3Φ1,2)+
∂x1
∂
∂x2
+ ∂
(x2Φ3,3 −x3Φ3,2) ρdv
∂x3
∂Φ1,3
= − x2 +
V ∂x1
∂Φ2,3
+
∂x2
∂Φ3,3
∂x3
∂Φ1,2
−x3 +
∂x1
∂Φ2,2
+
∂x2
∂Φ3,2
−Φ3,2
∂x3
= − [(x2F3 −x3F2)ρ+Φ2,3 −Φ3,2]ρdv
V
(x2Φ2,3 −x3Φ2,2)+
+Φ2,3+
ρdv

154 6 Cenni di meccanica dei continui deformabili
in virtù delle equazioni indefinite dell’equilibrio. Quindi si conclude che
Ω1 =
(Φ2,3 −Φ3,2)ρdv
V
e dovendo essere Ω1 = 0 per ogni possibile scelta del volume V segue che
Analogamente segue che
Φ2,3 = Φ3,2.
Φ1,3 = Φ3,1 e Φ1,2 = Φ2,1
completando la dimostrazione.
Le equazioni indefinite (6.55, 6.56, 6.57) e le (6.58) non bastano da sole per lo studio dell’equilibrio
di un continuo deformabile, ma occorrono anche le cosiddette condizioni al contorno. Queste ultime
si ottengono osservando che, per l’equilibrio, la forza superficiale esterna Ψ assegnata e gli sforzi
specifici esercitati dal corpo sulla faccia interna della superficie di contorno σ devono avere vettore
risultante nullo, ossia essere Φ = −Ψ, cioè, per le (6.50),
Φ1,1α1 +Φ2,1α2 +Φ3,1α3 = −Ψ1; (6.60)
Φ1,2α1 +Φ2,2α2 +Φ3,2α3 = −Ψ2; (6.61)
Φ1,2α1 +Φ2,2α2 +Φ3,2α3 = −Ψ2. (6.62)
Le equazioni (6.55), (6.56), (6.57) e (6.58) devono essere verificate per ogni punto del corpo mentre
le (6.60), (6.61) e (6.62) devono essere verificate per ogni punto della superficie.
6.3.5 Le equazioni costitutive
Le considerazioni fin qui svolte valgono per un qualunque continuo deformabile e proprio per questa
loro generalità il problema dell’equilibrio è ancora indeterminato. In realtà non si sono fatte ancora
intervenire le proprietà fisiche e strutturali del corpo che distinguono un corpo elastico da un fluido,
ad esempio; occorre cioè assegnare le equazioni costitutive, che ovviamente variano da tipo a tipo
di corpo deformabile. In particolare i fluidi perfetti (liquidi e gas non viscosi) sono caratterizzati
dalla proprietà che lo sforzo Φdσ su un elemento di superficie dσ qualsiasi all’interno del fluido è
sempre normale a dσ stesso. In altre parole in un fluido perfetto non esistono sforzi di taglio,
quindi rispetto a un qualsiasi sistema di assi è sempre
Φ1,2 = Φ2,3 = Φ3,1 = 0. (6.63)
Ciò significa che qualunque sistema di assi è un sistema di assi principali per la quadrica associato
allo stress, cioè tale quadrica è una sfera. Inoltre, affinchè poi l’equazione
rappresenti una sfera si deve avere
Φ1,1x 2 1 +Φ2,2x 2 2 +Φ3,3x 2 3 = 1
Φ1,1 = Φ2,2 = Φ3,3 = P.
Da ciò segue subito il principio di Pascal: in un fluido il valore ΦN dello sforzo specifico
(normale) su dσ è indipendente dall’orientazione di dσ; infatti è

ΦN = Φ· ˆ N = Φ1α1 +Φ2α2 +Φ3α3
= Φ1,1α 2 1 +Φ2,2α 2 2 +Φ3,3α 2 3 = P(α 2 1 +α 2 2 +α 2 3) = P.
6.3 Statica dei continui deformabili 155
P si chiama poi la pressione del fluido. Le equazioni indefinite dell’equilibrio dei fluidi perfetti
diventano
∂P
∂x1
= ρF1, ∂P
∂x2
= ρF2, ∂P
= ρF3 ossia ∇P = ρF.
∂x3

7
Esercizi tratti da prove d’esame
Esercizio 7.1: Nel piano (O;x,y), con y verticale ascendente, é mobile il sistema materiale pesante
costituito da un’asta rigida AB e da una lamina quadrata CDEF. La lamina quadrata é
omogenea, ha massa M e lato lungo 2L. L’asta ha massa m, lunghezza ℓ e densitá ρ(ξ) = c
ξ − 1
2ℓ 2
,
dove ξ indica la distanza del generico punto dell’asta dall’estremo A. La lamina CDEF é vincolata
in C e D a scorrere lungo l’asse x. L’asta AB é vincolata a scorrere in A lungo l’asse delle ordinate
ed in B é incernierata al punto medio del lato CF della lamina. Sul sistema agisce, altre alla forza
peso, una forza elastica dovuta ad una molla di costante di elasticitá k aventi estremi fissi in O e nel
punto C della lamina. L’unico parametro lagrangiano é l’angolo θ ∈ (−π,+π] che l’asta AB forma
con l’asse delle ordinate. In assenza di attrito si domanda:
A
O
y
θ
B
F
E
C D
1. La costante c che appare nella densitá dell’asta AB, le coordinate del suo baricentro rispetto
all’asta stessa ed il momento d’inerzia dell’asta rispetto all’asse passante per A e normale al
piano.
2. Il potenziale delle forze attive e l’energia cinetica.
3. Determinare le configurazioni di equilibrio e studiarne la stabilitá.
4. Ritrovareleconfigurazionidiequilibriofacendousodelleequazionicardinalidellastatica. Trovare
inoltre le reazioni vincolari in corrispondenza alle configurazioni d’equilibrio.
x

158 7 Esercizi tratti da prove d’esame
Esercizio 7.2: Nel piano (O;x,y), con y verticale ascendente, è mobile il sistema materiale costituito
da:
- un’asta AB non omogenea di lunghezza L, massa m e densità ρ(s) = c
s− 1
2L 2
, dove s è la
distanza del generico punto dell’asta dall’estremo A;
- un disco omogeneo, di raggio R, centro C e di massa M.
L’asta é appoggiata al punto M di coordinate (0,2R) e al disco come in figura; il disco è vincolato
a rotolare senza strisciare sull’asse x e tra l’asta ed il disco c’é il vincolo di puro rotolamento.
Oltre alla forza peso agisce: una forza elastica dovuta ad una molla di costante k aventi un estremo
in C e l’altro estremo nella proiezione H di C sull’asse y; una forza costante applicata nell’estremo
B dell’asta e di vettore costante Fî, F > 0.
Il sistema è a un grado di libertà e come parametro lagrangiano si assume la coordinata x > 0 del
punto C, centro del disco.
A
y
M
H
O
In assenza di attrito in M si domanda:
1. La costante c che compare nella espressione della densità dell’asta, il baricentro dell’asta ed il
momento d’inerzia dell’asta rispetto ad il suo baricentro.
2. Il potenziale delle forze attive e l’energia cinetica del sistema, scrivere le equazioni per l’equilibrio
del sistema.
3. Scrivere le equazioni cardinali della statica, in particolare ritrovare le equazioni per l’equilibrio già
determinate in 2..
4. Determinare le configurazioni di equilibrio e studiarne la stabilità.
5. Scrivere le equazioni cardinali della Dinamica.
C
B
F
x

7 Esercizi tratti da prove d’esame 159
Esercizio 7.3: Nel piano (O;x,y), con y verticale ascendente, é mobile il sistema materiale costituito
da:
- una lamina reattangolare rigida OABC aventi lati OA = ℓ e AB = 2ℓ e densitá ρ = m
ℓ 4ξη dove
(ξ,η) sono le coordinate del generico punto della lamina riferita alla lamina stessa (prendendo
come origine il punto O e asse ξ diretto lungo OA e asse η diretto lungo OC) ;
- un punto materiale P di massa 2m ed un punto Q di massa m.
La lamina ha asse fisso normale al piano (O;x,y) e passante per O; il punto P é vincolato a
scorrere lungo l’asta OC ed é collegato, tramite un filo flessibile, inestendibile, di massa trascurabile,
lunghezza L e passante per una carrucola di massa e dimensioni trascurabili fissata in C, al punto
Q. Sul sistema, oltre alla forza peso, una forza elastica applicata in C (C,−k(C −H)) dove H é la
proiezione di C sull’asse y; k é una costante positiva assegnata.
I parametri lagrangiani sono l’angolo θ ∈
0, 1
2π che l’asta OC forma con il semiasse positivo
delle ordinate e la distanza r > 0 tra il punto P e l’origine O.
y
θ r
In assenza di attrito si domanda:
H
O
P
A
1. La massa della lamina OABC e le coordinate del baricentro (ξ,η) rispetto alla lamina stessa.
2. Il momento d’inerzia della lamina rispetto all’asse passante per O e normale al piano (O;x,y). Il
momento d’inerzia della lamina rispetto all’asse passante per il baricentro G e normale al piano
(O;x,y).
3. Il potenziale delle forze attive e l’energia cinetica (assumendo che Q resti sempre sulla verticale
passante per C).
4. Determinare le configurazioni di equilibrio e studiarne la stabilitá in funzione del parametro
α = kℓ
mg .
5. Le equazioni cardinali della statica.
C
Q
B
x

160 7 Esercizi tratti da prove d’esame
Esercizio 7.4: Nel piano (O;x,y), con y verticale ascendente, é mobile il sistema materiale costituito
da:
- una squadra rigida AOB costituita da due aste rigide AO e OB saldate ad angolo retto;
- un punto materiale P di massa m.
L’asta AO ha lunghezza ℓ e densitá ρ(s) = m
ℓ 2s, dove s ∈ [0,ℓ] é la distanza del generico punto
dell’asta dall’estremo O. L’asta OB é omogenea, ha lunghezza 4ℓ e massa 2m. La squadra AOB ha
asse fisso normale al piano (O;x,y) e passante per O; il punto P é vincolato a scorrere lungo l’asta
OB. Sul sistema, oltre alla forza peso, sono applicate in P due forze elastiche (P,−k(P −O)), dove
O é l’origine del sistema di riferimento, e (P,−k(P −H)), dove H é la proiezione di P sull’asse x; k
é una costante positiva assegnata.
I parametri lagrangiani sono l’angolo θ ∈ [0,2π) che l’asta OB forma con il semiasse negativo e
la distanza ξ > 0 tra il punto P e l’origine O.
A
In assenza di attrito si domanda:
y
O H
θ
ξ
1. La massa dell’asta OA e la distanza del baricentro G1 dell’asta OA dall’estremo O. Il momento
d’inerzia dell’asta OA rispetto all’asse passante G1 e normale al piano (O;x,y).
2. Il potenziale e l’energia cinetica.
3. Le equazioni differenziali del moto.
4. Le equazioni cardinali della statica.
5. Escludendolemolleeassumendochesiaθ(t) = ωt,doveω éunacostanteassegnata,eξ(t) = ℓe −ct ,
dove c > 0 é una costante assegnata, determinare la velocitá del punto P al generico istante t.
P
B
x

7 Esercizi tratti da prove d’esame 161
Esercizio 7.5: Nel piano (O;x,y), con y verticale ascendente, é mobile il bi-pendolo costituito
da:
- un’asta rigida OA lunga 2ℓ e densitá ρ = m
[2ℓ] 3/2
√
ξ, dove ξ é la distanza del generico punto dell’asta
dall’estremo O;
- un’asta rigida AB omogenea, lunga ℓ e massa m.
L’asta OA ha asse fisso normale al piano (O;x,y) e passante per O ed é incernierata in A all’asta
AB. Sul sistema, oltre alla forza peso, agisce una forza elastica applicata in B (B,−k(B−H)), dove
H é la proiezione di B sull’asse x; k é una costante positiva assegnata.
I parametri lagrangiani sono l’angolo α che l’asta OA forma con il semiasse negativo delle ordinate
e l’angolo β che l’asta AB forma con la retta passante per B parallela al semiasse negativo delle
ordinate.
In assenza di attrito si domanda:
y
O H
α
A
1. La massa dell’asta OA e le coordinate del suo baricentro rispetto all’asta stessa.
2. Il momento d’inerzia dell’asta OA rispetto all’asse passante per il baricentro dell’asta e normale
al piano (O;x,y).
3. Il potenziale delle forze attive e l’energia cinetica.
4. Determinare la stabilitá della configurazione di equilibrio (α = 0,β = 0).
5. Il momento della quantitá di moto dell’asta AB rispetto al suo baricentro.
β
B
x

162 7 Esercizi tratti da prove d’esame
Esercizio 7.6: Nel piano (O;x,y), con y verticale ascendente, é mobile il sistema materiale rigido
costituito da un’asta rigida AB, omogenea, di massa m e lunghezza ℓ.
L’estremo B é vincolato a scorrere lungo l’asse (O;x), l’asta é inoltre appoggiata ad una semicirconferenza
di raggio R e centro O come in figura. Sul sistema, oltre alla forza peso, agisce una forza
elastica (A,−k(A−H)), dove H é la proiezione di A sull’asse verticale.
Il sistema é ad un grado di libertá e come parametro lagrangiano si sceglie la coordinata x del
punto B, x > 0.
In assenza di attrito si domanda:
H
1. Determinare le coordinate di A, del baricentro G dell’asta e del punto K di contatto tra l’asta e
la semicirconferenza in funzione del parametro lagrangiano x.
2. Il potenziale e l’energia cinetica.
3. Le equazioni differenziali del moto.
4. Le equazioni cardinali della statica.
5. Facendo uso delle equazioni cardinali della dinamica ritrovare il risultato in 3.
L. Domanda per la lode: Supponendo di eliminare la molla in A e assumendo la presenza di
attrito in B determinare le configurazioni di equilibrio del sistema.
y
O
A
K
B
x

7 Esercizi tratti da prove d’esame 163
Esercizio 7.7: Nel piano (O;x,y), con y verticale ascendente, è mobile il sistema materiale costituito
da:
- un’asta AC non omogenea di lunghezza L, massa m e densità ρ(s) = c √ s, dove s è la distanza
del generico punto dell’asta dall’estremo C;
- un disco omogeneo, di raggio R, centro C e di massa M.
Il disco é vincolato a rotolare senza strisciare lungo il semi-asse positivo delle ordinate, l’asta
é incernierata al disco in C e ha l’altro estremo A vincolato a scorrere senza attrito sull’asse delle
ascisse.
Oltre alla forza peso agisce una forza elastica dovuta ad una molla di costante k aventi un estremo
in A e l’altro estremo nel punto H(R,0).
Il sistema è a un grado di libertà e come parametro lagrangiano si assume l’angolo ψ =
HCA ∈
−1 2π,+1 2π. y
Ο
In assenza di attrito in A si domanda:
Η
Χ
ψ
1. La costante c che compare nella espressione della densità dell’asta, il baricentro dell’asta ed il
momento d’inerzia dell’asta rispetto ad il suo baricentro.
2. Il potenziale delle forze attive e l’energia cinetica del sistema.
3. Determinare le configurazioni di equilibrio e studiarne la stabilitá, disegnare il diagramma delle
biforcazioni.
4. Scrivere le equazioni cardinali della statica, in particolare ritrovare le equazioni per l’equilibrio già
determinate in 3..
5. Scrivere le equazioni cardinali della Dinamica.
Α
x

164 7 Esercizi tratti da prove d’esame
Esercizio 7.8: Nel piano (O;x,y), con y verticale ascendente, é mobile il sistema materiale
costituito da due aste AB e BC incernierate in B. Entrambe le aste hanno massa m e lunghezza ℓ,
l’asta BC é omogenea mentre l’asta AB ha densitá ρ(s) = cs 1/4 dove c é una costante positiva ed s
é la distanza del generico punto dell’asta dall’astremo A.
L’estremo A dell’asta AB é vincolato a scorere, come in figura, lungo l’asse verticale, gli estremi
B e C dell’asta BC sono vincolati a scorrere lungo un piano inclinato di φ = π/6 rispetto all’asse
orizzontale.
Sul sistema agisce solo la forza peso.
Il sistema é a un grado di libertá e come parametro lagrangiano si sceglie l’angolo θ ∈ [0,2π) che
l’asta AB forma con l’asse verticale discendente come in figura.
y
O
In assenza di attrito si domanda:
A
θ
φ
B
1. Determinare il valore della costante c, la distanza del baricentro G1 dell’asta AB dall’estremo A
dell’asta ed il momento d’inerzia dell’asta AB rispetto all’asse normale al piano e passante per il
suo baricentro.
2. Il potenziale e l’energia cinetica.
3. Determinare le configurazioni di equilibrio e studiarne la stabilitá.
4. Scrivere le equazioni cardinali della statica.
5. Mediante le equazioni cardinali della statica trovate in 4., ritrovare le configurazioni di equilibrio
giá trovate in 3. e determinare le reazioni vincolari in corrispondenza a tali configurazioni di
equilibrio.
C
x

7 Esercizi tratti da prove d’esame 165
Esercizio 7.9: Nel piano (O;x,y), con y verticale ascendente, é mobile il sistema materiale rigido
costituito da:
- un’asta rigida AB, omogenea, lunga 2ℓ, massa m;
- un’asta rigida CD, lunga ℓ e densitá ρ(ξ) = m
l2
ξ − 1
2ℓ
, dove ξ é la distanza del generico punto
dell’asta da C.
Le due aste sono saldate ad angolo retto come in figura (l’estremo D dell’asta ’e saldato all’asta
AB nel suo punto medio).
L’astaAB haestremoAfissoascorrerelungol’assey,l’astaCD haestremoC vincolatoascorrere
lungo l’asse x.
Sul sistema, oltre alla forza peso, agisce una forza elastica dovuta ad una molla, che collega
l’estremo C dell’asta all’origine, di costante di elasticitá k, costante positiva assegnata.
Il sistema é a un grado di libertá e come parametro lagrangiano si sceglie l’angolo θ ∈ [−π,π) che
l’asta AB forma con l’asse positivo delle ordinate.
A
O
In assenza di attrito si domanda:
y
θ
C
D
1. La massa dell’asta CD e la distanza del baricentro G1 dell’asta CD dall’estremo C. Il momento
d’inerzia dell’asta CD rispetto all’asse passante C e normale al piano (O;x,y).
2. Il baricentro dell’intero sistema rispetto al riferimento (O;x,y);
3. Il potenziale e l’energia cinetica.
4. Le equazioni differenziali del moto.
5. Le equazioni cardinali della statica.
B
x

166 7 Esercizi tratti da prove d’esame
Esercizio 7.10: Nel piano (O;x,y), con y verticale ascendente, é mobile un’asta rigida AB lunga
ℓ, massa m e densitá ρ(ξ) = csin
ξπ
dove ξ é la distanza del generico punto P da A.
2ℓ
L’asta AB é vincolata a scorrere in A lungo l’asse delle ordinate ed in B lungo la parabola di
equazione y = x2 /ℓ. Sul sistema agisce solo la forza peso e l’unico parametro lagrangiano é l’angolo
θ che l’asta forma con l’asse delle ordinate.
y
OO
In assenza di attrito si domanda:
θ
A
1. La costante c che appare nella densitá dell’asta AB e le coordinate del suo baricentro rispetto
all’asta stessa.
2. Il momento d’inerzia dell’asta AB rispetto all’asse passante per il baricentro dell’asta e normale
al piano (O;x,y).
3. Il potenziale delle forze attive e l’energia cinetica.
4. Determinare le configurazioni di equilibrio e studiarne la stabilitá.
5. Ritrovare le configurazioni di equilibrio facendo uso delle equazioni cardinali della statica.
B
x

7 Esercizi tratti da prove d’esame 167
Esercizio 7.11: Nel piano (O;x,y), con y verticale ascendente, é mobile il sistema materiale
rigido costituito da:
- un’asta rigida AB, lunga ℓ e densitá ρ(ξ) = m
ℓ 3ξ 2 , dove ξ é la distanza del generico punto dell’asta
da A;
- un punto P di massa µ.
L’estremo A é vincolato a scorrere lungo l’asse (O;y) e l’estremo B lungo l’asse (O;x). Sul
sistema, oltre alla forza peso, agisce una forza elastica (B,−k(B−O)), dove O é l’origine del sistema
diriferimentoek éunacostantepositivaassegnata. IlpuntoP éappesolungol’assedelleordinatead
un filo flessibile, inestendile e massa trascurabile, passante per una carrucola (di massa e dimensioni
trascurabili) posta in O e avente l’altro capo collegato nell’estremo B dell’asta.
Il sistema é ad un grado di libertá e come parametro lagrangiano si sceglie l’angolo θ ∈
0, 1
2π che l’asta AB forma con il semiasse positivo delle ordinate.
In assenza di attrito si domanda:
A
O
P
y
θ
1. La massa dell’asta AB e la distanza del baricentro G dell’asta dall’estremo A. Il momento
d’inerzia dell’asta rispetto all’asse passante per A e normale al piano (O;x,y).
2. Il potenziale e l’energia cinetica.
3. Le equazioni differenziali del moto.
4. Le equazioni cardinali della statica.
5. Facendo uso delle equazioni cardinali della dinamica ritrovare il risultato in 3.
B
x

168 7 Esercizi tratti da prove d’esame
Esercizio 7.12: Nel piano (O;x,y), con y verticale ascendente, é mobile il sistema materiale
pesante costituito da un’asta rigida CE e da una lamina quadrata ABCD.
La lamina quadrata é omogenea, ha massa M e lato lungo L. L’asta é omogenea, ha massa m e
lunghezza ℓ, ℓ > √ 2L.
La lamina ABCD ha un asse fisso passante per A ≡ O. L’asta CE é vincolata a scorrere in E
lungo l’asse delle ascisse ed in C é incernierata al vertice C della lamina.
Sul sistema agisce, altre alla forza peso, una forza elastica dovuta ad una molla di costante di
elasticitá k aventi estremi fissi in O e nell’estremo E dell’asta. L’unico parametro lagrangiano é
l’angolo θ ∈ (−π,+π] che la diagonale AC forma con l’asse delle ascisse.
O=A
In assenza di attrito si domanda:
D
y
θ
C
B
1. Il potenziale delle forze attive e l’energia cinetica.
2. Determinare le configurazioni di equilibrio e studiarne la stabilitá; fissato in modo opportuno un
parametro adimensionale disegnare il diagramma della biforcazioni.
3. Ritrovareleconfigurazionidiequilibriofacendousodelleequazionicardinalidellastatica. Trovare
inoltre le reazioni vincolari in corrispondenza alle configurazioni d’equilibrio.
4. Scrivere le equazioni cardinali della dinamica.
E
x

A
Appendice
A.1 Cenni sull’attrazione Newtoniana
A.1.1 Potenziale
Dati due punti materiali P e Q un osservatore inerziale misura su questi, in virtù del III◦ principio
di Newton, due forze uguali ed opposte e dirette lungo la congiungente, che si esercitano, rispettivamente,
sopra P e sopra Q. È utile considerarne una sola, per es. quella risentita dal punto P;
diremo quindi Q punto (o massa) potenziante e P punto potenziato. L’attrazione Newtoniana
esercitata da Q, riguardata come dipendente dalla posizione di P e pensando Q fisso, ha intensità che
vale f mm1
r2 ed è diretta verso Q, dove f è la costante (positiva) di attrazione universale, m, m1 sono
le masse gravitazionali dei due punti e r la loro distanza. Pertanto risulta essere una forza centrale
(pensando Q fisso) e quindi conservativa. Il potenziale è, a meno di una costante additiva,
U = f mm1
.
r
Ingenerale,considerandoilpuntoP comepuntopotenziato,supponiamovisiaunnumeroqualsiasi
di punti potenzianti Qi. Prescindendo dalla massa m di P, chiameremo potenziale Newtoniano
la funzione
U = f
i
mi
|P −Qi|
(A.1)
La U, considerata come funzione delle coordinate x,y,z del punto P, è finita e continua per tutti
i punti dello spazio, fatta soltanto eccezione per i punti potenzianti Qi.
Un breve calcolo prova che:
e
∂ 1
ri
∂x = ∂[(x−xi) 2 +(y −yi) 2 +(z −zi) 2 ] −1/2
∂x
= − 1 2(x−xi)
2[(x−xi)
2 +(y −yi) 2 +(z −zi) 2 = −x−xi ,
] 3/2
2 1 ∂ ri 1
= −
∂x2 r3 i
+ 3 (x−xi) 2
r 5 i
r 3 i

170 A Appendice
e quindi si osserva che
∆U = ∂2U ∂x2 + ∂2U ∂y2 + ∂2U = 0,
∂z2 cioé U è una funzione armonica.
Nel caso di masse potenzianti continue di densità µ e occupanti il volume S avremo che per ogni
punto potenziato P, esterno al campo S occupato dalle potenzianti, le componenti dell’attrazione
sono ancora date dalle derivate del potenziale U, che ha l’espressione
U = f
S
µ
r dS.
Tale potenziale, come funzione delle coordinate x,y,z di P, è finito, continuo e derivabile a piacere.
In particolare vale la regola di derivazione sotto il segno di integrale:
∂U
∂x
Derivando ulteriormente si verifica che:
∆U = f
= f
S
S
µ∆
µ ∂1
r
∂x dS.
1
dS = 0.
r
Notiamo che, a differenza del caso di un numero finito di punti potenzianti, il caso di masse
distribuite con continuità ammette, per il potenziale e per le sue derivate, che il punto potenziato
P si avvicini al campo o, addiritura, lo penetri. Consideriamo anzitutto il potenziale di una
distribuzione di materia a tre dimensioni U = U(x,y,z); se il punto P(x,y,z) va a sovrapporsi, o
tende, ad un punto Q(x,y,z) del corpo la funzione integranda diventa infinita, ma poiché il suo
ordine di infinito è 1 allora essa si mantiene integrabile e il potenziale U risulta finito e continuo,
insieme alla sua derivata prima, non soltanto fuori dalla massa potenziante ma anche sul
contorno e all’interno. Nel caso di una distribuzione della materia a due dimensioni allora il
potenziale U(x,y,z) è finito e continuo per ogni punto potenziato P. Infine nel caso di distribuzione
lineare della materia l’integrale U = f
ℓ dℓ diventa infinito sulla linea potenziante ℓ.
A.1.2 Attrazione di una superficie sferica σ omogenea
µ
r
L’attrazione complessiva di una superficie sferica omogenea è nulla in tutti i punti P
interni alla sfera. Quindi in tutto lo spazio interno a σ (dove l’attrazione è nulla) il potenziale
µ
U(x,y,z) = f
σ r dσ
ha un valore costante, dove µ = m
|σ|
= m
4πR 2 è la densità della superficie sferica; per determinare tale
valore basterà calcolarlo per un punto particolare, scelto a piacere, e converrà scegliere il centro della
sfera in cui r = R è costante, dove R è il raggio della sfera. Risulta quindi U = f m
R .
Nel caso di un punto potenziato esterno alla sfera distante ρ > R dal centro O avremo che:
U = f m,
cioé una superfice sferica omogenea agisce sui punti esterni come se tutta la massa fosse
ρ
raccolta nel centro.

A.1.3 Attrazione di una corona sferica omogenea di raggi R1 ed R2 (R1 > R2 ≥ 0)
A.1 Cenni sull’attrazione Newtoniana 171
Noi possiamo pensare di realizzare la corona mediante corone sferiche comprese tra i raggi ρ e ρ+dρ.
Utilizzando i risultati già trovati per la superficie sferica omogenea segue che nei punti interni alla
cavità l’attrazione è nulla ed il potenziale è costante dentro la cavità e vale
U = 4πf
R1
R2
µsds = 2πfµ(R 2 1 −R 2 2) dove µ =
m
4π(R 3 1 −R 3 2)/3
è la densità della corona sferica.
Nel caso di punto potenziato esterno alla corona, ρ > R1, poiché ogni elemento della massa
potenzianteagiscesulpuntocomeselarelativamassafossetuttaraccoltainO,seguecheilpotenziale
avrà ancora l’espressione U = f m dove m sta a designare la massa totale della corona.
ρ
Consideriamo infine un punto potenziato interno alla corona potenziante R2 ≤ ρ ≤ R1. Il
potenziale si può calcolare approfittando della circostanza che per ogni distribuzione di volume, il
potenziale e le sue derivate prime si mantengono ovunque funzioni finite e continue (malgrado
la singolarità della funzione integrando sotto il segno di integrale per P interno alla corona). Il
potenziale si può riguardare come somma di due contributi, uno dovuto alla corona interna e l’altro
dovuto alla corona esterna:
R1
U = 4πf µsds+
ρ
4πf
ρ
µs
ρ R2
2
2 R1 ρ2
ds = 4πfµ −
2 6 − R3
2
3ρ
= 3fm
R3 1 −R3
2 R1 ρ2
−
2 2 6 − R3
2
.
3ρ
Le superficie equipotenziali sono sfere concentriche e le linee di forza sono i relativi raggi, così
l’attrazione è una forza centrale che ha O per centro di forza. La componente radiale φ della forza
è data da dU
dρ :
φ = dU
dρ =
⎧
⎪⎨
0 0 ≤ ρ ≤ R2
−
⎪⎩
fm
ρ2 ρ3−R3 2
R3 1−R3 R2 ≤ ρ ≤ R1
2
− fm
ρ2 . (A.2)
ρ > R1
Si noti che, anche all’interno della corona potenziante, l’attrazione è sempre diretta verso
il centro.
Il caso della attrazione dovuta ad una sfera piena e omogenea rientra nel caso appena studiato
ove si ponga R2 = 0.