Ruote dentate - Corsi di Laurea a Distanza - Politecnico di Torino

Politecnico di Torino 

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RUOTE DENTATE 

Elementi Costruttivi delle Macchine 

Dispense integrative sulle ruote 

dentate 

Le trasmissioni mediante ruote dentate grazie alle notevoli forze “normali” alle superfici 

(coniugate) in contatto possono trasmettere potenze rilevanti. Disposizione assi e 

corrispondenti primitive: 

— Assi paralleli: prim. cilindri (circolari, τ costante) – denti dritti o elicoidali 

— Assi incidenti: prim. coniche – denti dritti o elicoidali 

— Assi sghembi: prim. iperboloidi: realizzate mediante coppie coniche ipoidi 

CONCETTI FONDAMENTALI studio geom. e calcolo resistenza esposti con riferimento a 

RUOTE DENTATE CILINDRICHE; moto piano (traiettorie tutti i punti sistema su piani // ). 

Date 2 polari pa – pb, assegnato a piacere profilo “a” solidale a pa, si ricava un profilo “b”, 

solid. pb, coniug. con “a”. 

Accoppiando ora la polare pa ad una pc “a” definisce “c” solidale a pc. Infine accoppiando 

“b” e “c” (conservando come polari pb e pc) essi risultano CONIUGATI [Proprietà 

TRANSITIVA PROFILATI CONIUGATI]: qui utile perché uno stesso utensile può costruire 

serie di profili, tutti coniugati fra di loro. Profili quasi esclusivamente usati AD EVOLVENTE 

(di cerchio) 

In riferimento a EVOLVENTE DI CERCHIO, dalla propr. prec. E per differenza, PQ 1 2 = EE 1 2 

(passo su normale a profili = passo su circonferenza base). Sempre da figura sottostante, 

posto EOE 2 2 = ϕ. 

Essendo: QOE 

2 2 = QOE 1 1, 

anche QOQ 2 1 = ϕ; 

POE 

2 2 = POE 1 1 , POP 2 1 = ϕ. 

Quindi: PP 2 1= rϕ p ; QQ 2 1 = rϕ q ; EE 2 1 = ρϕ ossia: PP r 

2 1 p PP r 

2 1 p 

= , = ; ed anche (essendo 

QQ r EE ρ 

EE 

1 2 = PQ 1 2 ): 

© Politecnico di Torino Pagina 1 di 19 

Data ultima revisione 26/11/03 Autore: Giovanni Roccati 

PP r 

1 2 p 

= . 

PQ ρ 

1 2 

2 1 

q 

2 1


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RUOTE DI SERIE ~ INGRANAMENTO NORMALE 




Simbologia pedici: o condizioni di taglio; 1 rel. a ruota con numero denti Z1 minore; 2 rel. a 

ruota Z2. 

Raggi primitivi di taglio R01, R02 angolo di pressione α0 normalizzato (20°). 

Raggi cerchi fondamentali ñ1=R01cosα0; ñ2=R02cosα0. Interasse esatto i0 = R01 + R02. 


Data ultima revisione 26/11/03 Autore: Giovanni Roccati


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Segmento T1T2 della retta tangente ai due cerchi fondamentali “luogo” contatti corretti. 

Segmento effettivo AB (vedi figura) 

VANTAGGI USO PROFILI CONIUGATI AD EVOLVENTE DI CERCHIO: 

1. Tecnologico: facilmente realizzabile, come inviluppo delle posizioni di una retta 

(solidale alla retta primitiva e formante con essa l’angolo π/2 -α0) rotolante sul 

cerchio primitivo di raggio R0, ottenendo per inviluppo l’evolvente del cerchio di 

raggio ñ = R0cosα: il coltello utensile può perciò avere fianchi rettilinei. 




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2. Funzionale: Un lieve errore di interasse non pregiudica regolarità trasmissione 

del moto: i > i0 = R01 + R02. E’ possibile trovare comunque una tangente comune 

ai cerchi fondamentali (invariati) che taglia retta O1O2 nel nuovo C. Dalla figura 

⎛ ρ ⎞ ⎛ 1 ρ ⎞ ( R 2 

01+ R02) 

cosα0 

i= R + R = 1 2 ⎜ + = 

⎜ 

⎟ 

cos( α) ⎟ 

⎜ 

⎟ 

cos( α) ⎟ 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ cosα 

da cui: 

( R01+ R02) 

cosα0 

ρ1 

cosα 

= ; R1 

= ; R2 

i 

cos α 

ρ2 

= . 

cos α 



( ) 

Altra determinazione di R1 e R2: in un tempo T in C passa un egual numero di denti 

delle due ruote: z1ω1T= z2ω2T → z1ω1= z2ω2; 

ma è anche, per defin. ω1R1 = ω2R2; 

R1 ω1 

Z 

⎛Z ⎞ ⎛ 1 

1 Z ⎞ 2 

= = ; i= R1 + R2= R2⎜ + 1⎟= R1⎜1+ 

⎟ 

R2 ω2 

Z 

Z 2 

⎝ 2 ⎠ ⎝ Z1 

⎠ da cui R2 i⋅Z2 i⋅Z1 = ; R1 

= . 

Z2 + Z1 Z2 + Z1 

Vale sempre ñ = R0·cosα0 = R·cosα, da cui m·cosα = m0·cosα0 

Evolvente in coordinate polari 

OP = r, θ = arcos(ñ / r) 

TP = TE = ρtanϑ TQ = ρϑ 

ϕ= QE / ρ= tanϑ− 

ϑ= invϑ 

r →ϑ→ ϕ 

( )


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Relazioni tra spessori circonferenziali S, S* ai raggi r, r* 

S* S 

Ψ= + 2 ϕ* = + 2ϕ 

r* r 

S S* 

= + 2 * − 

r r* 

( invϑ invϑ) 




CONDIZIONE DI CORRETTO INGRANAMENT, SENZA GIOCO NE INTERFERENZA: 

rappresentata nella figura sottostante: “d” retta di contatto fianchi destri, “S” sinistri. SD 2 2 

ampiezza vano V2 su primitiva R2; SD 1 1 (ampiezza) spessore dente S1 su R1. 

Quando contatto fianchi destri era in C Nd, D2, D1 coincidevano in C; per definizione di 

primitive CD 

2 = CD1. 

Analogamente quando contatto fianchi sinistri sarà in C, NS, S2, S1 

coincideranno con C Archi CS 

2 = CD2. 

Quindi SD 

2 2 = V2 = SD 1 1 = S1 

ma V2 = πm – S2 

(passo – spessore primitiva con raggio R2) 

CONDIZIONE DIVIENE: S1+S2 = πm 




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Procedimento di taglio considerato: per inviluppo, con dentiera tipo Sunderland: 

1 a fase moto di taglio // asse ruota e avanzamento radiale coltello, pezzo immobile 

2 a fase generazione per inviluppo: moto taglio come prima, moti di generazione 

traslazione laterale coltello, rotazione pezzo, riproducendo moto di dentiera ingranante con 

ruota che sarà finita. 




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Raggio primitivo R0i UNIVOCAMENTE DEFINITO!!! INFATTI: passo dentiera πm0 = passo 

zm i 0 

primitivo di taglio ruota 2πR0i 

= ziπm0 → R0i 

= . 

2 

Se accostamento termina quando la LINEA DI RIFERIMENTO coincide con la linea 

primitiva della dentiera (tangente alla circonferenza di raggio R0i): ruote di serie! Se linea di 

riferimento linea primitiva, ruote a profili spostati: 

π 

S0i= m0 

Perché durante taglio in condizioni di corretto ingranamento reale. 

2 

Spostamento profili modifica dente perché: per x positivo dà aumento spessore dente, 

utilizza come fianchi del dente archi diversi della stessa evolvente (ñ non muta). Raggi di 

piede: serie Rp1 = R01 – 1.25m0. 




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I raggi primitivi di taglio R01, R02 possono anche essere raggi di lavoro delle due ruote 

accoppiate: SI se S01 e S02 rispettano la condizione di corretto ingranamento. Cioè se è: 

⎛π π 

2x tanα ⎞ 

m 

⎛ 

2x tanα 

⎞ 

⎜ + + + m = πm 

1 0 0 2 0 0 0 

2 

⎟ ⎜ 

2 

⎟ , e quindi per x1 + x2 = 0. Verifica automatica 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 

mentre per ruote di serie (x1 = x2 = 0) e quando x2 = - x1. Allora R1 = R01, R2 = R02, α=α0. 

Se invece x1 + x2 0: R1 R01, R2 R02, α α0 il problema effettivo del progetto (trovare 

i= R1+ R2) 

si risolve determinando dapprima α mediante la condizione di corretto 

ingranamento ideale. 

S 

r 

S* 

r* 

2 * 

⎡S⎤ 01 

r* = R01,* s = S01, ϑ* = α0 

ricavo S1 = R1 ⎢ + 2 ( invα0 −invα) 

R 

⎥ 

⎣ 01 

⎦ 

Zm⎡ 

1 ⎛π⎞ 2 

S1 = 2 1tan 0 0 

2 

⎢⎜ + x α m 

2 

⎟ 

⎣⎝ ⎠ Zm 1 0 

⎤ 

+ 2( 

invα0 −invα) 

⎥ 

⎦ 

⎡⎛π⎞ ⎤ 

S1 = m⎢⎜ + 2x1tanα0⎟+ Z 1( invα0−invα) 2 

⎥ 

⎣⎝ ⎠ 

⎦ 

Dalla = + ( invϑ − invϑ) 

, riscritta considerando r R ( s s ϑ α) 

Con analoghi ragionamenti per la ruota 2: 

⎡⎛π⎞ ⎤ 

S2 = m⎢⎜ + 2x2 tanα0⎟+ 

Z 2( invα0−invα) 2 

⎥ 

⎣⎝ ⎠ 

⎦ 

La condizione S1 + S2 = πm porta a scrivere: 

( ) ( ) ( ) 

⎡mπ+ 2 x + x tan α+ Z + Z ⋅ invα − invα ⎤ = πm 

⎣ 1 2 1 2 0 ⎦ 

x1+ x2 

da cui invα= invα 

+ 2 tanα 

Z + Z 

0 0 

1 2 



= = = ; 

1 1 , 

NOTI X1, X2, α0, Z1, Z2 si ricava inv(α). Noto inv(α), per intersezione con il diagramma 

della funzione α 

Noti R01, ñ1 = R01cosα0 R1 = ñ1 / cosα, analog. R2 = ñ2 / cosα; m = m0cosα0 / cosα; 

i=R1+R2 

In fase di taglio definiti i raggi di piede Rp1, Rp2; volendo un gioco radiale g (normalmente 

0,25 m0) fra testa di un dente e piede del dente della ruota coniugata si dovrà considerare 

la relazione: i= Rp1+ g + Rt2 = Rp2 + g+ Rt1; 

da cui Rt1 = i −g− Rp2; Rt2 = i −g − 

Rp1.


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Zona di contatto singolo: A’B’: quando contatto BA’, altra coppia in presa B’A. RAPPORTO 

DI CONDOTTA åα arco d’azione (di cui ruota un punto solidale ad una delle primitive nel 

tempo in cui si mantiene in presa una coppia di denti: IF ) / passo : 

IF 

AB 1 AB 

εα 

= = ⋅ = quindi anche segmento di ingranamento AB / passo su 

πm cosαπm πm0cosα0 fondamentale. Passo fondamentale: concettualmente πmcosα= πm0cosα0, ma è più 

giusto per limitare effetto errori arrotond. Calcoli usare πm0 cosα 

0 (grandezze assegnate in 

partenza) 

STRISCIAMENTI SPECIFICI: 




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Nel tempo dt il contatto si sposta sui profili coniugati di quantità ( ) ds1 = v1dt; ds2 = v2dt; v1 

componente tangente al profilo, a retta di pressione della velocità totale V1 del punto P, 

pensato appartenere alla ruota 1; V2, analoga quant., pensando punto appartenente a 

ruota 2. Si definiscono gli strisciamenti specif. Ks1 = (ds1 – ds2) / ds1; Ks2 = (ds2 – ds1) / ds2. 

Numeratore: se si fosse in condii. attrito secco proporzionale a lavoro perduto; 

denominatore a superficie di profilo interessata. Ks1, Ks2 funzione di posiz. P(P1, P2) 

valutata mediante ascissa ä, origine in C, positiva verso T2. 

ds1 −ds2 V1 −V2 

Ks1 

= = ; 

1 1 1 1 1 1 1 1 

ds V 

cos 

V ωOP γ ωTP 

= = ; V2 = ω2OP 2 2 cosγ2 

= ω2TP 

2 2; 

1 1 1 sin 

1 1 

TP R α δ 

= + ; 2 2 2 sin 

TP = R α− δ; 

K 

s1 

ma 

⎛ ω ⎞ 2 ωδ 1 ⎜1+ ⎟ 

ωR sinα−ωδ − ω R sinα+ 

ωδ ω 

1 1 1 2 2 2 

1 

= = 

⎝ ⎠ 

ω α δ ω α δ 

( R sin + ) ( R sin + ) 

1 1 1 1 

ω Z 

⎛ Z ⎞ 1 δ ⎜1+ ⎟ 

Z 

ω α δ 

2 1 

2 

= → Ks1 

= 

⎝ ⎠ 

1 Z2 R1 

Analogamente K 

s2 

Diagramma funzioni KS 

Punti T1 C T2 

KS1 0 1 

KS2 1 0 

= 

( sin + ) 

⎛ Z ⎞ 2 − δ ⎜1+ ⎟ 

Z 

⎝ 1 ⎠ 

( R sinα−δ) 

Valori di effettivo interesse: 

nell’intervallo AB 

2 



CONDIZ. TAGLIO 


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Poniamoci in condizioni limite: troncatura esterna della dentiera utensile (linea parallela a 

linea di riferimento passanti per estremi del tratto rettilineo del fianco del coltello) passanti 

per T1, e distanti K’m0 da linea primitiva della dentiera utensile. Si osservi la figura: è 

2 

m 

⎛Z 0 

1sin α ⎞ 0 

HC = Km ' 0 = TO 1 sinα0; 

ma TC 1 = OC 1 sinα0 = Z1 

sinα0 

e quindi: K'm0 = ⎜ ⎟m0, 

2 

⎝ 2 ⎠ 

2K' per cui è (condizione limite) Z1 

= . 2 

sin α0 

2 

Per ruote di serie: K'=1→ 

Z1min 

= ed essendo α0=20°, Z1 17 (17.09726). Volendo 

2 

sin α 



0 

comunque tagliare ruote con z1 < z1minserie 

, senza interferenza al piede del dente, da 

Z 

2K' sin α 

= , ricavo ' ( 1 ) 

1 2 

0 

2 

sin α0 

z1 

z1 

K = − X1 = Z1 

= e quindi X1 

= 1− 

. 

2 z1minserie 

z1minserie 

SCELTA COEFFICIENTI SPOSTAMENTO X1, X2 

PRESCRIZIONI: Verifica norme DIN (Giovannozzi, COSTRUZIONI DI MACCHINE, Vol II, 

Cap. I).. 

Diagrammi di Henriot (testo Trattato Teorico e pratico degli Ingranaggi). 

zi 

Formule Merrit (BSS) ( ziv 

= ) : 

3 

cos β


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X1 X2 

1) Z1v + Z2V < 60 0.02(30 – Z1V) 0.02(30 – Z2V) 

2) Z1v + Z2V 60 Maggiore fra: 

0.02(30 – Z1V) 

0.02(30 – Z1V) 0.02(30 – Z1V) 

X2 = - X1 

3) Pignone ruota dent. Int. 0.4 0.4 

SUGGERIMENTI: Nuove norme DIN (Niemann-Winter, Elementi di macchine, Vol II, 

Dubbel Manuale di Ingegneria Meccanica). 

Z2V − Z1V Z1V 

Documenti ISO: X1= λ + ( ∑ X) 

; X2 = ∑ X − X1; 

0.5 ≤λ≤ .75. 

Z + Z Z + Z 

2V 1V 2V 1V 

Parametri di Almen (pH, pressione Hertziana da N / mm 2 ), vs velocità strisc. m/s, ämin) 

pHvs pHvsä 

220 – 660 Ingranaggi normali, olio normale 550 – 8250 

880 – 1100 Ingranaggi con correzione profili, olio spec. 11000 – 16500 

1300 Limite superiore 22000 




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APPUNTI SUI CRITERI DI VERIFICA DELLE DIMENSIONI DEGLI INGRANAGGI 

1 INTRODUZIONE 

Le modalità di danneggiamento, e quindi le cause di ritiro dal servizio degli ingranaggi, a 

seconda delle applicazioni specifiche e delle qualità dei materiali con cui sono fabbricati gli 

ingranaggi sono diverse: si possono avere: 

- raramente, per ingranaggi sollecitati da momenti di valore fortemente variabile, 

danneggiamento per deformazione permanente o rottura del dente, sollecitato 

staticamente a flessione dalla forza trasmessa tra i denti; 

- più spesso, per ingranaggi in materiale molto duro, soprattutto in corrispondenza 

dei fianchi dei denti, e con basso limite di fatica, rotture per fatica causate dalle 

sollecitazioni di flessione al piede del dente; 

- se il materiale resiste bene a fatica, ed ha durezza dei fianchi non elevata, si può 

avere usura dei fianchi dei denti, e quindi alterazione del profilo, variazione del 

rapporto di trasmissione e trasmissione con urti ed irregolarità nella trasmissione 

del moto che obbligano a mettere fuori servizio l’ingranaggio; 

- si possono inoltre avere fenomeni di microsaldatura (grippaggio), a caldo ed a 

freddo. 

Studi ampi e ben collaudati, che hanno anche portato alla redazione di normative sui criteri 

di verifica delle dimensioni degli ingranaggi, sono stati da tempo condotti sulle 

sollecitazioni a flessione e ad usura ed alcune molto concise informazioni su tali calcoli 

sono riportate qui di seguito. 

2 IL CALCOLO A FLESSIONE TRADIZIONALE (attribuito a LEWIS) 

2.1 Stato di sollecitazione 

La figura 1 illustra il pignone nella posizione di calcolo secondo questo metodo 

tradizionale: il dente si trova nella posizione in cui il contatto avviene in corrispondenza del 

raggio di roncatura esterna (è cioè in corrispondenza dell’estremo A del segmento di 

ingranamento effettivo); si immagina inoltre, cautelativamente, che tutta la forza F 

scambiata fra le due ruote lungo la retta di pressione (F = Ft / cosα) sia applicata in A, 

trascurando il fatto che in effetti tale forza dovrebbe essere ripartita tra i due contatti 

contemporanei (in A ed A’). 

Nella figura 1 si è indicato con H il punto di intersezione fra la retta d’azione della forza F 

(tangente alle circonferenze fondamentali delle due ruote ingrananti) e l’asse di simmetria 

del dente. Si trasporti la forza F lungo la retta di pressione fino ad applicarla in H e la si 

scomponga, come indicato nella figura 2, nelle due componenti: 

- T, trasversale: T = F cosγ ; 

- N, normale : N = F sinγ ; 




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La componente normale N viene trascurata, mentre, introdotta una ascissa “z”, lungo 

l’asse di simmetria del dente, con origine nel punto H, e detti “c(z)” lo spessore cordale 

dell’ascissa generica “z”, e “b” la lunghezza in senso assiale del dente, momento flettente 

Mf, modulo di resistenza a flessione Wf, e tensione massima di flessione óf relative alla 

sezione di ascissa generica “z” valgono rispettivamente: 

Mf = T·z; Wf = b·[c(z)] 2 / 6; 

M f 6Tz 

σ f = = 

Wf b⎡⎣c z ⎤⎦ 

( ) 2 

. 

Il valore massimo assoluto ó della tensione di flessione óf si ha per quella sezione z* per 

cui la quantità z / [c(z)] 2 assume il suo massimo valore: z* / [c(z*)] 2 . La ascissa z*, in 

corrispondenza della quale la tensione di flessione assume il suo massimo valore (ó), 

disponendo del profilo del dente, può essere individuata con i ragionamenti esposti nel 

paragrafo seguente. 

2.2 La determinazione della sezione critica 

Per una mensola incastrata e caricata all’estremità libera da una forza trasversale T, il 

profilo di uniforme resistenza, risolvendo rispetto all’altezza della sezione “h”, la classica 

6Tz 

formula della flessione ( σ = ) è dato dall’espressione: 

2 

bh 

6T 

h = = K( σ ) z 

bσ 

A tale espressione corrisponde una famiglia di infinite parabole, di asse “z”, vertice H, ed 

apertura crescente al crescere di ( ) 

K σ , cioè al diminuire di ó, come indicato in figura 2. 

Tra tali infinite parabole ve ne sarà una che risulterà tangente in una sezione (la cui 

ascissa risulterà essere z*), al profilo del dente, in corrispondenza dei fianchi attivi ad 

evolvente di cerchio oppure in corrispondenza al raccordo tra tale fianco ed il cerchio di 

piede. 

Per tale ascissa, tensione ai bordi del dente ed ai bordi del profilo del dente coincideranno, 

essendo eguale la sezione dei due solidi; per tutte le altre ascisse, essendo la sezione del 

dente superiore a quella del solido ad uniforme resistenza, la tensione nel dente sarà 

inferiore a quella, costante al variare della sezione, sui bordi del solido parabolico. 

Pertanto, la sezione di tangenza fra i due profili individua la sezione in cui la sollecitazione 

di flessione nel dente e massima. 

Indicheremo dunque con z* l’ascissa di tale sezione e con c* il corrispondente spessore 

cordale. 

La normativa dell’American Gear Manufacturers Association (AGMA) suggerisce di 

sfruttare la proprietà delle parabole indicata di seguito, sotto la figura, per individuare più 




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facilmente la sezione di tangenza tra profilo del dente ed una delle parabole della famiglia 

avente per asse l’asse di simmetria del dente e vertice in H. 

Parabola di equazione y = ax 2 

Retta tangente alla parabola in un punto generico P 

di coordinate: xP, yP = axP 2 ; 

pendenza della retta: tanα = (dx / dy)·x = xP = 2axP. 

L’equazione della retta intersecante gli assi x ed y 

2 

y−yP y−axP rispettivamente in Q ed R, è: = = 2axP 

, 

x−x x−x © Politecnico di Torino Pagina 16 di 19 


P P 

2 

P 2 P 2 

2 

P 

che può essere riscritta: y− ax = ax ⋅x− ax . (1) 

Ponendo nella (1) x = 0 si trova l’ordinata del punto 

R: y= y 

2 

=− ax =− y . 

R P P 

Pertanto, come mostra immediatamente la figura a 

fianco i segmenti OP’ (P’’P) e OR sono eguali fra 

loro, ed altrettanto avviene per i segmenti PQ, QR. 

Disegnato in scala (di ingrandimento) opportuna il profilo dei denti, riportando oltre ai 

fianchi attivi ad evolvente anche i raccordi al piede del dente, si sposta un righello 

mantenendolo sempre tangente al profilo del dente fino a trovare il punto (E in figura 2) 

per cui la distanza tra E e l’intersezione D della retta tangente con la perpendicolare per H 

all’asse di simmetria del dente sia eguale alla distanza tra tale punto e l’intersezione G 

della retta tangente al profilo con l’asse di simmetria del dente. In quel punto, la tangente 

al profilo del dente coincide con quello di una parabola con vertice in H. 

2.3 La formula di Lewis 

Individuata la sezione critica, riscriviamo l’espressione della tensione massima nelle 

forme: 

(2) ó = [T / (b·m)] · [(6·z*·m) / (c*) 2 ], 

ovvero, ponendo y, coefficiente di Lewis, la quantità: 

(3) y = (c*) 2 / (6·z*·m), 

(4) ó = FT·(cosã / cosα) / (b·m·y),


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ed infine, ponendo pari ad 1, anche tenendo conto delle altre forti approssimazioni 

introdotte, il rapporto (cosã / cosα): 

(5) ó = FT / (b·m·y). 

La tensione ó così calcolata deve risultare minore di una opportuna tensione ammissibile 

óA, definita a seconda del calcolo che si sta eseguendo (verifica a sovraccarico ovvero 

verifica a fatica). 

Il coefficiente di Lewis y, definito dalla formula (3) è una quantità ADIMENSIONALE: è 

quindi indipendente dalle dimensioni del dente, ma soltanto dalla sua forma. Forma e 

quindi coefficiente di Lewis dipendono innanzitutto dal NUMERO DI DENTI della ruota 

verificata, ed inoltre dai seguenti parametri: 

nelle vecchie costruzioni: 

proporzionamento (normale o ribassato) 

angolo di pressione (14°30’, 15°, 20°, ecc.) 

nelle attuali costruzioni con utensili normalizzati: 

dal coefficiente di spostamento. 

Poiché nel caso di ruote di serie il coefficiente “y” relativo al pignone e minore di quello 

relativo alla ruota coniugata, se essi sono realizzati con materiali di resistenza eguali, sarà 

sufficiente verificare il pignone, più sollecitato. 

Nel caso di ruote a profili spostati, occorrerà verificare accuratamente i due valori dei 

coefficienti y1, y2: per numero di denti zi fissato, uno spostamento xi positivo aumenta il 

valore del coefficiente “y”, uno spostamento negativo abbassa il valore del coefficiente. 

2.4 Altre procedure di verifica 

Altri autori (Merrit, vecchia normativa British Standard Specifications, BSS), fidando sulla 

bontà e precisione della realizzazione dell’ingranaggio, e supponendo quindi che quando il 

contatto è in A vi sia sempre una regolare ripartizione della forza F tra i due contatti 

contemporanei A e A’, considerano come condizione più gravosa per la verifica del 

pignone quella che si verifica quando il contatto è in B’, primo punto in cui è sicuramente 

applicata al dente tutta la forza F, sia pure con retta d’azione più vicina alla sezione di 

incastro. 

Anche in questi casi si giunge a formule del tipo: 

(6) ó = FT / (b·m·y’), 

con y’ coefficiente analogo a quello di Lewis, anche esso dimensionale, ma funzione dei 

parametri: 

- z1, z2, numero dei denti costituenti l’ingranaggio, 

- x1, x2, coefficienti di spostamento dei profili, 

dai quali dipendono le forme dei due denti e le posizioni dei punti B’ ed A’, estremi della 

zona di contatto singolo. 




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3 VERIFICA DELLA PRESSIONE HERTZIANA TRA I FIANCHI DEI DENTI 

Lo stato di sollecitazione di corpi elastici di forma generica premuti l’uno contro l’altro è 

stato studiato da Hertz, considerando anche il calo particolare di cilindri paralleli in contatto 

su una generatrice, ricavando la formula riportata in seguito. 

Pressione hertziana (sull’areola nell’intorno della 

generatrice di contatto tra i cilindri paralleli, 

premuti l’uno sull’altro con una forza F) 

σ H = 0.418 

FEρ 

, con 

l 

2E1E2 E = 

E1+ E2 

modulo elastico medio; 

1 1 

ρ = + curvatura relativa. 

r r 

1 2 

Applicazione al caso di ruote dentate (a denti dritti) 




CeTeM 

Ft 

F( forza) 

≡ 

cosα 

llunghezza ( ) ≡ b 

1 1 1 1 

ρ = + = + 

PT PT TM + r' MT −δ' 

1 2 1 2 

( R + R ) 




1 2 sinα 

Essendo: TM 1 = MT2 

= 

2 

MT2 − δ'+ TM 1 + δ' 

( R + R 1 2) 

sinα 

Risulta: ρ = = 

. 

( TM 1 + δ') ⋅( MT2−δ') ⎛( R1 + R2) sinα ⎞⎛( R1 + R2) 

sinα 

⎞ 

⎜ + δ'⎟⎜ ⋅ −δ'⎟ 

⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠ 

Numeratore costante, denominatore funzione pari (valore non muta, cambia segno a δ '); 

( 1 2) per 

sin R + R α 

δ ' =± denominatore 0, ñ ; per δ '= 0 

2 

(*) denominatore max., ñ min. 

(*) La funzione a denominatore è del tipo (a + x)(a – x) = a 2 + x 2 , max per x = 0. 

Parrebbe logico verificare le óH nel punto ä’ (A* o B*) estremo della “zona di contatto 

singolo” più distante da M; oppure, se si vuole ignorare la ripartizione del carico fra le 

coppie di denti in presa, nel punto più distante da M fra A e B; ed in effetti la vecchia 

norma inglese BSS calcola la óH in uno dei punti A*, B*. Ma per effetto delle difficoltà di 

lubrificazione in C (manca velocità di strisciamento, velo d’olio perde portanza) usura è 

anche forte in C. Spesso, anche per conformità nei calcoli preliminari, si fa calcolo con: 

P ≡ C, 

σ 

σ 

H 

H 

1 1 

ρ = + , ed allora óH è data dalla formula: 

R R 

1 2 

F 1 1 ⎛ 1 1 ⎞ 

t = 0.418 E ⎜ + ⎟, 

ossia essendo cosα·sinα = ½ sin(2α), R2 = uR1 

b cosα sinα 

R R 

Ft E ⎛u+ 1⎞ 

= 0.59 

bR sin2α 

⎜ 

u 

⎟ 

⎝ ⎠ 

1 

⎝ 1 2 ⎠

Ruote dentate - Corsi di Laurea a Distanza - Politecnico di Torino

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