Costruzione di macchine Le ruote dentate - Corsi di Laurea a Distanza

Costruzione di
macchine
Le ruote dentate
Prof. Curti Graziano
Corso di Ingegneria Meccanica

Sommario
Le ruote dentate
Corso di Costruzione di Macchine – Ruote Dentate
Sommario...........................................................................................................................................................................................1
1 Definizione delle caratteristiche geometriche notevoli ..................................................................................................2
2 Profilo dei denti ad evolvente di cerchio...........................................................................................................................4
2.1 Definizione geometrica del profilo ad evolvente di cerchio .....................................................................................5
3 Analisi della cinematica delle ruote dentate ....................................................................................................................7
3.1 Rapporto di condotta.....................................................................................................................................................9
3.2 Lunghezza del segmento dei contatti. .......................................................................................................................11
4 Calcolo dello spessore del dente...................................................................................................................................... 13
5 Condizioni di ingranamento tra profili e tra ruote - angolo di pressione e passo base........................................ 14
6 Ruota dentata unificata...................................................................................................................................................... 16
7 Taglio delle ruote dentate.................................................................................................................................................. 17
7.1 Taglio con fresa di forma .............................................................................................................................................17
7.2 Metodo per inviluppo..................................................................................................................................................17
7.2.1 Definizione del profilo di una dentiera-utensile...............................................................................................18
7.2.2 Moti fondamentali nel taglio delle ruote per inviluppo:.................................................................................18
7.2.3 Definizione delle condizioni cinematiche di taglio ..........................................................................................19
7.3 Creatore ..........................................................................................................................................................................20
8 Condizione di accoppiamento senza gioco.................................................................................................................... 21
9 Processo di taglio di ruote a profili spostati.................................................................................................................. 23
9.1 Circonferenze di accoppiamento senza gioco tra ruote a profili spostati.............................................................24
10 Vantaggi delle ruote con denti a profili spostati e criteri di scelta di X 1 ed X 2 .................................................. 27
10.1 Sezione resistente alla base del dente .......................................................................................................................27
10.2 Interferenza ....................................................................................................................................................................27
10.3 Strisciamento specifico................................................................................................................................................30
1

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1 Definizione delle caratteristiche geometriche notevoli
R r
D
C
B
A
A−A’: testa circonferenza di testa per A: raggio Ra
A−B: smusso circonferenza di troncatura esterna per B: raggio Re
B−C: profilo utilizzabile circonferenza di troncatura interna per C: raggio Ri
C−D: raccordo di fondo circonferenza di fondo per D: raggio Rf
Lo smusso non sempre è presente, spesso la circonferenza di troncatura esterna coincide con la
circonferenza di testa.
Figura 2: caratteristiche del profilo
A’
Figura 1: elementi notevoli di una dentatura
e
Per poter misurare in modo univoco le dimensioni del profilo è necessario definire una circonferenza di
riferimento di generico raggio Rr; su di essa è quindi possibile misurare:
• s : spessore del dente
• e : vano
• p = s + e : passo del profilo
Detto z il numero di denti della ruota deve essere:
z⋅p = 2π⋅Rr
p
R f
s
R i
R e
h a
h f
R a
2

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Per quanto riguarda le dimensioni radiali del dente rispetto alla circonferenza di riferimento è possibile
definire due parametri fondamentali:
• ha = Ra −Rr : addendum
• hf = Rr −Rf : dedendum
Nell'unificazione delle ruote dentate è definito il modulo della ruota come:
• m = p /π = 2Rr /z
per il quale vale la relazione:
z⋅m = 2Rr
NOTA: nella definizione dei profili delle ruote dentate si assume convenzionalmente π = 3,1416
3

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2 Profilo dei denti ad evolvente di cerchio
Figura 3: profili ad evolvente contrari
L'evolvente di cerchio è una particolare curva
bidimensionale individuata da un punto P di una retta
nel moto di puro rotolamento della stessa su di una
circonferenza: per ogni circonferenza sono
automaticamente definiti due profili ad evolvente
uguali ed opposti dovuti al duplice verso di rotazione
possibile per la retta i quali non dipendono dalla
condizione iniziale del moto relativo (Fig 3). Nel
campo delle ruote dentate la circonferenza su cui
rotola la retta generatrice dei profili è detta
circonferenza di base ed il suo raggio è individuato
con Rb.
Per meglio comprendere le qualità del profilo ad
evolvente di cerchio conviene riferirsi a una
particolare condizione di trasmissione del moto tra due circonferenze di raggi Rb1 ed Rb2. Si suppone (Fig
4a) che appoggiata ad entrambe le circonferenze ci sia un'asta rigida che possa muoversi solo traslando
parallelamente a sè stessa (può essere fisicamente assimilata ad una cinghia in trazione tra due pulegge) e
che il suo moto relativamente alle due circonferenze sia sempre di puro rotolamento. Dando alla
circonferenza 1 (motrice) una velocità angolare di rotazione ω1 questa trasmette all'asta un moto traslatorio
uniforme di velocità v coincidente con la velocità periferica della circonferenza 1 nel punto di tangenza con
essa T1 :
v = vT1 = ω1⋅Rb1
la stessa condizione deve essere verificata anche nel punto T2 tra asta e circonferenza 2:
vT2 = ω2⋅Rb2 = v = ω1⋅Rb1
da cui si ricava che il rapporto di trasmissione tra le due circonferenze (in queste condizioni cinematiche) è:
ω
ω
1
2
= R
R
b2
b1
Considerando di porsi come osservatori solidali alla circonferenza 1 il generico punto P dell'asta nel suo
moto descrive esattamente un evolvente relativo alla circonferenza 1 stessa (Fig 4b); anche rispetto alla
circonferenza 2 vale la medesima osservazione cosicché si trova che i due profili ad evolvente individuati
dal moto del punto P sono profili coniugati ossia in contatto in un solo punto ed ivi tangenti per costruzione.
Supponendo ora di materializzare i due profili trovati (Fig 4c) e smaterializzare l'asta risulta chiaro come la
nuova condizione di trasmissione del moto coincida in tutto e per tutto con quella che si era trovata con
l'asta infatti il punto P in cui avviene la trasmissione effettiva del moto tra le due ruote si muove esattamente
lungo la direzione su cui giaceva l'asta ripetendo punto per punto il moto del punto P dell'asta.
Vantaggio fondamentale del profilo ad evolvente di cerchio rispetto agli altri è il fatto di avere, come l'asta,
il rapporto di trasmissione costante nel tempo: tale proprietà è sostanziale perché, per garantire una certa
uniformità alla trasmissione del moto, è necessario che in almeno un tratto del segmento percorso da P ci
siano due o più coppie di denti in presa il che presuppone un rapporto di trasmissione costante in tutto il
tratto di ingranamento multiplo.
4

Figura 4: derivazione concettuale del profilo ad evolvente
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ω
ω
O 1
O 1 P
v
O 1
ω
2.1 Definizione geometrica del profilo ad evolvente di cerchio
P
v
P
ω
Fissata la circonferenza di base di raggio Rb è possibile descrivere il profilo ad evolvente tramite
un'equazione nelle coordinate cilindriche ϕ ed r definite come in Fig 5:
• ϕ è l'angolo compreso tra le due semirette uscenti dal centro C della circonferenza di base e passanti
una per il punto iniziale O del profilo e l'altra per il generico punto P
• r è la distanza del generico punto P dal centro C della circonferenza di base
P
v
O 2
O 2
ω
ω
O 2
(a)
(c)
(b)
5

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Considerando la retta p tangente alla circonferenza di base
passante per il punto P (ossia la generatrice del profilo) è ancora
possibile individuare l'angolo di incidenza α compreso tra le due
semirette uscenti dal centro C della circonferenza di base e passanti
una per il punto P e l'altra per il punto di tangenza T tra p e la
circonferenza.
La proprietà dell'evolvente di essere generato da una retta che
rotola senza strisciare su una circonferenza può essere considerata
a livello geometrico come:
(PT ) = (OT )
in cui:
⎧
⎨
⎩
(OT ) = Rb⋅(α+ϕ)
(PT ) = Rb⋅tg(α)
Si ricava così la relazione ϕ = f(α):
ϕ = tg(α) − α
in cui la funzione f(α) in letteratura prende il nome specifico di ev(α) (o inv(α) in Inglese)
Bisogna ora trovare una ulteriore relazione tra α ed r in modo da poter definire il legame tra ϕ ed r: dal
triangolo rettangolo PCT si ottiene
r⋅cos(α) = Rb ⇒ α = arccos(Rb /r)
Figura 5: profilo ad evolvente
NOTA: in generale nella definizione del profilo delle ruote dentate sono richieste almeno 4 cifre significative
per garantire una sufficiente precisione nell'ingranamento e nella trasmissione del moto.
T
Rb
α
ϕ
C
r
P
O
6

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3 Analisi della cinematica delle ruote dentate
Nel moto reciproco di due ruote dentate il contatto tra due denti avviene istante per istante nel punto P che
- come si è visto nella similitudine con il sistema delle due circonferenze collegate dall'asta - si muove lungo
una retta immaginaria tangente alle due circonferenze di base; questa retta è detta retta dei contatti.
Chiamando O1 ed O2 i centri delle due circonferenze di base e C il punto di intersezione tra retta dei
contatti e segmento O1 −O2, quando il punto di contatto effettivo P si trova a coincidere con C (Fig 6), si
ha che la velocità in esso vale:
per C considerato appartenente alla ruota 1: vC1 = ω1⋅ (O1C)
per C considerato appartenente alla ruota 2: vC2 = ω2⋅ (O2C)
Geometricamente si trova facilmente una relazione tra O1C e O2C e rispettivamente Rb1 ed Rb2 tramite il
coseno dell'angolo di incidenza α:
⎧
⎨
⎩
(O1C)⋅cos(α1) = Rb1
(O2C)⋅cos(α2) = Rb2
Sostituendo nelle equazioni delle velocità del punto C:
⎧ vC1 = ω1⋅ Rb1 /cos(α1)
⎨
⎩ vC2 = ω2⋅ Rb2 /cos(α2)
Poichè ω1⋅ Rb1 = ω2⋅ Rb2 e gli angoli di incidenza coincidono (α1 = α2 = α) per la proprietà degli angoli
alterni interni formati da due rette parallele tagliate da una trasversale si trova che:
vC1 = vC2
ω
O 1
T 1
v C
C
T 2
Figura 6: cinematica dell'accoppiamento di due ruote dentate
ω
O 2
7

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Questa relazione esprime il fatto che in C non esiste strisciamento relativo e che dunque esso è il centro di
istantanea rotazione relativa del sistema; rispetto ad esso è possibile descrivere completamente il moto del
sistema tramite la velocità angolare relativa ω1 − ω2
.
Il punto C non cambia la sua posizione assoluta nel tempo percui rispetto alla ruota 1 descrive una
traiettoria circolare di raggio O1C che è la polare del moto relativa al corpo 1; ugualmente si trova che la
polare del moto del corpo 2 è essa pure una circonferenza.
NOTA: le polari del moto relativo di due corpi sono le curve ideali che fatte rotolare senza strisciare l'una
sull'altra riproducono perfettamente le caratteristiche del moto reale.
Si può verificare che le due circonferenze individuate sono veramente le polari del moto imponendo la
condizione di puro rotolamento tra esse nel punto di contatto C: assegnata una velocità angolare di
rotazione ω1 alla prima e indicata con ω2* la velocità della seconda, si ha
⎧
⎨
⎩
v = ω1⋅ (O1C)
C p 1
v = ω2*⋅ (O2C)
C p 2
La condizione di puro rotolamento è v = C v ossia:
p 1 C p 2
ω1⋅ (O1C) = ω2*⋅ (O2C)
ma essendo sempre
⎧
⎨
⎩
(O1C)⋅cos(α) = Rb1
(O2C)⋅cos(α) = Rb2
si trova
ω1⋅ Rb1 /cos(α) = ω2* Rb2 /cos(α)
da cui
ω1
Rb2
ω
= =
ω2
* Rb1
ω
1
2
dunque è necessariamente ω2* = ω2 essendo il rapporto di trasmissione tra le due polari uguale a quello
tra i profili ad evolvente. In questo caso le polari vengono chiamate circonferenze primitive del moto.
8

3.1 Rapporto di condotta
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Sulla retta dei contatti il luogo dei contatti realmente verificabili non è l’intero segmento T1T2 ma è la sua
parte delimitata dalle due circonferenze di troncatura esterna al di fuori delle quali i profili ad evolvente non
esistono più (Fig 7); risulta così individuato il segmento dei contatti AB in cui le coppie di denti delle due
ruote sono effettivamente in presa.
O 1
A
T 1
Figura 7: individuazione del segmento dei contatti
T 2
B
Arco d'azione (a): è l'arco percorso dal profilo nel passare dal punto di primo contatto al punto finale di
contatto valutato sulla circonferenza primitiva; la misura di a non dipende dalla primitiva considerata in
quanto tra le due circonferenze primitive c'è un moto di puro rotolamento che impone che percorrano archi
di uguale lunghezza.
Rapporto di condotta (ε): è definito come rapporto tra arco d'azione e passo primitivo; per garantire una
efficiente trasmissione del moto deve essere maggiore dell'unità perché ciò comporta che, prima che la
coppia di denti a contatto si separi, una seconda sia già entrata nell'arco d'azione (cosa impossibile per ε ≤
1).
Congruentemente con il discorso appena fatto, nel caso in cui 1 < ε < 2 l'arco dei contatti risulta diviso in
tre parti:
• due parti di lunghezza pari ad (a − p) collocate agli estremi dell'arco dei contatti in cui si ha contatto
contemporaneamente tra 2 coppie di denti
• una parte centrale dell'arco dei contatti di lunghezza pari a (2p − a) in cui si ha il contatto di una sola
coppia di denti
In genere si usano valori di ε maggiori di 1,2 e attualmente la tendenza è a salire sopra 2 in modo da avere
sempre almeno 2 coppie di denti in contatto.
O 2
9

I vantaggi di avere ε abbastanza elevato sono:
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• una riduzione degli urti all’atto dell’ingranamento che migliora la trasmissione del moto
• una distribuzione delle forze (Fig 8) scambiate tra le ruote su un maggior numero di denti che comporta
minori sollecitazioni sul singolo dente ossia minori rischi di collasso a fatica.
Tramite alcune osservazioni geometriche è possibile trovare nuove espressioni di ε: l'arco dei contatti
valutato sulla primitiva (a) può essere messo in relazione con il corrispettivo sulla circonferenza di base (ab)
infatti sono entrambi sottesi dal medesimo angolo al centro.
Questo è dimostrabile risalendo alla costruzione del profilo ad evolvente che impone una relazione
biunivoca tra la distanza r del punto considerato dal centro del cerchio di base e lo spostamento angolare ϕ
del punto stesso rispetto al punto iniziale del profilo: gli angoli che sottendono i due archi (a ed ab) sono
uguali, anche se ruotati l'uno rispetto all'altro, e consentono di scrivere la proprozione
ab : Rb = a : r da cui a = ab ⋅ r / Rb
La lunghezza dell'arco ab può essere determinata considerando che per le proprietà dei profili ad evolvente
la lunghezza del segmento congiungente un punto qualunque del profilo con il punto di tangenza al cerchio
di base individuato dalla generatrice relativa al punto stesso coincide con la lunghezza dell'arco di
circonferenza che unisce il punto di inizio del profilo con lo stesso punto di tangenza dunque:
⎧
⎨
⎩
(AT1 ) = (A0T1 )
(BT1 ) = (B0T1 )
da cui: (A0B0 ) = (B0T1 ) − (A0T1 ) = (BT1 ) − (AT1 ) = (AB )
ab =
O 1
A
C
Figura 8:diagramma qualitativo della forza scambiata tra una coppia di denti con e=1,2
B
O 2
10

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Essendo il rapporto tra r ed Rb esattamente pari ad 1/cos(α) vale:
ε = a / p = (AB ) / [ p⋅cos(α)]
Come per gli archi d'azione, anche per i passi è lecito scrivere pb : Rb = p : r, ossia p⋅cos(α) = pb, e
dunque:
ε = ab / pb = (AB ) / pb
Questa relazione esprime il fatto che è possibile dividere il segmento dei contatti in tre parti (Fig.8) a
seconda del numero di denti a contatto, e perciò delle forze scambiate da ogni coppia di denti, come si era
fatto per l'arco d'azione.
O 1
3.2 Lunghezza del segmento dei contatti.
B 0
A 0
Figura 9: arco dei contatti (A’B’) e segmento dei contatti (AB).
A
T 1
a b a
Per valutare il rapporto di condotta è necessario conoscere la lunghezza del segmento dei contatti (Fig 9);
questa è abbastanza scomoda da misurare in modo diretto (cosa che peraltro valeva anche per l'arco
d'azione) è però possibile ricondurla analiticamente a grandezze note a priori.
B’
A’
B
ϕ
ϕ
11

Figura 10: lunghezza del segmento dei contatti AB
Come si vede in Fig 10, geometricamente vale che:
(AB ) = (BT1) + (AT2) − (T1T2)
con:
⎧
⎨
⎩
(BT1) = R − R
2 2
e1 b1
2 2
e 2 b2
(AT2) = R − R
(T1T2) = r1⋅sin(α) + r2⋅sin(α)
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R e1
O B
1 r2 α O2 α
r1 A
R b1
2 2
2 2
percui si trova: (AB) = R − R + R − R − (r1 + r2 )⋅sin(α)
e 1 b1
T 1
e 2 b2
Tutti i dati necessari al calcolo sono noti essendo o caratteristiche geometriche delle ruote o caratteristiche
di montaggio come l'interasse r1 + r2 in quanto anche l’angolo α può essere espresso tramite la relazione
Rb + R 1 b 2
cos ( α)
=
r1 + r2
Sfruttando ora le relazioni:
⎧ r = z⋅m/2
⎪
⎨ Re = r + ha = z⋅m/2 + ha (vale se il dente non ha smusso in testa)
⎪
⎩ Rb = r⋅cos(α) = z⋅m/2⋅cos(α)
T 2
è possibile correlare la lunghezza del segmento dei contatti con m, z1 , z2 ed α, assunto per entrambe le
ruote ha = m.
R e2
R b2
12

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4 Calcolo dello spessore del dente.
Noto lo spessore s0 sulla circonferenza di raggio R0 lo spessore s sulla generica circonferenza di raggio r è
dato dalla relazione:
s s0
= + 2ζ in cui
r r0
s s0
= β e = β 0
r r0
ζ risulta definito dalla geometria del profilo ad evolvente:
⎧ϕ
= tg(α) − α
⎨
⎩α
= arccos(Rb /r)
ζ = ϕ (r0) − ϕ (r) = ϕ0 − ϕ = ev(α0) − ev(α)
Si trova cioè che:
s s0
s0
= + 2 ⋅ (ϕ0 − ϕ) = + 2 ⋅[ ev(α0) − ev(α)]
r r
r
0
Figura 11: spessore del dente
0
ϕ 0
ϕ ζ
In questa relazione s0, r0 ed α0 sono noti ed è anche possibile trovare α dalla α = arccos(Rb /r)
cosicchè s è determinato.
s 0
s
r 0
r
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5 Condizioni di ingranamento tra profili e tra ruote - angolo di
pressione e passo base
In condizioni di ingranamento tra due profili i raggi vettore relativi al generico punto di contatto P sono
secondo la definizione i segmenti orientati congiungenti i centri O1 ed O2 dei cerchi di base ed il punto P
stesso; quando questo va a coincidere con il punto C centro di istantanea rotazione relativa del sistema si
trova che i due raggi vettore giacciono sulla stessa retta passante per i centri delle due circonferenze di
base. L'angolo di incidenza per definizione è l'angolo tra il raggio vettore e la tangente al profilo nel punto
considerato; in C i due profili a contatto oltre ad avere tangente comune, proprietà dei profili coniugati,
hanno anche i raggi vettore coincidenti in direzione e presentano dunque lo stesso angolo di incidenza:
questo valore particolare di α prende il nome di angolo di pressione.
L'angolo di pressione è il valore che l'angolo di incidenza α assume quando si considera come punto del
profilo il centro di istantanea rotazione relativa C che però non è una proprietà intrinseca delle ruote ma una
caratteristica dell'accoppiamento. Si può verificare che anche l’angolo di pressione è funzione
dell’accoppiamento supponendo di far ingranare due ruote prima con un certo interasse i e poi con un altro
interasse i':
• non cambiano le condizioni di ingranamento perchè esse dipendono solo dai profili e questi - a loro
volta - dipendono solo dai cerchi di base che restano gli stessi
• anche il rapporto di trasmissione, dipendendo solo dai cerchi di base, non cambia: ω1
=
ω2
Rb
2
Rb1
• cambia invece proprio l'angolo di pressione α infatti vale:
cos ( α)
=
R + R
O 1
= R R +
i
b1 r1
+ r2 b 2 b 1 b 2
a a
C C’
Figura 12: relazione tra interasse ed angolo di pressione
a a
O2 O2 ⇒ cos ( ') = i
α cos ( α)
i' ⋅
L'angolo di pressione deve il suo nome al fatto che indica l'inclinazione della retta dei contatti rispetto alla
tangente comune alle circonferenze primitive delle ruote: la retta dei contatti rappresenta punto per punto la
direzione delle forze normali (pressioni) scambiate tra i profili coniugati.
14

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Parlando di accoppiamento di ruote il discorso si complica: una ruota è un insieme di profili ad evolvente
destri e sinistri alternati con una certa periodicità indicata dal modulo (o dal passo), quindi perchè due ruote
possano ingranare tra loro la condizione di non interferenza espressa dall'angolo di pressione
(spontaneamente verificata per il singolo profilo) va generalizzata a tutta la serie di profili della ruota
tenendo anche conto del fatto che fisicamente i profili sono accoppiati a due a due in denti individuando
così un'alternanza di pieni e di vuoti ben precisa da rispettare assolutamente.
La condizione di non interferenza a livello di angolo di pressione è sempre la stessa per tutte le coppie di
profili coniugati in quanto tutte dipendono dalla stessa coppia di cerchi di base; αp può così essere
generalizzato a proprietà dell'accoppiamento delle due ruote e non delle singole coppie di profili
La condizione che invece tiene più specificamente in conto la natura fisica della ruota è data dal passo base
(Fig 13): per potersi accoppiare due ruote devono obbligatoriamente avere lo stesso passo base. Questo è
logico se si pensa ad una coppia di profili omologhi successivi in condizione di ingranamento: i due punti P e
P' di contatto durante il moto rotatorio del sistema si muovono alla stessa velocità v = ω1⋅Rb1 = ω2⋅Rb2
sull'asse dei contatti, di conseguenza la loro distanza misurata sull'asse dei contatti è costante. La lunghezza
del segmento PP' coincide però sia con la lunghezza dell'arco O1O1' (che individua il passo base del profilo
della ruota 1) sia con l'arco O2O2' (che individua il passo base della ruota 2). Da questa osservazione
risulta evidente come ruote con passi base diversi non possano ingranare tra loro perchè staccherebbero
sull'asse dei contatti segmenti di lunghezza diversa il che, considerando i denti nella loro materialità,
comporterebbe o interferenza o gioco a seconda delle dimensioni dei denti stessi.
O 1’
Figura 13: passo base dei profili
O 1
P1
P1’
O 2
O 2’
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6 Ruota dentata unificata
Corso di Costruzione di Macchine – Ruote Dentate
Per definire questa ruota si parte da una normale condizione di ingranamento tra due ruote e quindi
mantenendo costante il valore dell'angolo di pressione si ingrandisce sempre di più la seconda (per le
caratteristiche del profilo ad evolvente questo non comporta alcun problema di accoppiamento a patto di
mantenere costante il modulo); facendo crescere il raggio di base della ruota 2 si vede che cresce
proporzionalmente ad esso il raggio della circonferenza primitiva r2 = Rb2 /cos(α) e così pure che si
allontanano progressivamente da C sia il centro O2 della seconda ruota sia il punto di tangenza T2.
Portando questo processo al limite ossia facendo tendere Rb2 all'infinito si trova che la ruota diventa una
dentiera con denti a profilo trapezio; in queste condizioni infatti si ha che il punto di tangenza T2 si trova
all'infinito sulla retta dei contatti, che può essere considerata come la generatrice del profilo ad evolvente
nel punto C: essendo il moto di generazione costituito da un rotolamento puro sulla circonferenza di base −
ossia da una rotazione proprio attorno al punto di tangenza T2 − per l'altezza del dente il profilo risulta
rettilineo e ortogonale alla retta dei contatti.
Si può verificare questo anche considerando l'espressione dell'angolo di incidenza α in funzione del raggio
di base e del raggio generico: cos(α) = Rb /r. Sulla circonferenza primitiva tale relazione fornisce il valore
dell'angolo di pressione; spostandosi di Δr da questa, invece, dovrebbe dare, a rigore, un angolo di
incidenza α tale che cos(α) = Rb / (r + Δr). Considerando allora che, nell'ambito dell'altezza del dente,
qualunque Δr risulta trascurabile rispetto sia ad r che a Rb (che sono stati portati all'infinito), se ne deduce
che l'angolo di incidenza α è costante e pari all'angolo di pressione su tutto il dente.
La dentiera ottenuta è in effetti una ruota ad infiniti denti infatti essendosi tenuto il modulo costante in tutti i
passaggi fatti per poter assicurare l'ingranamento la relazione 2⋅r = z⋅m impone che per r→∞ anche z→∞.
La dentiera può come tutte le ruote accoppiarsi sulla sua linea di riferimento con qualunque altra ruota
abbia lo stesso modulo e angolo di pressione però ha il vantaggio che non richiede la scelta di un certo
raggio di base e di un certo numero di denti. Una volta noti il modulo e l'angolo di pressione la dentiera
unificata è completamente definita infatti la norma impone ancora che l'addendum sia pari al modulo, il
dedendum sia 1,25 volte il modulo e che sulla linea di riferimento il pieno sia uguale al vuoto.
Figura 14: dentiera unificata
p0 e0 s0 α
m 0
m 0
Linea di
riferimento
1,25m 0
16

7 Taglio delle ruote dentate
Corso di Costruzione di Macchine – Ruote Dentate
Il taglio delle ruote dentate può essere operato in genere secondo due processi fondamentali: utilizzando
una fresa di forma o con il metodo detto per inviluppo.
7.1 Taglio con fresa di forma
L'utensile è una fresa di forma in cui ogni tagliente ha la forma
del vano tra dente e dente ed è caratterizzato dai suoi angoli di
spoglia frontale, dorsale e laterale.
I problemi di questo metodo sono due:
• il profilo della fresa è esatto solo per ruote con pari raggio
del cerchio di base: noti m ed α Rb dipende da z percui l'utensile
potrebbe risultare inutilizzabile anche su ruote con uguali
grandezze unificate ma con diverso numero di denti perchè
presentano profili ad evolvente troppo diversi. In questa ottica
bisognerebbe costruire una fresa diversa per ogni combinazione possibile di m,
α e z; nella realtà si ammette una fascia di tolleranza in modo da poter usare lo
stesso utensile su ruote con numeri di denti diversi ma prossimi (19-20-21 ; 22-
23-24-25 ; ....), questo però non risolve comunque il problema.
• il tempo di lavorazione è molto lungo perchè ogni dente va lavorato
singolarmente.
7.2 Metodo per inviluppo
Figura 15: taglio con fresa di forma
Figura 16: fresa di forma
La logica di questo metodo può essere dedotta da un
semplice esempio: si può supporre di far ingranare una ruota
dentata normale con un tondino di materiale molto cedevole
e di imporre al sistema una condizione di moto che
riproduca quella effettiva di lavoro; la ruota scaverebbe
all'interno del tondino esattamente il profilo coniugato al
proprio ossia la sequenza di denti ad evolvente necessaria
all'accoppiamento. Secondo questa logica una determinata
ruota-utensile con modulo ed angolo di pressione unificati
sulla primitiva di accoppiamento potrebbe tagliare ruote con
le sue stesse caratteristiche ma con un numero qualsiasi di
denti a patto solo di cambiare di volta in volta il rapporto di
ω1
z 2
trasmissione in modo da soddisfare la relazione = .
ω2
z1
Figura 17: formazione del profilo per inviluppo
L'utensile più conveniente da utilizzare almeno teoricamente è la ruota più semplice ossia la dentiera; la
dentiera-utensile non rispetta ovviamente le caratteristiche geometriche della dentiera unificata ma ne
costituisce in pratica una sorta di “negativo” in relazione al fatto che il suo compito non è di ingranare con
un profilo unificato ma di scavarlo.
17

Corso di Costruzione di Macchine – Ruote Dentate
7.2.1 Definizione del profilo di una dentiera-utensile
Le caratteristiche geometriche di base sono sempre il modulo m0 e l'angolo di pressione α0; la differenza
con le normali dentiere nasce invece dal fatto che rispetto ad una linea di riferimento si prendono
1. addendum (ha0) pari a 1,25m0 perché deve scavare il dedendum della ruota unificata con il fondo del
dente ed i suoi raccordi
2. dedendum (hf0) maggiore di m0 perché deve tagliare i fianchi dei denti fino alla troncatura esterna ma non
la testa che si preferisce sia definita dalla circonferenza esterna di partenza del tondino (se non c'è lo
smusso)
Figura 18: dentiera utensile
e0 s0 p0 Il vantaggio della dentiera in questa operazione rispetto alle ruote è che mantiene lo stesso modulo e lo
stesso angolo di pressione anche cambiando la linea di riferimento.
I denti della dentiera-utensile sono dei taglienti tridimensionali con vista frontale coincidente con il profilo
teorico appena definito e tre angoli di spoglia (frontale, dorsale, laterale) dovuti al fatto che il taglio avviene
sia sulla testa del dente sia sui suoi fianchi; essi rivestono un ruolo fondamentale nella definizione dei profili
dei fianchi dei denti della ruota che si sta tagliando per la natura stessa di questo processo di taglio che
opera per inviluppo ossia sfruttando le proprietà dei profili coniugati.
7.2.2 Moti fondamentali nel taglio delle ruote per inviluppo:
• moto di taglio: è un moto relativo di tipo
alternativo che si sviluppa in direzione parallela
all'asse del tondino ed è composto da una
corsa di taglio e da una di ritorno (in genere è
fisicamente compiuto dall'utensile); questo
1
moto è fondamentale perchè nella realtà non
esiste un materiale in grado di tagliare l'acciaio
solo "ingranando" con esso.
1
2
• moto di avanzamento: è un moto che prima
porta l'utensile a contatto con la superficie del Figura 19: moti di generazione (1) e taglio (2)
tondino e quindi lo fa affondare
progressivamente in esso durante la corsa di taglio.
• moto di generazione: è necessario che tra dentiera e tondino si verifichi la condizione cinematica di moto
relativo di normale accoppiamento per consentire la generazione dei denti con profilo ad evolvente di
cerchio per processo di inviluppo da parte dei denti della dentiera-utensile. Bisogna dunque fare in modo
α
m 0
m 0
Linea di
riferimento
1,25m 0
1
2
18

Corso di Costruzione di Macchine – Ruote Dentate
che la dentiera trasli con velocità v ortogonalmente all'asse del tondino e che questo ruoti rispetto al suo
asse con velocità angolare ω.
7.2.3 Definizione delle condizioni cinematiche di taglio
La prima condizione da imporre riguarda ovviamente il moto di generazione: perchè sulla ruota che si taglia
si generino effettivamente gli z denti voluti è intuitivo che il rapporto cinematico tra v ed ω non possa essere
qualunque.
Analizzando la cinematica del processo di taglio si nota che nel campo di moto solidale al tondino esiste
sicuramente un punto che si muove esattamente come si muoverebbe se appartenesse al campo di moto
della dentiera; esso è il centro di istantanea rotazione relativa del sistema. Poiché la dentiera trasla con
velocità v per trovare tale punto (C) è sufficiente individuare sulla perpendicolare alla direzione di v
passante per il centro O del tondino quello in cui sia ω⋅r = v (con r distanza del punto da O) in modulo e
segno. Il cento di istantanea rotazione rimane fisso durante tutto il processo di taglio e individua le “polari”
o “primitive del moto di taglio” che sono per la dentiera la retta parallela alla direzione v mentre per il
tondino la circonferenza con centro in O e raggio r = R0.
In corrispondenza di queste l'accoppiamento avviene per puro rotolamento e dunque il profilo della
dentiera ivi presente (inteso come alternanza di pieni e di vuoti visto che m0 ed α0 sono costanti) deve
coincidere perfettamente con quello che ha tagliato sulla ruota. La circonferenza primitiva di taglio del
tondino è dunque un luogo privilegiato della ruota che ricopia perfettamente non solo il modulo m0 e
l'angolo di pressione α0 della dentiera-utensile ma anche (in negativo) lo spessore dei denti e dei vani che
essa presentava nell'ultimo istante di accoppiamento in corrispondenza della sua primitiva di taglio.
In tale situazione se il rapporto tra v e ω fosse casuale si troverebbe una circonferenza primitiva di taglio
Linea di riferimento
Linea primitiva
di taglio della
dentiera
R 0
Circonferenza primitiva di
taglio del tondino
Figura 20: caratteristiche del processo di taglio per inviluppo
ω
di raggio R0 qualunque; essendo il raggio (r) della circonferenza generica legato al modulo (m) presente su
essa dalla relazione
2⋅r = z⋅m
nel caso considerato dovrebbe valere
z⋅m0 / 2 = R0 = v / ω
C
v
v v a
19

Corso di Costruzione di Macchine – Ruote Dentate
Dal momento che il modulo viene fissato con la scelta dell'utensile l’assunzione di un v/ω casuale
porterebbe ad un numero di denti tagliato z altrettanto casuale ossia molto probabilmente non intero e
ancora meno probabilmente pari a quello voluto.
Partendo da queste considerazioni risulta dunque che i valori di m0 ed α0 vincolano la scelta
dell'utensile mentre il numero di denti voluto impone il rapporto cinematico v / ω = z⋅m0 / 2.
Si può ancora notare che la proprietà della circonferenza primitiva di taglio di ricopiare i pieni ed i vuoti
della corrispondente retta primitiva di taglio della dentiera comporta che affondando nel tondino la dentiera
fino a far coincidere la linea di riferimento scelta per definirne le proprietà geometriche (su cui si era
imposto il pieno il uguale al vuoto) con la retta primitiva di taglio passante per C si ottiene sulla
circonferenza di raggio R0 la condizione:
s0 = ed
e0 = sd
che unita allora alla
sd = ed
fornisce
s0 = e0
Sempre nell'ipotesi di portare la dentiera a penetrare nel tondino fino a che linea di riferimento e retta
primitiva di taglio coincidono si ha anche che hf0 = had = 1,25⋅m0 e che invece ha0 dipende da Ra che per
produrre ruote unificate deve valere Ra = R0 + m0 .
7.3 Creatore
Il concetto di creatore nasce dal problema che una
dentiera per tagliare ruote con numeri di denti anche non
grandi dovrebbe comunque essere molto lunga, in genere
troppo lunga; le soluzioni possibili sono allora due:
1. utilizzare una dentiera corta e tagliare un piccolo
numero di denti alla volta
2. utilizzare il criterio della vite senza fine: su una normale
ruota si avvolgono dei profili ad elica suddivisi in tanti
taglienti orientati ortogonalmente al profilo dell'elica in
modo tale che ponendo in rotazione il sistema sul suo asse
opportunamente inclinato rispetto all'asse del tondino si
ottiene nel piano di taglio un moto apparente di traslazione
del tagliente in direzione trasversale come voluto dalla
teoria con una velocità pari al prodotto tra il passo
dell'elica e la velocità di rotazione della ruota stessa.
Figura 21: taglio con creatore e creatore
20

Corso di Costruzione di Macchine – Ruote Dentate
8 Condizione di accoppiamento senza gioco
Si supponga di avere a disposizione due ruote le cui caratteristiche di taglio sono:
Numero di denti Z1 Z2
Angolo di pressione sulla primitiva di taglio α0 α0
Modulo sulla primitiva di taglio m0 m0
Passo sulla primitiva di taglio p0 p0
Spessore del dente sulla primitiva di taglio s01 = p0 / 2 s02 = p0 / 2
Spessore del vano sulla primitiva di taglio e01 = p0 / 2 e02 = p0 / 2
Addendum rispetto alla primitiva di taglio ha01 = m0 ha02 = m0
Dedendum rispetto alla primitiva di taglio hf01 = 1,25m0 hf02 = 1,25m0
La condizione di accoppiamento senza gioco è quella in cui i denti in presa hanno due punti di contatto con
i due denti coniugati dell'altra ruota.
La prima osservazione in merito a questo problema è che i punti di contatto P e P' trovandosi sui lati
opposti dello stesso dente appartengono a evolventi opposte generate rispettivamente dalle due tangenti
comuni ai cerchi di base passanti per C, questo si riflette nel fatto che durante il moto relativo di
ingranamento delle ruote i due punti P e P' si muoveranno ognuno sulla propria retta dei contatti
(coincidente con la rispettiva generatrice).
Si può in primo luogo facilmente verificare che se la condizione di accoppiamento senza gioco è
verificata in un punto lo è per tutto l'arco dei contatti (tranne ovviamente in quella parte iniziale in cui solo il
primo dei fianchi del dente considerato è in presa): supponendo che la ruota 1 sia motrice e giri alla velocità
ω1 il punto di contatto con trasmissione del moto è il punto P sul fianco destro del dente che all'inizio si
trova a coincidere col punto P1i solidale alla ruota 1 e coincidente col punto P2i solidale alla ruota 2; la
ruota 2 è vincolata da questo contatto a muoversi alla velocità ω2 (secondo il rapporto di trasmissione
determinato dal rapporto tra i raggi di base) mentre il punto P si sposta sulla retta dei contatti e scorre sul
fianco destro del dente fino a P1f. coincidente ora con P2f.
Si supponga ora che sia motrice la ruota 2 e che giri esattamente con la velocità ω2 , il punto di contatto
istantaneo con trasmissione del moto risulta essere P' e non più P che viene trascinato; in questa condizione
vale lo stesso discorso fatto per P nel caso precedente: P' resta sempre punto di contatto e impone alla
ruota 1 una certa velocità ω1*. Poichè il rapporto di trasmissione tra le ruote non dipende da quale è
motrice ma dai cerchi di base che sono fissi ω1* = ω1 cioè la condizione cinematica nei due casi è la stessa,
ma allora non c'è motivo perchè i due punti P e P' quando siano entrambi di contatto all'istante iniziale
cambino questo loro stato nel corso del moto essendo di per sè inconsapevoli di quale delle due ruote è
motrice.
Appurato questo fatto si può procedere a determinare la condizione geometrica di accoppiamento senza
gioco analizzando il problema nella posizione più semplice ossia il punto C, che appartiene alle
circonferenze primitive del moto ed è un punto di contatto effettivo: partendo dalla situazione in cui il fianco
21

Corso di Costruzione di Macchine – Ruote Dentate
"motore" del dente in esame - supposto appartenente alla
ruota motrice - è in contatto proprio nel punto C con il suo
coniugato e imponendo alla ruota motrice la velocità ω1 si ha
che lo spessore del dente passa attraverso il punto C mentre
le due circonferenze primitive rotolano senza strisciare l'una
sull'altra (sono le polari del moto). Quando tutto il dente è
passato attraverso il punto C vi si ha un nuovo contatto ma
sull'altro fianco del dente, quello trascinato, dopo il quale
continuando a far girare il sistema il punto C viene
attraversato dal dente della ruota condotta in corrispondenza
del vano della ruota motrice finché si ritorna nella condizione
iniziale.
La presenza di puro rotolamento tra le circonferenze
primitive del moto nel punto C porta riguardo alle due
situazioni che vi si alternano alle seguenti condizioni di
accoppiamento senza gioco:
s1 = e2
s2 = e1
con s ed e rispettivamente spessori e vani della dentatura
misurati in corrispondenza delle circonferenze primitive di
accoppiamento; unendo le precedenti relazioni con le:
s1 + e1 = p1
s2 + e2 = p2
e considerando che perchè possa esserci ingranamento deve essere
p1 = p2 = p
si trova la condizione di accoppiamento senza gioco:
s1 + s2 = p
Questa condizione è unica e dipende dall'interasse di accoppiamento: supponendo di partire dall'interasse
di accoppiamento senza gioco i* e di allontanare le ruote l'ingranamento continua a verificarsi ma in
corrispondenza di circonferenze primitive sempre più ampie; il crescere dei raggi delle primitive di
accoppiamento comporta un proporzionale aumento del passo di accoppiamento p ma una riduzione degli
spessori s1 ed s2 dei denti cosicchè risulta essere s1 + s2 < p ; quando invece si voglia ridurre l'interasse di
accoppiamento al di sotto di i* si deve generare interferenza tra i denti essendo in questo caso s1 + s2 > p.
Le due ruote a disposizione verificano la generica condizione di accoppiamento infatti sulle primitive di
taglio presentano uguale passo p0 e uguale angolo di incidenza α0 (il che corrisponde ad avere uguale
passo base) ma verificano anche la condizione di accoppiamento senza gioco perchè per come sono state
tagliate hanno s0 = e0 = p0 / 2 il che comporta s01 + s02 = p0. Questo spiega il motivo percui si impongono
le condizioni di avere il pieno uguale al vuoto sulla linea di riferimento della dentiera utensile e di portare tale
linea a sovrapporsi alla primitiva di accoppiamento tra dentiera e tondino per terminare il processo di taglio.
b
2
b
s 1 e 1
s 2 e 2
Figura 22: ingranamento tra due ruote
a
2
1
a
1
2
b a
1
22

Corso di Costruzione di Macchine – Ruote Dentate
9 Processo di taglio di ruote a profili spostati.
In questa operazione di taglio si elimina la condizione suddetta di fine del processo solo in caso di
coincidenza tra linea di riferimento della dentiera e primitiva di accoppiamento tra dentiera e tondino.
Si definisce il fattore b di scostamento della posizione terminale della dentiera rispetto a quella prevista nel
taglio normale e si assume che sia b = X⋅m0 con m0 modulo della ruota sulla primitiva di taglio ed X
coefficiente di proporzionalità; convenzionalmente X (e percui b) è positivo se la dentiera è penetrata
all'interno del tondino meno rispetto alla situazione di taglio normale e negativo invece se la dentiera è stata
Figura 23: taglio con X = 0
maggiormente affondata nel tondino.
Rispetto alle ruote tagliate con il processo normale le ruote con profili presentano analogie e differenze:
• il raggio della primitiva di taglio resta lo stesso: dipende solo dal rapporto cinematico di taglio scelto pari
z m
a ⋅ 0
2
• il passo sulla primitiva di taglio resta lo stesso: la dentiera ha lo stesso passo p0 in corrispondenza di ogni
sezione del dente percui sulla circonferenza primitiva di taglio del tondino con cui si accoppia senza
strisciamento incide sempre il passo p0 indipendentemente dal fatto che sia entrata più o meno in
profondità nel tondino stesso; si può anche considerare che p0 = π⋅m0 e che m0 a pari numero di denti z
non cambia se non si cambia il rapporto cinematico di taglio
• l'angolo di incidenza sulla primitiva di taglio resta lo stesso per lo stesso motivo del passo infatti la
dentiera oltre ad avere lo stesso passo su ogni sezione del dente ha anche lo stesso angolo di incidenza α0
che incide identico sulla primitiva di accoppiamento del tondino
• i raggi di base delle ruote non cambiano perchè esse continuano ad ingranare in uguali condizioni
cinematiche con lo stesso utensile, non mutando il rapporto di trasmissione ruota tagliata - utensile deve
restare costante il raggio di base della ruota essendo fissato il raggio di base dell'utensile
• cambia lo spessore del dente che aumenta se la dentiera affonda di meno e diminuisce se affonda di più:
esso ricopia perfettamente l'ampiezza del vano della dentiera calcolato sulla linea che va ad accoppiarsi per
ultima con la circonferenza primitiva di taglio del tondino e che vale
s0 = ed = p
2
2b tg( ) = p
+ ⋅ α + 2Xm0 ⋅ tg( α )
2
0 0
Figura 24: taglio con X = 0,3
Xm0
23

Corso di Costruzione di Macchine – Ruote Dentate
• cambia parimenti ma in verso opposto l'ampiezza del vano tra i denti della ruota che deve rispettare la
condizione s0 + e0 = p0 e percui diventa e0 = p0
− 2Xm0 ⋅ tg( α )
2
• cambia anche il dedendum della ruota che a seconda del valore e del segno di X può essere più o meno
profondo di quello unificato e che vale hf0 = 1,25 m0 - Xm0
• l'addendum come già nelle ruote tagliate con processo normale è definito dal raggio esterno del tondino
che dunque ha un valore che può essere assegnato in modo diverso a seconda delle esigenze
La differenza fondamentale tra una ruota normale ed una a profili spostati sta praticamente allora nelle
dimensioni dei denti in quanto i profili restano tali e quali.
9.1 Circonferenze di accoppiamento senza gioco tra ruote a profili spostati
Siano date le due ruote a profili spostati seguenti:
Numero di denti Z1 Z2
Angolo di pressione sulla primitiva di taglio
Modulo sulla primitiva di taglio m0 m0
Passo sulla primitiva di taglio p0 p0
Spessore del dente sulla primitiva di taglio s01 = p0
Spessore del vano sulla primitiva di taglio e01 = p0
2
2
α0
+ 2X1 ⋅ m0 ⋅ tg( α ) s02 = p
2
0
α0
+ 2X ⋅ m ⋅ tg( α )
2 0
− 2X1 ⋅ m0 ⋅ tg( α ) e02 = p0
− 2X2 ⋅ m0 ⋅ tg( α )
2
Addendum rispetto alla primitiva di taglio ha01 = Ra1 − R01 ha02 = Ra2 − R02
Dedendum rispetto alla primitiva di taglio hf01 = (1,25 − X1)m0 hf02 = (1,25 − X2)m0
Intuitivamente ci si può aspettare che per queste ruote le circonferenze primitive non vadano più bene ed
infatti su esse vale:
s01 + s02 = ( p0
+ 2X1 ⋅ m0 ⋅ tg( α ) ) + (
2
p0
+ 2X2 ⋅ m0 ⋅ tg( α ) ) = p0 + 2(X1 + X2)m0⋅tg(α)
2
da cui si trova che s01 + s02 = p0 solo per:
X1 = X2 = 0 (ruote a profili non spostati)
X1 = X2 (spostamenti dei profili uguali ed opposti)
Per trovare un’espressione generale della configurazione di accoppiamento senza gioco per ruote a profili
spostati è necessario risalire all'espressione dello spessore del dente in funzione del raggio ed esprimere
quindi la condizione di accoppiamento senza gioco in funzione dei raggi e degli X delle ruote.
Tra spessore e raggio vale la relazione:
s s
=
r R
0
+ 2⋅ζ =
0
s0
+ 2⋅(ϕ0 − ϕ) =
R0
s0
+ 2⋅[ ev(α0) − ev(α)]
R0
la condizione di accoppiamento senza gioco diventa allora:
24

s1 + s2 = r1 ( s01
Corso di Costruzione di Macchine – Ruote Dentate
02
+ 2⋅ζ2) = p
R01
R02
Condizioni generiche di ingranamento:
sulla circonferenza primitiva di accoppiamento le due ruote hanno sempre uguale angolo di incidenza
coincidente con l'angolo di pressione percui α1 = α2 = αp e quindi
+ 2⋅ζ1) + r2 ( s
⇒ ζ1 =⋅[ ev(α0) − ev(α1)] = ζ2 = [ ev(α0) − ev(α2)] = ζ = [ ev(α0) − ev(αp)]
sulla circonferenza primitiva di accoppiamento le due ruote devono avere uguale passo per poter ingranare
percui p1 = p2 = p e così
z1 ⋅ p1
⇒ r1 =
2π
z ⋅ p
⇒ r2 =
2π
2 2
z1 ⋅ p
=
2π
z2 ⋅ p
=
2π
Introducendo le condizioni di ingranamento nella relazione di accoppiamento senza gioco ed esplicitando si
ottiene:
z1 ⋅ p
2π
⋅
⎡ π ⋅ m
⎢ 2
⎢
⎢
⎣⎢
svolgendo si ottiene:
z 1
2π
π ⋅ m
⋅
2
0
0
⎤
+ 2X1m0
⋅ tg(
α0
) ⎥
+ 2ζ
z ⋅ m
⎥ +
1 0
⎥
2
⎦⎥
z p
2
⋅
z ⋅ m
1 0
+ z1 2π ⋅(2 X1m0 ⋅ tg(
)
e quindi semplificando e raccogliendo
2
π ⋅(X1 + X2)⋅tg(α0) +
z1 + z2
π
⋅ζ = 0
da cui
X1 + X2
ζ = 2⋅tg(α0)⋅
z1 + z2
ossia
X + X
ev(αp) = ev(α0) + 2⋅tg(α0)⋅
z + z
1 2
1 2
2π
⋅
⎡ π ⋅ m
⎢ 2
⎢
⎢
⎣⎢
2 ⋅
2
α )⋅
z ⋅ m
1 0
0
⎤
+ 2X2m
0 ⋅ tg(
α0
) ⎥
+ 2ζ
z ⋅ m
⎥ = p
2 0
⎥
2
⎦⎥
+ z1 ⋅2ζ + ...... = 1
2π
Trovato αp è possibile risalire rapidamente ai raggi delle circonferenze primitive di accoppiamento senza
gioco tramite la relazione:
rp = Rb / cos(αp)
e quindi all'interasse
i* = (R01 + R02)⋅ cos( α0
)
cos( α )
p
Si può anche trovare il modulo di accoppiamento m = 2 1
z 1
= 2 2
z
2
r
r
25

Corso di Costruzione di Macchine – Ruote Dentate
I raggi di fondo delle ruote sono definiti dall'operazione di taglio e valgono
Rf1 = R01 + b1 − 1,25m0 = R01 + (X1 − 1,25)m0
Rf2 = R02 + (X2 − 1,25)m0
I raggi di testa delle ruote possono essere determinati "a piacere", generalmente si impone che anche per
queste ruote il gioco tra testa dei denti dell'una e fondo dei denti dell'altra sia comunque pari a 0,25m0
ottenendo così la relazione
Ra1 = i* − Rf2 − 0,25m0
che esplicitata diventa
Ra1 = i* − R02 − (X2 − 1)m0
Ra2 = i* − R01 − (X1 − 1)m0
26

Corso di Costruzione di Macchine – Ruote Dentate
10 Vantaggi delle ruote con denti a profili spostati e criteri di scelta di
X1 ed X2
10.1 Sezione resistente alla base del dente
Lo spessore del dente di una ruota a profili non spostati tagliata con un certo utensile è fissato in
corrispondenza della circonferenza primitiva (di raggio R0) e vale sempre lo stesso s0 caratteristico della
dentiera o del creatore. Come si nota dalla figura 25 però, lo spessore alla base del dente dipende dalla
pendenza dei fianchi che a sua volta è correlata al numero di denti con una legge di proporzionalità inversa;
nell’ingranamento di due ruote allora la più critica è la più piccola in cui le forze scambiate si distribuiscono
su una sezione resistente minore.
In molti casi dimensionare in sicurezza la ruota piccola aumentando il modulo della trasmissione
comporterebbe l'uso di una ruota grande inaccettabile
o per questioni di ingombro o per questioni di costo;
molto più conveniente in tali situazioni è ricorrere a
ruote a profili spostati in cui agendo opportunamente
su X1 ed X2 si riescono ad ottenere spessori di base
dei denti simili sulle due ruote. Il vantaggio di questa
scelta è che la modifica della resistenza meccanica
delle due ruote avviene “allargando” i denti della ruota
più piccola (sottodimensionati) e “assottigliando”
quelli della ruota più grossa (sovradimensionati) senza
agire sul modulo ossia sulle dimensioni della
trasmissione (Fig 26).
10.2 Interferenza
Si tratta di un fenomeno che si verifica quando nel punto di contatto tra due profili non si ha coincidenza
delle tangenti; in tale condizione si ha un contatto irregolare ed una compenetrazione tra i profili stessi.
Nell'analisi dell'ingranamento di due profili ad evolvente di cerchio si è individuato un segmento T1T2 in cui
avvengono tutti i contatti regolari; il problema da considerare ora è se al di fuori di questo campo possano
esistere fisicamente dei contatti tra i denti oppure no.
Si può studiare la situazione attorno al punto critico T2 in cui il profilo del dente della ruota 2 dovrebbe
rovesciarsi per continuare ad ingranare correttamente con il relativo dente della ruota 1 cosa che nella
z
Figura 25: spessore del dente in relazione al numero di
denti
Profilo tagliato con X=0,3
Profilo tagliato con X=0
Figura 26: effetto del taglio con spostamento dei profili sullo spessore del dente
s 0
z = 15 z = 60
z = 30
z = 120
27

O 1
Corso di Costruzione di Macchine – Ruote Dentate
T 1
Figura 27: analisi della condizione di interferenza
T 2
realtà non può avvenire: in un generico intervallo di tempo Δt calcolato a partire dall'istante in cui il contatto
avviene esattamente nel punto T2 il punto di tangenza ideale del profilo 1 si sposta sulla retta dei contatti nel
punto P' mentre nello stesso tempo il punto di origine del profilo 2 si sposta sulla circonferenza di base fino
in O' tale che (P'T2) = (O'T2 ).
Per essere certi che non ci possa essere interferenza il profilo della ruota 1 dovrebbe intercettare il cerchio
base della ruota 2 al di fuori del dente ossia prima di O'. Si verifica facilmente che questo non accade infatti
supponendo di tracciare con centro in T2 un arco di circonferenza di raggio T2P', questo intercetta il
cerchio base della ruota 2 sicuramente oltre il punto O' (Fig 27) la cui distanza da T2 è pari al raggio se
misurata sull'arco ed è perciò minore se valutata sin linea retta. A maggior ragione il discorso vale per
l'evolvente che in P' coincide in pratica con l'arco di circonferenza centrato in T1 di raggio T1P' e che
dunque è molto meno inclinato dell'arco centrato in T2.
L'interferenza va assolutamente evitata in condizioni di lavoro; durante l'operazione di taglio è invece
accettabile anche se crea comunque grossi problemi in quanto comporta una riduzione della sezione
resistente del dente e della lunghezza del segmento dei contatti entrambe dovute all'incavo che si produce
alla radice del dente stesso.
Considerando l'accoppiamento senza gioco (percui con αp = α0) di una coppia di ruote normali ci si rende
subito conto del fatto che la condizione più critica per quanto riguarda l'interferenza è tra la testa della ruota
più grossa ed il fondo della più piccola; si nota anche che la criticità aumenta al crescere del diametro della
ruota più grossa (mentre αp resta costante) e che dunque la dentiera è la ruota esterna più pericolosa
mentre nel campo delle ruote interne la situazione peggiora ancora.
Per evitare l'interferenza bisogna imporre che la circonferenza di base della ruota più piccola sia
sufficientemente grande da portare il punto T1 limite del segmento dei contatti corretti al di fuori della
circonferenza di troncatura esterna della ruota grande; per le ruote unificate il raggio di troncatura esterna e
P’
O’
O 2
28

Corso di Costruzione di Macchine – Ruote Dentate
l'interasse sono funzione solo del numero di denti percui collegando queste grandezze tramite il triangolo
O1O2T1 con il teorema di Carnot si trova:
Teorema di Carnot: (Re2) 2 = i 2 + (Rb1) 2 − 2i⋅Rb1⋅cos(α0)
sostituendo i termini con:
Re2 = R02 + m0 = m 0
2 (z2 + 2)
i = m 0
2 ⋅(z1 + z2)
Rb1 = R01 cos(α) = m 0
2 z1 cos(α0)
si ottiene:
(z2 + 2) 2 = [(z1 + z2) 2 + z1 2 cos(α0) 2 − 2⋅z1 (z1 + z2) cos(α0) 2 ]
svolgendo i quadrati e raccogliendo si ottiene:
z1 2 + 2⋅z1⋅z2 − 4 (z2 + 1)/ sin(α0) 2 = 0
da cui si riesce quindi ad esplicitare la relazione rispetto a z1:
+ 1
2
2
z1 = z 2 + 4 − 2
sin( α0
)
z
z
2
Questa relazione permette di trovare il numero di denti, e dunque il raggio di base, della ruota 1 minimi in
condizioni di non-interferenza.
Nell'ingranamento tra ruota e dentiera l'espressione si semplifica:
z
1
=
lim
z2
→∞
⎛
⎜
⎝
z
2
2
z 2 + 1
+ 4
sin( α )
0
2
− z
2
⎞ 2
⎟ =
⎟
⎠ sin( α
0
)
2
29

Corso di Costruzione di Macchine – Ruote Dentate
Figura 28: interferenza ruota-dentiera
Nel caso di accoppiamento tra ruota e dentiera si può trovare un'espressione semplice anche per ruote a
profili spostati: la condizione da imporre è sempre che la linea di troncatura esterna della dentiera passi per
il punto T1.
Indicando con H la proiezione di T1 sulla retta dei centri OC (Figura 28), deve quindi essere, in condizioni
limite di non interferenza,
CH = m0 − b = m0⋅(1 − X)
Da una doppia proiezione del raggio primitivo R0 = OC su CT1 e su CH, si trova che la lunghezza di
quest'ultimo segmento è pari a R0 sin(α0) 2 m0 = z1
2 sin(α0) 2 e, quindi, si ottiene:
CH = z1
m 0
2 sin(α0) 2 = m0 − b = m0⋅(1 − X)
dove con b si è indicato lo scostamento tra la linea di riferimento della dentiera e la primitiva di
accoppiamento.
Semplificando si ricava la relazione:
2
z1 = 1−
X
2
sin( α )
0
( )
Questo caso analiticamente più semplice, ma non concettualmente diverso, evidenzia il secondo vantaggio
delle ruote a denti spostati: quando il coefficiente X è non nullo e positivo, il minimo numero di denti per
evitare l'interferenza si riduce consentendo in caso di problemi di non agire sulle dimensioni della ruota (per
cui sul costo dei materiali, sulle inerzie in gioco, ecc.), ma di ricorrere ad un semplice ispessimento dei denti
ottenendo gli stessi risultati.
10.3 Strisciamento specifico
L’usura è un aspetto molto importante per l’efficace dimensionamento del dente, essa dipende dagli attriti
che si generano tra le superfici dei denti a contatto in condizioni di lavoro.
Una prima definizione utile è quella di strisciamento specifico: se due profili si muovono restando a contatto
tra loro è possibile individuare gli spostamenti che i due punti che inizialmente erano a contatto hanno
percorso (ciascuno sul suo profilo) rispetto ai nuovi punti a contatto nell’intervallo di tempo dt. Detti questi
spostamenti rispettivamente ds1 per il punto appartenente al profilo 1 e ds2 per quello appartenente al
profilo 2 si definiscono:
ds1 − ds2
ds1 − ds2
strisciamento specifico del corpo 1:
dt vt1 − vt2
K1
= = =
ds ds
1
1 vt1
dt
ds2 − ds1
vt2 − vt1
strisciamento specifico del corpo 2: K2
= =
ds2
vt2
con vt1 e vt2 velocità tangenziali nel punto di contatto rispettivamente del profilo 1 e del profilo 2
L’importanza dello strisciamento specifico è che non tiene conto solo dello strisciamento assoluto ma anche
dello spazio su cui esso è distribuito, il che trova fisicamente riscontro nel fatto che un uguale strisciamento
porta usura ben diversa a seconda che sia concentrato in un punto o che sia distribuito su tutto un tratto di
profilo.
Si veda ad esempio il caso di una ruota che:
30

Corso di Costruzione di Macchine – Ruote Dentate
1. striscia senza ruotare su una superficie piana (Fig 29: il punto di contatto istantaneo per la superficie
cambia mentre per la ruota resta sempre lo stesso; intuitivamente ci si può aspettare che la condizione più
critica si verifichi sulla ruota ed in effetti gli strisciamenti specifici lo confermano infatti Kruota = −∞ mentre
Ksup. = 1
2. ruota senza traslare sempre sulla stessa superficie (Fig 30 la situazione è esattamente invertita rispetto
alla precedente ed infatti si trovano Kruota = 1 mentre Ksup. = −∞
Figura 29
Un’ultima caratteristica dello strisciamento specifico è che si annulla solo quando ds1 = ds2 ossia in
condizioni di puro rotolamento le quali fisicamente corrispondono a usura nulla.
Applicando queste definizioni al caso dei denti degli ingranaggi si può cercare di valutare come varia lo
strisciamento specifico lungo l’arco dei contatti per l’una e per l’altra ruota.
Come si può vedere in Figura 31 el generico punto di contatto P le velocità dei due profili possono essere
scomposte nelle due componenti normale e tangenziale rispetto ai profili stessi; essendo questi coniugati le
direzioni normale e tangenziale coincidono per costruzione e dunque:
⎪⎧
v
⎨
⎪⎩ v
n1
t1
= v
= v
A0≡B0
1
1
⋅cosγ
⋅sin
γ
1
1
t0
= ω
= ω
1
1
⋅
⋅l
l
( O1P)
( O P)
⋅
1
A1≡A0
⋅ cosγ
sinγ
B1
1
1
t0+ dt
⎪⎧
v
⎨
⎪⎩ v
n2
t2
= v
= v
2
2
⋅cosγ
⋅sin
γ
2
2
= ω
= ω
Figura 30
2
2
⋅
⋅
( O2P
)
( O P)
⋅
l
l
A0≡B0
B1≡B0
2
⋅cosγ
sin γ
2
2
t0
t0+ dt
A1
31

Corso di Costruzione di Macchine – Ruote Dentate
Per il corretto ingranamento (senza distacco o interferenza) deve essere vn1 = vn2 ed in effetti la condizione
è automaticamente verificata essendo
⎪⎧
v
⎨
⎪⎩ v
n1
n2
= ω
1
= ω
2
⋅
⋅
( l ( O1P)
⋅cosγ1
)
( l ( O P)
⋅cosγ
)
2
2
= ω
1
= ω
⋅ R
2
b1
⋅ R
b2
= ω
2
⋅ R
= ω ⋅ R
Le componenti di velocità tangenziali possono essere riscritte come
⎪⎧
v
⎨
⎪⎩ v
t1
t2
= ω
1
= ω
2
⋅
⋅
l
l
( O1P)
⋅sin
γ1
= ω1
⋅l
( T1P)
( O P)
⋅sinγ
= ω ⋅l
( T P)
2
e quindi gli strisciamenti relativi risultano:
⎧ v t1 − v t2 ω1
⋅l
( T1P)
− ω2
⋅ l(
T2P)
⎪K1
= =
⎪ v t1
ω1
⋅l
( T1P)
⎨
⎪ v t2 − v t1 ω2
⋅l
( T2
P)
− ω1
⋅l
( T1P)
⎪
K2 = =
⎩ v t2 ω2
⋅l
( T2P)
Ponendo allora δ = l ( CP)
sono
⎪⎧
l ( T1P
) = l ( T1C)
+ δ = R b1 ⋅ tgα
+ δ
⎨
l ( T P)
= l ( T C)
− δ = R ⋅ tgα
− δ
⎪⎩
2
ω 1
e dunque risulta
2
2
b2
2
v t1
O 1 C
T 1
Figura 31 velocità di strisciamento nel contatto tra due denti
2
v t2
1
v 1
P
b2
b1
v 2
δ
v n
T 2
O 2
ω 2
32

K
1
Corso di Costruzione di Macchine – Ruote Dentate
( Rb1 tg ) ( Rb2 tg )
ω ⋅( R ⋅ tgα
+ δ)
ω1 ⋅ ⋅ α+ δ − ω2 ⋅ ⋅ α− δ
=
1
b1
Introducendo il rapporto di trasmissione i = ω
ω
⎧
⎪K
⎪
⎨
⎪K
⎪
⎩
1
2
=
=
δ
( Rb1 ⋅ tgα
+ δ)
− δ
( Rb2 ⋅ tgα
− δ)
i 1
⋅
i
+
⋅ ( i + 1)
( b1 1 b2 2) ( 1 2)
δ
=
ω ⋅ ( R ⋅ tgα + δ)
( R tgα
δ)
tgα⋅ R ⋅ ω − R ⋅ ω + δ ω + ω
=
1
2
1
b1 b1
e calcolando K2 si ottiene:
⋅ + ⋅
ω + ω
ω
1 2
Si tratta di due andamenti di tipo iperbolico: muovendosi sulla retta dei contatti da T1 verso T2 lo
strisciamento specifico del dente della ruota 1 passa da −∞ a 1 mentre quello della ruota 2 esattamente al
contrario va da 1 a −∞, si annullano entrambi per δ = 0 ossia in corrispondenza del punto C in cui si
verifica una condizione di puro rotolamento (Fig 32). Nella realtà i contatti reali non avvengono su tutto il
segmento T1−T2 ma solo su una sua parte A−B delimitata dalle circonferenze di troncatura esterna delle
ruote; non si raggiungono allora valori di strisciamento specifico infiniti però resta comunque il problema
che è presente uno squilibrio tra lo strisciamento specifico massimo delle due ruote e la più penalizzata è
nuovamente quella di diametro minore. Lo spostamento dei profili, agendo opportunamente sull’interasse di
accoppiamento e sulle circonferenze di troncatura esterna, permette di modellare il segmento dei contatti
A−B in modo da equilibrare lo strisciamento specifico.
1
0
-1
A
C
-2
B
Figura 32: andamento dello strisciamento relativo nel contatto tra due denti
-3
1
-4
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
1
33