Scarica la tesi Integrale di Feynman sui Cammini e Processi Stocastici

Si vede ora che la differenza tra l’operatore normale e quello normalmente
ordinato è O(ɛ 2 ), e dunque nel limite ɛ → 0 è un infinitesimo di ordine superiore.
E’ inutile ora sviluppare gli altri termini della sommatoria essendo tutti questi
O(ɛ 3 ). Dunque si è dimostrato che nel limite che ci interessa non c’è alcuna
differenza tra l’operatore normale e quello normalmente ordinato, seppur questi
differiscano per termini di commutazione.
Ora il propagatore dell’integrale di Feynman si ottiene nel modo seguente:
〈xn|e
ɛ p
2
− ¯h 2m
+V (x)
|xn−1〉 = 〈xn| : e
ɛ p
2
− ¯h 2m
essendo l’operatore a secondo membro in forma nomale:
〈xn|e
iɛ p
− ¯h
2
iɛ p
2
− ¯h 2m +V (x)
− iɛ
+V (x)
: |xn−1〉 + O(ɛ 2 )
|xn−1〉 =
= 〈xn|e 2m · e ¯h V (x) |xn−1〉 + O(ɛ 2
=
)
d 3 iɛ −
pne ¯h V (xn−1)
iɛ p
−
〈xn|e ¯h
2
2m |pn〉〈pn|xn−1〉 + O(ɛ 2 )
= d 3 iɛ −
pne ¯h V (xn−1) iɛ p
−
· e ¯h
2 n
2m 〈xn|pn〉〈pn|xn−1〉 + O(ɛ 2 )
=
d3pn iɛ
e− ¯h
(2π¯h) 3 V (xn−1) −
· e iɛ p
¯h
2 n
2m · e i pn
¯h
(xn−xn−1) 2
+ O(ɛ )
=
m
2πiɛ¯h
3
2
e i m
¯h ( 2ɛ (xn−xn−1) 2 −ɛV (xn−1)) 2
+ O(ɛ )
Tale ultima espressione è l’analogo tridimensionale dell’equazione (8) ottenuta
nella sezione 0.3, ed esprime dunque il propagatore quantistico come
precedentemente annunciato.
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