Scarica la tesi Integrale di Feynman sui Cammini e Processi Stocastici

.1 Appendice A: Derivazione dell’Integrale di Feynman
attraverso l’Operatore Normalmente Ordinato
Abbiamo precedentemante visto, nella sezione 0.2 la derivazione dell’Integrale di
Feynman attraverso la formula di Trotter. Vediamo ora una seconda derivazione
che nel limite N → ∞ (ɛ → 0) risulta essere equivalente alla prima. Diciamo
che un operatore, per esempio H(p, x) è Normalmente Ordinato, e lo indichiamo
con : H(p, x) :, se tutti i p sono disposti prima di tutti gli x.
ɛ −i A noi interessa l’operatore e ¯h H(p,x) , con H(p, x) = p2
2m +V (x), e si dimostra
([4]) che questo operatore è esprimibile in forma normalmente ordinata come:
ɛ −i
: e ¯h H(p,x) :=
∞
−i ɛ
¯h
n=0
n n
k=0
1
k!(n − k)!
p 2
In generale, data un’hamiltoniana H(p, x) si ha che:
ɛ −i
e ¯h H(p,x) ɛ −i
=: e ¯h H(p,x) : −
ɛ
2 ∞
¯h
n=0
2
k
(V (x)) n−k
ɛ n
−i
¯h
n+2 n+2
H(p, x) − : H(p, x) :
(n + 2)!
(43)
sviluppando il termine n = 0 della somma:
− 1
ɛ
2
2
2 p
H(p, x)− : + V (x)
2 ¯h
2m
2 + p2
p2
· V (x) + V (x) · : =
2m 2m
= − 1
ɛ
2
2
2 p
H(p, x) − + V (x)
2 ¯h
2m
2 + p2
p2
· V (x) + · V (x)
2m 2m
= − 1
ɛ
2
V (x) ·
2 ¯h
p2
p2
− · V (x)
2m 2m
è dunque utile cercare la relazione di commutazione tra i due operatori V (x)
e p 2 :
[V (x), p 2 ] = V (x) · −(1/¯h 2 )∇ 2 − −(1/¯h 2 )∇ 2 · V (x)
= −(1/¯h)V (x) · ∇ 2 + (1/¯h 2 )[V ′′ (x) + 2V ′ (x) · ∇ + V (x) · ∇ 2 )]
Quindi si ha che:
= (1/¯h 2 )[V ′′ (x) + 2V ′ (x) · ∇] = [V ′′ (x) + 2iV ′ (x) · p]
V (x) · p2 p2
1
= · V (x) +
2m 2m 2m · [V ′′ (x) + 2iV ′ (x) · p]
Sostituendo nella (43) ciò che abbiamo ottenuto si ha:
ɛ −i
e ¯h H(p,x) ɛ −i
=: e ¯h H(p,x) : − ɛ2
4m¯h 2 · [V ′′ (x) + 2iV ′ (x) · p]
17