Scarica la tesi Integrale di Feynman sui Cammini e Processi Stocastici

e invece, detto α = a + ib, si ottiene:
dx1...dxn|G α (xn, xn−1; t/n)|...|G α (x2, x1; t/n)| =
=
=
=
=
n
2πtα
n
2πtα
n
2πtα
n
2πtα
n
2
n
2
n
2
n
2
|α|
(a · |α|) n
2
nx2 − 2t e ·
e
e
− nx2
2t
− nx2
2t
2 2πt|α|
·
na
a−ib
|α| 2
· a
|α| 2 · e
a ·
|α| 2
e quindi:
lim dx1...dxn|G
n→∞
α (xn, xn−1; t/n)|...|G α |α| n
(x2, x1; t/n)| = ( ) 2 → ∞
Re(α)
(25)
Si ha dunque che se α è un numero complesso con Im(α) = 0 allora
(|α|/Re(α)) > 1 e, come mostrato sopra, d|µ| = ∞, dove d|µ| = dx1...dxn ·|G|.
Pertanto, in tal caso, l’eq.(24) non è in grado di rispettare la σ-additività e quindi
non può definire una misura7 . Se invece α è reale abbiamo che (|α|/Re(α)) = 1
e non si ha alcuna divergenza [3]. Sarà appunto mostrato nella sezione (0.8) che
ruotando il tempo nel piano complesso, da reale a immaginario, si otterrà un
termine α reale e di conseguenza una convergenza dell’integrale.
0.8 La Formula di Feynman-Kac e la Misura di
Wiener.
Per ottenere α reale consideriamo, anzichè il kernel dell’operatore unitario e−iHt ,
il kernel del semigruppo e−τH , τ ≥ 0, cioè il termine (m = ¯h = 1):
(En) n
n−1
2
xi+1 − xi
dxn−1...dx1 exp − (τ/n) (1/2)
(26)
τ/n
i=0
Notiamo appunto che tale espressione non è altro che il propagatore dell’eq.(22)
con la sostituzione τ = it, che rappresenta una rotazione nel piano complesso
da un tempo reale ad uno immaginario. Venne dimostrato da Kac che questo
termine converge nel limite n → 0 ad una ben definita misura: La misura
di Wiener. Vediamo di seguito la dimostrazione. Iniziamo con introdurre la
nozione di processo stocastico.
Processo Stocastico: Definizione di Kolmogorov
Un Processo Stocastico è una famiglia di variabili aleatorie, {xt, t ∈ T }, definite
sullo stesso spazio di probabilità (Ω, Σ, µ). Ciò implica che per ogni insieme
finito t1, ..., tn ∈ T , si ha che la distribuzione di probabilità:
7 Vedere sempre Appendice B, in cui è esposto un teorema che giustifica questa affermazione.
10
n
2
n
dx
nx2 b i 2t ·
|α| 2
dx
n
dx
n